基于蒙特卡羅方法的混凝土屋面工程防水失效概率算法*

徐洪濤,肖緒文,朱志遠,秦 越,霍倩男,盧海陸,朱 彤,周 輝

(1.中國建筑股份有限公司技術中心,北京 101300; 2.中國建筑股份有限公司,北京 100030;3.中國建材檢驗認證集團蘇州有限公司,江蘇 蘇州 215008; 4.中國建筑第七工程局有限公司,河南 鄭州 450004)

0 引言

工程防水涉及多個工種和工序,其理論側重于材料學[1],在工程中一般遵循經驗或采用定性分析[2],工程人員在防水材料與系統研發、工程設計、選型等活動中,可客觀指導實踐的量化工具很少。

無論是材料防水有效性的試驗和判定方法、材料變形,還是變形、老化等因素導致防水失效的模型,都難以計算。材料變形、相互間協同作用的機理復雜,很多計算參數都具有不確定性,完全從數學解析式推導的計算模型可能與實際不符。所以,引入不確定分析方法更可行。

1 研究方法

不確定分析方法適用于輸入參數和輸出結果。當輸入參數不確定時,可基于概率的統計特征計算[3],如貝葉斯理論和馬爾科夫鏈蒙特卡羅模擬方法建立參數統計特征,結合Bootstrap、人工神經網絡的概率預測,基于Copula函數的輸入參數聯合概率分布模型等[4];當采用不確定度表征計算結果時,可用概率分布傳遞法實現輸出量概率分布的解[5]。當不能通過有效的數學模型求解析解時,蒙特卡羅方法(Monte Carlo method,MCM)可通過簡單的手段仿真工程隨機的工作機制,產生大量數據后以解決實際問題[6]。

理想條件下,屋面防水層的變形取決于鄰近材料的直接或間接作用,即協同作用。防水材料的有效性可通過試驗得到相對準確值;材料變形可采用熱工、力學理論進行計算,準確度高;材料層間的變形協同作用模型則相對困難,界面間的本構關系復雜,可引入不確定度。

結合研究對象的不確定特征,基于文獻、工程調研確定變形導致失效的典型部位,歸納材料變形量、變形區間,進行變形量組合計算,引入不確定參數表征變形界面和區間系數,生成滿足一定概率分布特征的隨機數據,采用MCM計算協同變形量,與材料防水有效性指標進行比較,得出防水失效概率。研究技術路線如圖1所示。

圖1 研究技術路線

2 研究內容

2.1 可行性分析

MCM可以通過不確定度或失效概率表征結果。以不確定度表征結果的方法被廣泛應用于不確定性的校準中,用于多個輸入量和單一輸出量的模型[7-8]。胡峰[9]依據試驗結果,根據指數分布密度函數計算產品的壽命;趙一帆等[10]指出MCM方法無需考慮輸入量相關性、模型非線性的影響,評定復雜模型的不確定度更可靠。計算過程通過輸入量Xi的概率密度函數(probability density function,PDF)離散抽樣,由模型傳遞輸入量分布,計算獲得輸出量Y的PDF離散抽樣值,進而由輸出量Y的離散分布數值得到輸出量的最佳估計值,確定不確定度和包含區間,計算過程如圖2所示。

圖2 以不確定度表征結果方法的計算過程

以失效概率表征結果的方法在建筑領域廣泛應用,在已知功能函數與基本變量的概率分布特征時,采用隨機抽樣并將抽樣值代入功能函數,通過大量抽樣不斷逼近真實失效概率。魏志翔等[11]基于橋梁有限元模型,分析大跨鋼管混凝土拱橋構件承載力極限狀態下的作用組合值,采用MCM對主要構件可靠度進行分析;楊艷等[12]以砌石重力壩為例,在已知統計參數分布特征的條件下,采用MCM生成隨機數代入功能函數,以失效次數和總次數判斷失效概率;祁隆等[13]將抗力、截面設定服從對數正態分布,計算結構的可靠性;張隆松等[14]采用MCM計算不同概率分布條件下的基坑變形可靠度。此外,MCM在機械、設備耐久性與可靠度方面也被廣泛應用。以失效概率表征可靠度的計算過程是通過數理統計理論中的抽樣方法,確定其PDF,獲取隨機變量樣本X1,X2,…,Xi,然后將樣本值代入數學函數Y=f(X1,X2,…,Xi)中進行計算,抽樣n次后,統計Y失效的次數n′,得到失效概率,計算過程如圖3所示。

圖3 以失效概率表征結果方法的計算過程

混凝土屋面的材料變形量、防水有效性指標可采用計算或試驗得出,而協同變形界面系數、協同變形區間系數可采用不確定度表達,需假定其PDF,采用隨機數生成,作為樣本參與計算。不確定度表征結果時需包含不確定度和包含區間,解讀相對繁瑣,以失效概率表征結果則相對直觀。綜合防水有效性、材料層變形、協同變形量、防水失效概率,可采用MCM建立計算方法。

