刀具偏心跳動下側銑硬脆材料的瞬時銑削力模型

馬廉潔，杜文豪，趙鎮，邱喆

1.東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819

2.東北大學秦皇島分校 控制工程學院，秦皇島 066004

切削力是表征加工狀態的關鍵參數之一［1-4］。銑削過程中，刀具的偏心跳動是導致銑削力不均勻的重要因素，刀具及主軸部件的制造誤差、裝夾誤差造成刀具軸線和主軸理想回轉軸線之間漂移和偏心使刀具在加工中產生偏心跳動［5］。然而，偏心現象難以根除，其不僅影響切入角和切出角，還會影響瞬時切削厚度，導致刀具的偏移側承受更高的峰值力和切削刃的不均勻磨損［6］。這一問題在硬脆材料銑削加工中尤為突出，因此銑削力預測中考慮刀具的偏心跳動是提高預測精度的關鍵。

銑削的特點是刀具間歇接觸工件的過程，各齒瞬時切削厚度不同，確定切削點相對工件的運動軌跡尤為重要，決定了瞬時未變形切削厚度［7］。Bao 和Tansel［8-9］提出了包含刀具移動和旋轉的刀齒軌跡的切屑厚度模型，同時將刀具跳動考慮到微銑削中，提出了一個分析切削力模型，該模型具有切屑厚度的緊湊表達式。Zheng 等［10］將切屑幾何形狀分為6 種情況，建立了切削力預測模型，并在假設切屑幾何形狀不變、忽略刃口變化的情況下，建立了簡化的動態切屑模型。Sutherland 和Devor［11］考慮系統變形對切屑負載的影響，平衡切削力和產生的系統變形的切屑負載，將切削力和表面誤差的柔性系統模型與鑄造鋁合金試驗值、剛性系統模型預測值進行比較，表明該柔性模型預測更加準確。Wan 等［12］將總切削力視為獨立于跳動的標稱分量加上跳動引起的擾動分量的總和，通過使用來識別平面端銑削中的刀具偏心跳動和切削力系數標稱分量的瞬時值求解擾動分量的線性化方程，處理后的切削力模型的預測結果與實驗數據吻合度較高。Zhang 等［13］在考慮刀具跳動的情況下，將瞬時銑削力和銑削力系數用欠定義線性方程組表示，采用最小二乘法，利用提出的校準程序尋求最佳的跳動參數，并通過實驗驗證提高了預測精度。Wang 等［14］提出了一種預測球頭銑刀銑削力及其概率特性的方法，通過對不同銑削力的積分，建立了銑削力預測模型，利用銑削力的平均值和幅度來識別銑削力系數。考慮切削參數隨機性的銑削力概率分析，并采用自適應克里格模型重建了切削參數與銑削力之間的函數關系。Zhang等［15］通過考慮刀具跳動和傾斜偏差對刀具路徑以及底刃切削的影響，提出了一種微型平面立銑刀的切削力模型，并根據剪切域和耕犁域狀態下的銑削機制來計算，通過最小二乘擬合方法，并研究了基于所提出模型的不同進給率和軸向切削深度下的預測切削力。劉濤和張麗芳［16］從渦旋盤銑削過程出發，建立了考慮刀具跳動的瞬時銑削力模型，提出了一種基于改進粒子群優化算法（Particle Swarm Optimization， PSO）對銑削力模型參數進行求解的方法，提高瞬時銑削力預測精度。眾多學者運用不同的改進方案，提高模型參數和系數辨識精度，進而提高了銑削力預測的精度。

由于硬脆材料的特殊性能，銑削時的每齒進給量極小，放大了刀具偏心跳動對各齒銑削力變化的影響，因而常規銑削力模型對硬脆性材料來說難以適用。以側銑可加工微晶陶瓷為對象，以Martellotti銑削力模型理論［17］基礎，通過切削層面積和偏心跳動確定瞬時銑削力作用點，建立瞬時整體銑削力模型，用以研究硬脆材料銑削力的變化規律。從而簡化銑削力建模和系數求解的過程，同時降低求解的隨機性和復雜性。當前有關金屬材料的銑削力建模已做豐富研究［18-19］，然而對硬脆材料銑削力的探討主要集中在微銑削［20-21］加工中。

