七軸澆鑄機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模和仿真技術(shù)

李明

（濰柴(濰坊)材料成型制造中心有限公司，濰坊 261100）

近年來(lái)，隨著現(xiàn)代工業(yè)自動(dòng)化水平的不斷提高，機(jī)器人發(fā)揮了澆鑄動(dòng)作穩(wěn)定、高效生產(chǎn)的優(yōu)勢(shì)，在鑄造行業(yè)日常生產(chǎn)中具有重要作用[1]。工業(yè)機(jī)器人主要包括機(jī)身主體、控制和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，其中機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析作為關(guān)鍵組成，可以為生產(chǎn)中機(jī)器人的軌跡規(guī)劃、仿真分析和運(yùn)動(dòng)控制提供關(guān)鍵依據(jù)。運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是在全部關(guān)節(jié)變量均為已知條件的前提下，通過(guò)正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算并控制機(jī)器人的末端執(zhí)行器位姿。由于澆鑄作業(yè)區(qū)的環(huán)境十分惡劣，嚴(yán)重的噪聲和粉塵污染直接影響工作人員的整體效率[2]。而澆鑄機(jī)器人有著較好的工作穩(wěn)定性與極高的運(yùn)動(dòng)精度，能夠滿足連續(xù)作業(yè)的條件，因此逐漸取代人工，節(jié)省成本的同時(shí)提高了鑄造產(chǎn)品的質(zhì)量，加快了生產(chǎn)效率[3]。在技術(shù)不斷革新的過(guò)程中，七軸澆鑄機(jī)器人在FANUC 六軸工業(yè)機(jī)器人的基礎(chǔ)上集成帶有伺服電機(jī)的驅(qū)動(dòng)附加軸，并在多個(gè)領(lǐng)域推廣應(yīng)用。文章將對(duì)七軸澆鑄機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模和仿真技術(shù)展開(kāi)分析，這對(duì)未來(lái)工業(yè)領(lǐng)域自動(dòng)化澆鑄技術(shù)水平和工業(yè)生產(chǎn)效率的提高具有重大意義。

1 七軸澆鑄機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

在以往的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)研究中，基本均需要提前確定末端執(zhí)行位姿的表示法，通過(guò)建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型獲得各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角度和末端執(zhí)行位姿的方程。目前，比較常用的方法包括旋量法、D-H 法和四元素法等。其中，D-H 法自提出，一直被用于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析[4]。要想將此方法應(yīng)用于七軸澆鑄機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模分析中，需要先對(duì)機(jī)器人各關(guān)節(jié)建立坐標(biāo)系，結(jié)合機(jī)器人的機(jī)械結(jié)構(gòu)確定相關(guān)參數(shù)，然后進(jìn)行齊次坐標(biāo)變換。

澆鑄機(jī)器人作為關(guān)節(jié)連接連桿的鏈?zhǔn)竭\(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，運(yùn)動(dòng)學(xué)主要研究各桿件的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，桿件之間的作用力影響不在考慮范圍內(nèi)。七軸澆鑄機(jī)器人是在FANUC 六軸工業(yè)機(jī)器人的基礎(chǔ)上增加附加軸，此軸主要包括伺服電機(jī)、傳動(dòng)桿、減速器和控制裝置等。七軸澆鑄機(jī)器人的工作控制過(guò)程主要通過(guò)控制伺服電機(jī)，調(diào)整澆包轉(zhuǎn)速和角度，利用SolidWorks 建立機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)三維模型，如圖1 所示。七軸澆鑄機(jī)器人串聯(lián)的7 個(gè)關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)自由度，空間位置主要由1～3 軸負(fù)責(zé)確定，空間姿態(tài)則主要由4～6 軸負(fù)責(zé)調(diào)整，而附加的獨(dú)立7 軸則控制澆包動(dòng)作的轉(zhuǎn)速和角度。在澆筑任務(wù)具體操作過(guò)程中，7 個(gè)軸的運(yùn)動(dòng)會(huì)彼此影響。

圖1 七軸澆鑄機(jī)器人三維模型

2 七軸澆鑄機(jī)器人坐標(biāo)系的建立

2.1 機(jī)器人連桿參數(shù)