1)屋面防水失效概率與構造相關,對應屋面構造、防水層的設置、類型、道數等。

2)以不同氣候區的溫度、濕度、荷載等作為輸入參數,采用解析式或有限元建模計算材料層變形量,針對典型部位對變形量進行組合。

3)引入不確定參數,計算防水層受其他材料層變形協同作用,采用MCM方法進行模擬,設定計算次數,判定失效次數,得到防水失效概率。

2.2 防水層協同變形量

材料層變形量可依據現有研究結果,防水層的相對變形量采用最不利條件組合,按部位進行分析。

2.2.1面層相對于保溫層變形

屋面面層變形與溫度相關,屬于周期性變化,保溫層初始階段變形具有一次性特征,防水層會受上側面層變形和下側保溫層變形的綜合影響,如圖4所示。

圖4 面層相對于保溫層變形對防水層的作用

若已知面層變形ΔuT,H、保溫層變形ΔuI,H,引入面層對保溫層協同變形界面系數γTI-T、保溫層對面層協同變形界面系數γTI-I,面層和保溫層變形對防水層的協同變形量Δuplane,TI可表達為:

Δuplane,TI=γTI-TΔuT,H+γTI-IΔuI,H

(1)

2.2.2基層相對于保溫層變形

屋面基層受外界溫度影響相對較小,保溫層初始階段變化具有一次性的特征,防水層會受上側保溫層變形和下側基層變形的綜合影響,如圖5所示。

圖5 基層相對于保溫層變形對防水層的作用

若已知基層變形ΔuD,H、保溫層變形ΔuI,H,引入基層對保溫層協同變形界面系數γID-D、保溫層對基層協同變形界面系數γID-I,基層和保溫層變形對防水層的協同變形量Δuplane,ID可表達為:

Δuplane,ID=γID-DΔuD,H+γID-IΔuI,H

(2)

2.2.3女兒墻部位面層相對于保溫層變形

女兒墻部位的變形為三維方向,面層、基層在水平方向存在變形,女兒墻在長度方向變形,防水層受到協同變形的作用,可能為拉伸或剪切狀態,如圖6所示。

圖6 女兒墻部位面層、保溫層變形對防水層的作用

面層變形取影響較大值,若已知面層變形ΔuT,H、保溫層變形ΔuI,H,引入面層對保溫層協同變形界面系數γPT-T、保溫層對面層協同變形界面系數γPT-I,當面層變形與女兒墻的變形垂直時,防水層受拉伸和剪切綜合作用,面層和保溫層變形對防水層的協同變形量Δuparapet,PT,tensile可表達為:

Δuparapet,PT,tensile=

(3)

若面層變形與女兒墻的變形方向平行,防水層主要受剪切作用,面層和保溫層變形對防水層的協同變形量Δuparapet,PT,shear可表達為:

Δuparapet,PT,shear=γPT-TΔuT,H+γPT-IΔuI,H

(4)

2.2.4女兒墻部位基層相對于保溫層變形

基層溫度條件相對穩定,女兒墻部位受外界溫度影響更明顯,主要變形來自于保溫層和女兒墻基層,如圖7所示。

圖7 女兒墻部位基層、保溫層變形對防水層的作用

基層與女兒墻變形按照變形方向取影響較大值,若已知基層變形ΔuD,H、保溫層水平方向變形ΔuI,H、女兒墻變形ΔuP,H,引入基層對女兒墻協同變形界面系數γPD-D、保溫層對女兒墻協同變形界面系數γPD-I、女兒墻對基層協同變形界面系數γPD-P,假設基層變形與女兒墻的變形垂直,防水層受拉伸和剪切綜合作用,Δuparapet,PD可表達為:

Δuparapet,PD=

(5)

女兒墻部位的變形協同作用相對復雜,防水層在受剪切或拉伸作用時,其實際變形與試驗室防水材料有效性試驗模型可能不一致,有待進一步研究。

2.2.5多層防水層協同變形

當有2層或3層防水材料疊合時,防水材料間的協同變形也存在不確定性,可依據材料之間的結合特征,引入防水材料間協同變形界面系數γM-M參與計算。

2.3 防水有效性判定

在引入不確定度協同變形界面系數γi后,可得出防水材料的協同變形量,為評判材料防水有效性,需確定防水層變形量Δu是否在防水有效性的范圍內,可引入變形區間尺寸LTEN,LTEN是一個不確定值,可采用協同變形閾值LLim和協同變形區間系數γj表達:

LTEN=LLimγj

(6)

在確定Δu和LTEN后,防水材料的協同變形延伸率δ可表達為:

(7)

在得到Δu或δ后,可對Δu與ΔuFailure進行比較,也可用δ與防水有效性δi,Failure進行比較,以判定防水層因協同作用變形后,是否能有效工作,其判定條件C為:

C=Δu-ΔuFailure

(8)

C=δ-δi,Failure

(9)

2.4 防水失效概率

判定條件C即屋面防水有效性。當防水層位于保溫層、結構層上部時,上部防水層不允許失效,否則將導致保溫失效,或在屋面內部存水;多層防水層疊合使用時,當多層防水層均出現失效時,才判定失效。

采用MCM方法模擬,一般可取104～106組輸入量計算[8],得到相應的輸出值數量MC,Total,依據判定條件C統計失效輸出值數量MC,Failure,得到相應部位的失效概率P:

(10)

如果防水層疊合使用,各層防水層是否失效概率Pi為獨立事件,所以失效概率P為:

(11)

2.5 不確定參數分析

防水層受鄰近材料協同變形作用與固定方式、壓力、界面、相鄰材料類型等影響,所引入的協同變形界面系數γi取決于以下條件。

1)完全同步變形 當相鄰材料聯系緊密,或通過機械固定方式連接時,材料變形會完全作用在鄰近材料層上,此時γi偏向于1,如通過鋼筋連接的混凝土構造柱、剛性連接等。

2)部分同步變形 相鄰材料通過摩擦力或內聚力作用,傳遞變形量,部分同步變形可能導致鄰近材料的變形不均勻,γi∈(0,1)。

3)完全不同步變形 相鄰材料之間通過摩擦力作用,但摩擦力有限,此時γi偏向于0,如界面間設置了緩沖層或隔離層。

如果假定協同變形界面系數γi服從“概率分布已知”的條件,在進行協同變形研究時,將γi作為輸入量,可依據試驗數據、專家判斷等方式確定PDF[7]。如果假定協同變形界面系數服從“概率分布已知”,其關鍵在于假定的概率分布是否與實際一致,這是決定最終計算結果準確度的關鍵。為了最大程度接近PDF的正確性,可先對各類γi進行排序,依據其相互之間的比較關系設定PDF。

3 討論

3.1 不確定參數假定概率分布已知

MCM方法中,不確定參數的分布特征是計算的關鍵。如果選取假定概率分布已知,可快速采用MCM計算,無論是材料還是構造的改變,其計算內核均為同一模型。所以,界定屋面材料、構造后,只要假定的PDF基本符合實際,就可將構造、材料、氣候區等影響防水可靠度的因素置于同一個平臺進行對比分析,以量化的結論對比,得出定性的結論。不確定參數包括協同變形界面系數γi、防水材料間協同變形界面系數γM-M和協同變形區間系數γj。

如果材料變形對防水層產生明顯作用,如屋面基層變形對鄰近防水層的作用、女兒墻基層對鄰近防水材料的作用,這些界面材料主要以熔接、粘貼、黏附、機械等方式連接,擬取指數分布,分布區間為(1,0)。

如果材料變形對防水層的作用不確定,如屋面面層與防水層、保溫層與防水層等,這些部位通過摩擦力傳遞,擬取正態分布。

如果材料變形對防水層的作用不明顯,界面的荷載有限,變形的相互作用或影響有限,如隔離層、空鋪的防水層,或層間摩擦力較低的保溫層與防水層,擬取指數分布,區間為(0,1)。

當多層防水層疊合時,如卷材類、薄片類材料,材料間相對獨立,擬取指數分布或正態分布,區間為(1,0)。

3.2 不確定參數概率分布未知

在第2.5節假定協同變形界面系數γi的PDF可知,而實際中γi可能沒有解析式,其概率分布未知。如采用Copula函數,可將一維邊緣分布與多維分布聯系,生成聯合分布。利用邊緣分布信息,可從實際中觀察主要的邊緣分布狀況,選擇合適的Copula函數類型,擬合現實數據,最后確定Copula函數中的待定參數,得到聯合概率分布。采用Copula函數,可采用小樣本確定研究對象的參數多維分布模型[4]。

對于混凝土屋面工程而言,也可參考Copula函數確定協同變形界面系數γi,在實驗室中采用小模型模擬實際場景,通過試驗觀察材料變形對界面材料的影響,以試驗數據作為樣本的函數[15]。

4 結語

通過對MCM進行可行性分析,基于防水層協同變形量和材料防水有效性指標,引入不確定參數,建立防水失效概率計算方法,得到以下結論。

1)進行混凝土屋面工程的量化分析時,很多參數都具有不確定性,適合引入不確定參數形成量化計算模型。

2)混凝土屋面防水有效性量化指標可采用防水失效概率表征。

3)基于MCM的防水失效概率計算方法,無論不確定參數的PDF已知或未知,均可建立相對客觀的算法,在此基礎上對量化結果進行對比,可得出相對客觀的結論,適于工程分析。

不同的工程部位、構造,其失效機理存在較大差異,材料層間的協同變形可結合試驗,以確定不確定參數已知或未知的PDF,防水有效性指標也需通過更多的試驗確定。