1 瞬時銑削面積

1.1 切削微元次擺線方程

銑削過程中，刀具與工件的相對運動軌跡是一個次擺線運動，圖1所示為第1 個軸向微元所在平面處的銑刀截面圖。點O為主軸的旋轉中心，點O'為立銑刀的軸線，線段OO'為偏心距r0。定義距離OO'連線最近的微元切削刃為第1 條切削刃O'A1，1，沿刀具旋轉反方向依次定義為第2、3、…、N條切削刃，N為銑刀的切削刃數。

圖1 刀具偏心跳動與微元切削半徑的關系Fig.1 Relationship between tool eccentricity and runout with micro-element cutting radius

如圖1所示，偏心角δ0為第1 刃與偏心方向的夾角。由于微元切削刃在軸向沿螺旋線分布，故同一切削刃上的不同微元的瞬時切削半徑不同，因此引入微元滯后角：

式中：β為銑刀螺旋角；ap為軸向切深；Rmt為銑刀半徑；M為沿軸向切深ap將切削刃等分的分段數量。

針對ΔOO'Ai，j，利用余弦定理可得微元平面上第i條切削刃第j個微元的瞬時切削半徑：

式中：δi，j為第i條切削刃第j個微元的偏心角，其表達式為

根據上述分析，將銑刀的各微元刃的旋轉中心轉換到主軸中心，同一平面上的各相鄰微元點與主軸中心的連線形成新微元夾角為θm，故新的微元Ai，j的瞬時角位置為

式中：n為主軸轉速；ti為第i條切削刃對應的轉動時間。

綜上，可得銑刀任一微元Ai，j的運動軌跡次擺線方程：

式中：vf為進給速度。

圓心Oi，j的運動軌跡方程為

1.2 瞬時切削厚度

如圖2所示，由式（5）模擬切削刃的運動軌跡。Di，j是第i個切削刃的第j個微元在時間ti時的位置，角度為θi，j，Di-1，j是第i-1 個切削刃的第j個微元軌跡與線段Oi，j Di，j的相交點，設其時間為ti-1，角度為θi-1，j。以線段Di-1，j Di，j為研究對象，進行瞬時切削厚度分析。

圖2 微元平面內偏心跳動的瞬時切削厚度Fig.2 Instantaneous cutting thickness caused by eccentricity and runout in infinitesimal plane

根據式（5），可得Di-1，j、Di，j坐標分別為

根據式（6），可求得Oi-1，j、Oi，j的坐標為(vfti-1/60，0)、(vfti/60，0)。

故直線Oi，j Di，j的方程為

直線Oi，j Di，j與切削軌跡Ai-1，j必存在交點，并取在切削范圍內的交點，將式（7）代入式（9），可得交點Di-1，j的坐標滿足如式（10）所示的方程。

式中：θi-1，j和θi，j分別由ti-1和ti決定，當給定ti的范圍，利用二分法可得到ti-1的值，進而得到交點Di-1，j的坐標，其計算流程如圖3所示。

圖3 瞬時切削厚度計算流程圖Fig.3 Calculation flow chart of instantaneous cutting thickness

當偏心跳動量大于每齒進給量時，會導致某些切削刃出現空切，通過求解當前微元刃所在齒位角與前N-1 個切削刃微元軌跡的交點，選擇與Di，j距離最小的點，即為，由此可以得到偏心跳動下的瞬時切削厚度：

由圖2 分析，將側銑過程分為2 個階段：圓弧軌跡切削階段（P1之前）和工件邊緣切削階段（P1P2）。當銑刀經過圓弧軌跡切削階段時（P1之前），瞬時切削厚度hi，j如式（12）所示。當銑刀經過工件邊緣切削階段P1P2位置時，其瞬時切削厚度hi，j如式（13）所示。

如果hi，j為正值，說明第i條切削刃的第j個微元參與切削，hi，j為當前的瞬時切削厚度；如果hi，j為負值，說明第i條切削刃的第j個微元空切，此時的瞬時切削厚度為0：

圖4（a）是模擬加工過程中各銑削刃的運動軌跡圖（軌跡T1、T2、T3），模擬參數為：ae=0.4 mm，vf=250 mm/min，n=500 r/min，ap=4 mm，r0=-0.016 mm，δ0=20.1°。圖4（b）是除去其他軌跡的干涉，提取出主要的加工過程示意圖，軌跡T1與軌跡T3交于點J13，軌跡T2與軌跡T3交于點J23，軌跡T3與軌跡T2交于點J32，軌跡T1、T2、T3分別與未加工表面交于點J1e、J2e、J3e，圖中陰影部分斜線展示了部分瞬時切削厚度，可見瞬時切削厚度是隨著刀具轉動不斷變化的。圖4（c）所示，每條切削刃的切削過程都經歷了瞬時切削面積的增加和減小過程，在軌跡T2切削刃參與切削的最大未變形切削厚度最大，隨刀具的轉動瞬時切削厚度呈現周期性變化。