工業(yè)機(jī)器人主要由一系列空間彎曲連桿構(gòu)成，連桿參數(shù)需要考慮兩連桿之間的公共法線、連桿長(zhǎng)度、垂直兩軸的夾角，以及鄰近兩個(gè)連桿之間形成的公垂線夾角和距離。參照以往資料，根據(jù)實(shí)際情況提出常用于機(jī)器人的D-H 參數(shù)建模法。將整個(gè)機(jī)器人看作連桿結(jié)構(gòu)，對(duì)每一個(gè)連桿建立一個(gè)坐標(biāo)系，此坐標(biāo)系和對(duì)應(yīng)連桿保持相對(duì)靜止[5]。澆鑄機(jī)器人主要負(fù)責(zé)末端澆包的澆筑動(dòng)作，因此要描述澆包的具體位置和姿態(tài)，需要在關(guān)節(jié)連桿末端建立坐標(biāo)系原點(diǎn)。七軸澆鑄機(jī)器人連桿運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系如圖2 所示。

圖2 七軸澆鑄機(jī)器人連桿運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系

2.2 建立坐標(biāo)系

在機(jī)器人各關(guān)節(jié)處建立七軸澆鑄機(jī)器人的連桿坐標(biāo)系，具體步驟如下。第一步，在找出機(jī)器人各關(guān)節(jié)軸線的位置后，繪制關(guān)節(jié)軸線作為延長(zhǎng)線。第二步，對(duì)于機(jī)器人的第i關(guān)節(jié)軸，尋找鄰近關(guān)節(jié)軸構(gòu)成垂直關(guān)系的公垂線，并將公垂線和第i關(guān)節(jié)軸之間匯集的交點(diǎn)設(shè)為{i}坐標(biāo)系的原點(diǎn)。選取此點(diǎn)需要考慮3 種情況：鄰近2 個(gè)關(guān)節(jié)軸線且彼此相交的點(diǎn)，即坐標(biāo)系原點(diǎn)；鄰近軸線構(gòu)成異面直線，即公垂線和后一個(gè)連桿的交點(diǎn)；鄰近兩關(guān)節(jié)構(gòu)成平行軸線，即下一個(gè)鄰近關(guān)節(jié)軸線的公垂線和i+1 軸線之間的交點(diǎn)。第三步，對(duì)機(jī)器人各連桿首關(guān)節(jié)構(gòu)建連桿坐標(biāo)系，保持關(guān)節(jié)軸線和Z軸處于同一平面。第四步，確定i連桿的Xi沿鄰軸i、i+1 的公垂線，Xi作為兩關(guān)節(jié)的交點(diǎn)，與兩關(guān)節(jié)軸所在平面構(gòu)成垂直關(guān)系。第五步，根據(jù)右手法則確定Yi軸。

依據(jù)上述步驟建立連桿坐標(biāo)系，主要參數(shù)包括關(guān)節(jié)角θi、關(guān)節(jié)偏距di、連桿長(zhǎng)度ai、連桿轉(zhuǎn)角αi。由于七軸澆鑄機(jī)器人在圖1 所示狀態(tài)下為零點(diǎn)位置，可以確定θ2為90°，θ6為180°，其他關(guān)節(jié)角均為零初始數(shù)值。依據(jù)D-H 法建模，連桿參數(shù)情況如表1所示。

表1 D-H 建模參數(shù)情況

3 七軸澆鑄機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解和逆解

3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

建立七軸澆鑄機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)D-H 參數(shù)模型，通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移處理可得到2 個(gè)鄰近坐標(biāo)系[6]。考慮到連桿運(yùn)動(dòng)影響，將θi-1轉(zhuǎn)換至θi的具體過(guò)程主要經(jīng)4 次變換矩陣實(shí)現(xiàn)。

