對一個常見球桿模型的課堂討論

張利國 胡光濤

(北京交通大學附屬中學 北京 100081)

李 璐

(中國船舶集團有限公司綜合技術經濟研究院 北京 100081)

1 問題的提出

【原題】如圖1所示,一根輕質細桿的兩端分別固定著A、B兩只質量均為m的小球,O點是一光滑水平軸,已知AO=r,BO=2r,使細桿從水平位置由靜止開始轉動,求當桿轉到豎直位置時A、B兩球的速度?

圖1 原題題圖

1.1 常規解法

根據質點系動能定理,有

(1)

vB=2vA

(2)

將式(1)、(2)聯立,解得

1.2 學生提出了質心解法

質心C位于O點右側0.5r處,對質心列動能定理方程有

(3)

由式(3)得

兩球角速度相同,根據線速度和角速度之間的關系式v=ωr,解得

兩種求解方式所求得vA、vB的值不同,這種質心求解的方法錯在哪兒了?

2 問題的解決

2.1 對學生提出的質心解法進行修正

我們把式(3)的右側再加上A、B兩球相對質心的動能,換成下面的式子

(4)

其中ΔvA、ΔvB分別表示A、B兩球相對于質心的速度,有

ΔvA=vA-vCΔvB=vB-vC

考慮到

代入式(4),解得

為什么修正之后得到vA、vB的值和常規解法相同呢?我們需要了解以下的概念和規律.

2.2 對修正的解釋

首先,我們需要明確什么是質心,由質心的定義[1],質心C的位置矢量為

轉為速度的形式,有

變形,有

令vi-vC=Δvi,則有

(5)

其次,我們需要引入柯尼希定理,內容為:質點系的動能等于質心動能與相對質心運動的動能之和.證明過程如下.

由于C為質心,由式(5)知各質元相對質心C的動量增量矢量和為零,即有

得證

到此為止,已經可以解釋我們為什么要在等式右側加上A、B兩球相對質心的動能.似乎問題解決了,但學生又提出了新問題:難道不存在質心動能定理嗎?

3 問題的引申

3.1 質心動能定理的推導

根據質點系質心運動定理,有

等式兩邊點乘質心位移drC,有[2]

可見,質心動能定理是成立的.

學生們用的就是質心動能定理,式(3)錯在哪兒呢?

式(3)錯在求合外力在質心位移上的功時,僅僅考慮了重力做功,外力考慮不全.如果把A、B兩球看成系統,除了考慮重力外,還需要考慮桿對質點系的合力是否為零;如果把桿與A、B兩球看成系統,則還需要考慮轉軸對系統的合力做功.

我們應在左側加上除重力之外的力在質心位移上做功,把式(3)改為

(6)

3.2 應用質點系動能定理求解

在應用質點系動能定理列式(1)時,為什么沒有考慮桿對質點系做功?

如圖2所示,取轉動過程中的任意一段極短時間Δt,設桿對A、B兩球的切向分力分別為FA、FB,設時間Δt內A、B兩球轉過的弧長分別為lA、lB.

圖2 小球在重力和桿的切向分力作用下轉動

對輕桿在任意時刻均有力矩平衡,即

FArA=FBrB

桿對A球做功

WA=FAlA=FArAωΔt

桿對B球做功

WB=-FBlB=-FBrBωΔt

考慮到兩球角速度ω相同,可知桿對A、B兩球做功代數和為零,可見在任意一段極短時間Δt內,只有重力對質點系做功,桿對A、B兩球組成的質點系不做功.

4 問題的深入

4.1 桿對兩球的切向力

I=5mr2

mg·2rcosθ-mgrcosθ=5mr2β

兩球角加速度相同,利用切向加速度和角加速度之間的關系式a=βr,解得

利用牛頓第二定律對A、B兩球在切向上列方程,有

FA-mgcosθ=maA

mgcosθ-FB=maB

解得

方向均垂直于桿向上.

4.2 桿對兩球做功情況

WA+WB=0

桿對A、B兩球組成的質點系不做功,這就是我們在式(1)中僅考慮重力做功的原因.

4.3 桿對兩球的質心做功情況

這就是我們在式(6)中需要考慮除重力之外的力做功的原因.

有些學生會好奇,為什么我們只考慮切向分力,而不考慮法向分力,是因為無論對小球,還是對質心,法向分力均不做功.

在應用動能定理時,要把研究對象區分為質點和質點系,要考慮到動能定理分為質點動能定理、質點系動能定理、質心動能定理和相對動能定理,其關系如表1所示.對質點系列動能定理方程的時候,不僅要考慮到內力做功的問題,還要全面考慮到所有外力做功.如果進一步擴展的話,我們會發現,牛頓定律、動量定理也要做類似區分.

表1 各動能定理與對應的功