圖4 瞬時切屑厚度仿真圖Fig.4 Simulated diagram of instantaneous chip thickness

1.3 瞬時切削面積

由瞬時切削厚度hi，j和滯后角ψ( )j，可得出銑削過程中任一時刻參與切削的切削刃對應的切削層面積Si(φ)即第i條切削刃在位置角φ處所有微元的瞬時切削面積：

齒位角等分的數量M越大，求解的精度越高，當M趨近于無窮大時，求解的瞬時切削面積近似為實際瞬時切削面積。根據式（15）獲得隨銑刀旋轉角度的瞬時切削面積，如圖5所示。

圖5 仿真的瞬時切削面積Fig.5 Simulated instantaneous cutting area

2 瞬時銑削力作用點

2.1 刀具偏心角

如圖6所示，通過線性搜索法，不斷改變刀具偏心量r0和偏心角δ0，尋找最優的結果，各齒銑削力實驗值峰值占所有銑削力峰值的比值與計算獲得的各齒瞬時切削面積峰值所占瞬時切削面積峰值總和的比值的平方和ξ最?。?/p>

圖6 刀具偏心跳動參數線性搜索流程圖Fig.6 Linear search flow chart of tool eccentricity and runout parameters

式中：Fjmax為第j齒對應的銑削力的峰值，Sjmax為第j齒對應的瞬時切削面積的峰值。

2.2 瞬時銑削力作用點

以整體銑削力構建銑削力模型時，需要使用整體的瞬時切削層面積計算，因此銑削力的作用點的選取尤為重要，將直接影響銑削力的坐標轉換結果，影響模型精度。選取切削刃瞬時切削層面積的1/2 處所對應的角度為銑削力作用點對應的角度，與之對應的位置點為銑削力作用點。

由于偏心跳動對瞬時切削厚度和切削層形狀的影響比較復雜，難于直接計算，故利用一維搜索算法進行包含偏心跳動的瞬時銑削力作用點的精確求解，求解流程如圖7所示。

圖7 瞬時銑削力作用點算法流程圖Fig.7 Algorithm flow chart of instantaneous milling force action point

3 瞬時銑削力模型

3.1 建模思想

實際測量的銑削力是3 個方向的整體銑削力，反映的是銑削過程中某時刻的所有微元的合力。而傳統銑削力模型中的切削力是切削微元力，微元力大小在實驗中不易獲得，同理，其切削力系數亦是微元力系數。同時，傳統的切削力系數的求解中包含的大量的刀具參數和材料屬性等，模型復雜，計算量大。

考慮可加工微晶陶瓷銑削去除過程的隨機性和瞬時銑削力的不穩定性，以Martellotti 銑削力模型理論［17］為基礎，從整體思想出發，建立包含瞬時切削面積和瞬時銑削力作用點的瞬時整體銑削力模型。在運動學分析的基礎上，通過銑削力實驗，基于最小二乘法獲取銑削力系數。從而簡化銑削力建模和系數求解的過程，同時降低求解的隨機性和復雜性。

3.2 模型建立

可加工陶瓷以脆性斷裂為主，裂紋擴展及成屑后，在已加工表面留下大量的凹坑，且陶瓷工件的彈性回復率較小，刀具-工件受到耕犁作用的影響較小。因此，基于Martellotti 銑削力模型，不考慮耕犁力，構建銑削力與瞬時切削面積的關系，提出新的瞬時銑削力模型：

式中：Fti(φ)、Fri(φ)、Fai(φ)分別為第i條切削刃對應的瞬時切向力、瞬時徑向力和瞬時軸向力；Kts、Krs、Kas分別為切向、徑向和軸向切削力系數。

現定義各切削力系數是瞬時切削面積的冪函數，即

式中：T0、T1、R0、R1、A0、A1為冪函數常數項。

圖8所示的受力關系，將模型中基于切削刃的坐標系轉化為機床-刀具的笛卡爾正交坐標系，有

圖8 瞬時銑削力受力分析Fig.8 Force analysis of instantaneous milling force

式中：Fxi(φ)、Fyi(φ)、Fzi(φ)分別為在x、y、z3 個方向上第i條切削刃對應的瞬時銑削力；χ為銑削力等效作用點對應的角度。

硬脆性材料一般以脆性斷裂為主，銑削加工時塊狀崩除成屑，新表面形成時表面殘留的凹坑較多，與刀具接觸的面積較小，所以，摩擦力、軸向力較小，可以忽略。不再考慮軸向力的影響。