在D-H 參數(shù)模型中代入式（1），可得各個(gè)連桿的變換矩陣相乘后可得

3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

七軸澆鑄機(jī)器人擁有7 個(gè)自由度，通常情況下沒(méi)有逆運(yùn)動(dòng)學(xué)封閉解，但是一些結(jié)構(gòu)比較特殊的機(jī)器人還是存在多組封閉解的可能性。根據(jù)以往文獻(xiàn)，一般選用Pieper 解法，此類方法面向機(jī)器人的7 個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)與4～6 軸3 個(gè)關(guān)節(jié)軸線相交操作臂完成求解[7]。例如，第3～5 關(guān)節(jié)的軸線相交于一點(diǎn)，3 個(gè)關(guān)節(jié)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中無(wú)法沿著Z2軸線方向運(yùn)動(dòng)，因此關(guān)節(jié)變換矩陣相乘的第3 行第4 列就為0。對(duì)于這樣的機(jī)器人需要考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，但是要注意逆解是多解的，而機(jī)器人的關(guān)節(jié)控制角度卻是唯一的[8]。如果想要得到唯一解，就需要忽略機(jī)器人避障問(wèn)題和軌跡優(yōu)化，因此本次研究?jī)H針對(duì)七軸澆鑄機(jī)器人的正解進(jìn)行仿真分析。

4 運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析

為了驗(yàn)證七軸澆鑄機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方程的可行性與準(zhǔn)確性，選用MATLAB 軟件展開(kāi)實(shí)例仿真分析。給定初始角度與實(shí)驗(yàn)中指定角度，將運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式計(jì)算結(jié)果和仿真分析結(jié)果進(jìn)行比對(duì)。

首先，進(jìn)行初始角度驗(yàn)證。仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)定原點(diǎn)位置的關(guān)節(jié)坐標(biāo)在零點(diǎn)，給出機(jī)器人關(guān)節(jié)矩陣θ=[0,0,0,0,0,0,0]，代入式（2）可得

由式（3）可知，仿真分析初始位置末端坐標(biāo)為（1 932,0,60）。使用MATLAB 仿真軟件中的Link 函數(shù)串聯(lián)機(jī)器人連桿，可獲得機(jī)器人初始位置仿真模型，初始角度仿真結(jié)果與D-H 參數(shù)模型方程結(jié)果一致。

其次，進(jìn)行指定角度驗(yàn)證。仿真實(shí)驗(yàn)中任意指定機(jī)器人各關(guān)節(jié)角度，θ1、θ2、θ3、θ4、θ5、θ6、θ7分別為90°、-30°、30°、15°、30°、-15°、-30°，將角度轉(zhuǎn)化為弧度并代入式（2）可得

由式（4）可知，仿真分析機(jī)器人指定角度末端坐標(biāo)為（55.087 0,2 803.827 1,180.513 2）。使用MATLAB仿真軟件中的Link 函數(shù)串聯(lián)機(jī)器人連桿，可獲得機(jī)器人指定位置的仿真模型，且指定位置的仿真結(jié)果與D-H 參數(shù)模型方程結(jié)果一致。

最后，在機(jī)器人末端執(zhí)行器由初始至指定位置的過(guò)程中，機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)隨時(shí)間變化所發(fā)生的改變，仿真結(jié)果中基本未見(jiàn)突變。七軸澆鑄機(jī)器人末端位置理論值與計(jì)算結(jié)果對(duì)比，如表2 所示。根據(jù)表2 中的數(shù)據(jù)，分析課件正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型計(jì)算所得末端位姿結(jié)果，其與仿真模型的末端位姿實(shí)際值之間并不存在太大誤差，說(shuō)明機(jī)器人的各關(guān)節(jié)運(yùn)行均符合常態(tài)，基本可以保證安全穩(wěn)定的位姿，七軸澆鑄機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)合理適用。

表2 七軸澆鑄機(jī)器人末端位置理論值與計(jì)算結(jié)果對(duì)比

5 結(jié)語(yǔ)

基于七軸澆鑄機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立D-H 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并建立機(jī)器人坐標(biāo)系與運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆解。使用MATLAB 平臺(tái)分析發(fā)現(xiàn)，初始位置與指定位置的仿真模型，與D-H 參數(shù)模型計(jì)算結(jié)果基本一致，證明此次運(yùn)動(dòng)學(xué)建模準(zhǔn)確性較高。