將切削力系數代入式（19）中，得到包含瞬時切削面積和銑削力作用點的瞬時銑削力模型為

4 模型驗證

4.1 實 驗

銑削實驗以TC500R 數控銑床為實驗平臺，以可加工微晶陶瓷為實驗材料，采用直徑為6 mm 的硬質合金銑刀，切削刃數為3，螺旋角為45°，無冷卻側銑加工。采用KISTLER 公司的高精度、六分量切削力測量系統測量瞬時銑削力，采樣頻率為10 Hz，銑削實驗設備及測量系統如圖9所示。通過Type9119AA2 測力儀將銑削力轉化為電信號，經Type5080A 多通道信號放大器放大，5697A1 數據收集系統記錄到計算機中。

圖9 銑削實驗設備及測量系統Fig.9 Milling experiment equipment and surveying system

實驗分2 個階段進行，第1 階段以瞬時銑削力模型系數辨識為目標，其實驗參數如表1所示。第2 階段以模型準確性驗證為目標，驗證實驗參數如表2所示。

表1 銑削力模型系數辨識實驗參數Table 1 Experiment parameter of identification coefficient for milling force model

表2 模型驗證實驗參數Table 2 Model verification of experiment parameter

4.2 瞬時銑削力系數

按照表1 測得的瞬時銑削力實驗結果，將瞬時銑削力、瞬時切削層面積和銑削力作用點進行同步化處理并提取k個采樣關鍵點，將瞬時銑削力、瞬時切削面積和銑削力作用點角度峰和谷均相對應（處理后的數據如圖10所示）。

圖10 同步化處理結果Fig.10 Synchronization processing result

根據第一階段（以瞬時銑削力模型系數辨識）實驗結果，以最小二乘法可求解系數T0、T1、R0、R1，由此得到瞬時銑削力系數：

4.3 誤差分析

銑削力模型實驗值與預測值對比結果如圖11和圖12所示，通過對比圖可以看出，銑削力模型預測曲線與實驗實測曲線無論在波形、幅值、變化趨勢及非切削時間間隔等方面都較為吻合，整體的擬合效果較好，且實驗V1 的擬合效果最好。由于螺旋立銑刀滯后角的存在，使其在該軸向切深下的切削層積存在不變區間，進而使其銑削力預測值在峰值區域保持不變，呈現水平直線。

圖11 實驗V1 的銑削力實驗值與預測值對比Fig.11 Comparison between experimental value and predicted value of milling force in test V1

圖12 實驗V2 銑削力實驗值與預測值對比Fig.12 Comparison between experimental value and predicted value of milling force in test V2

本文研究的是瞬時銑削力，主要對銑削力的變化趨勢和周期性進行分析，且銑削力的峰值對刀具和工件的影響較大，故本文選擇了對峰值力的平均值進行比較，得到如表3 和表4所示的瞬時銑削力Fx和Fy的預測誤差表，其中，Fx1、Fx2和Fx3分別為三刃銑刀三條切削刃作用下在x方向對應的峰值銑削力，Fy1、Fy2和Fy3分別為三條切削刃作用下在y方向對應的峰值銑削力。通過分析計算，得到該模型的銑削力預測平均誤差控制在8%以內，預測精度較高。

表3 Fx的預測誤差Table 3 Prediction error of milling force Fx

表4 Fy的預測誤差Table 4 Prediction error of milling force Fy

5 結 論

1） 通過分析刀具與工件的相對運動次擺線運動，得到了偏心跳動下的瞬時切削厚度，進而獲得了銑削過程中瞬時切削面積。通過線性搜索算法確定了銑刀偏心角、瞬時銑削力作用點。

2） 基于Martellotti 銑削力模型理論，整體思想出發通過對包含刀具偏心跳動的銑削運動學分析，建立了包含瞬時切削層面積、瞬時銑削力作用點和刀具偏心跳動的瞬時銑削力模型。

3） 以模型系數識辯實驗為基礎，利用最小二乘法獲得了銑削力模型系數，簡化了系數求解過程。實驗結果表明，預測值和實驗值銑削力波形擬合程度高，平均相對誤差不超過8%，瞬時銑削力模型具有較高的精度。