壓電微動(dòng)臺(tái)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)迭代前饋補(bǔ)償與自適應(yīng)抑振

王雯雯， 賴?yán)诮?， 李朋志， 朱利民

（1.上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海 201620；2.格魯斯特大學(xué) 計(jì)算與工程學(xué)院，英國 切爾滕納姆 GL50 2RH；3.中國科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033；4.上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240）

1 引 言

由壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器和柔性機(jī)構(gòu)組成的壓電微定位平臺(tái)在生物顯微操作、納米光刻、光學(xué)調(diào)整和超精密制造等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用［1-4］。然而，壓電微動(dòng)臺(tái)中的柔性機(jī)構(gòu)通常呈現(xiàn)的低阻尼諧振以及壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器自身的遲滯和蠕變等非線性特性對(duì)平臺(tái)的超精密運(yùn)動(dòng)控制帶來了巨大挑戰(zhàn)［5-6］。

為了減少遲滯非線性的影響，常用方法是建立一個(gè)精確的遲滯模型進(jìn)而進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償。研究人員建立了多種描述遲滯非線性的數(shù)學(xué)模型，如Duhem模型，Bouc-Wen模型［7］，Preisach模型［8］，Prandtl-Ishlinskii（P-I）模型［9-10］等。此外，為了描述壓電驅(qū)動(dòng)器遲滯非線性固有的率相關(guān)特性，研究人員相繼優(yōu)化或改進(jìn)了模型參數(shù)，建立了率相關(guān)P-I和廣義率相關(guān)P-I等模型［11］。雖然這些模型能夠很好地反映遲滯特性，但模型參數(shù)的辨識(shí)和遲滯逆模型的補(bǔ)償控制比較復(fù)雜，并且當(dāng)遲滯逆模型精度不高或者平臺(tái)受到外部干擾時(shí)，前饋等補(bǔ)償控制方法效果不佳［12］。

針對(duì)平臺(tái)低阻尼諧振振動(dòng)問題，通常采用諸如陷波濾波器或系統(tǒng)逆模型等零極點(diǎn)抵消的方法來消除低阻尼諧振的影響［13-14］，但是這類方法對(duì)系統(tǒng)模型比較敏感，負(fù)載和環(huán)境等因素的變化引起的模型誤差容易導(dǎo)致控制魯棒性差，甚至系統(tǒng)不穩(wěn)。此外，Aphale等還提出了利用正位置反饋、正位置速度反饋和積分阻尼控制等主動(dòng)阻尼方法［15-16］，通過改變系統(tǒng)零極點(diǎn)分布來增加其阻尼比，達(dá)到抑制系統(tǒng)低阻尼諧振模態(tài)的目的，但該類方法同樣需要精確獲得平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型。

綜合當(dāng)前研究現(xiàn)狀，針對(duì)壓電微動(dòng)臺(tái)遲滯補(bǔ)償和諧振抑制的各類控制方法中，較多依賴于系統(tǒng)的建模精度，極易影響平臺(tái)的定位精度和穩(wěn)定性。因此，如何在控制方法中消除對(duì)平臺(tái)精確數(shù)學(xué)模型的依賴性來有效提升平臺(tái)控制性能是亟待解決的問題。針對(duì)上述問題，國內(nèi)外諸多學(xué)者進(jìn)行了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)無模型控制方法的研究。如吉林大學(xué)的周淼磊等人提出了一種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的復(fù)合自適應(yīng)控制方法，該方法由校正控制器、無模型自適應(yīng)控制和低通濾波器組成［13］。該團(tuán)隊(duì)此外還設(shè)計(jì)了一種使用自適應(yīng)預(yù)測(cè)控制器的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制方法，該方法利用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行調(diào)整［14］。Mostefa Mesbah等人提出了一種新的基于無模型學(xué)習(xí)的控制器，利用輸入和輸出數(shù)據(jù)合成控制信號(hào)，能達(dá)到較好的跟蹤效果［15］。

由以上分析可知，當(dāng)前的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)無模型控制方法較多用于補(bǔ)償壓電平臺(tái)遲滯等非線性特性，但針對(duì)如何利用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)無模型控制方法同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)平臺(tái)的遲滯補(bǔ)償和諧振抑制問題研究較少。針對(duì)上述問題，本文提出一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)無模型前饋控制器和自適應(yīng)陷波濾波器相結(jié)合的復(fù)合控制方法來解決上述問題。首先搭建了基于壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器與橋式放大柔性機(jī)構(gòu)的微納米定位平臺(tái)及其實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。其次，在反饋控制基礎(chǔ)上，使用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)無模型前饋補(bǔ)償器，迭代優(yōu)化前饋輸入，提高系統(tǒng)的跟蹤精度。同時(shí)，設(shè)計(jì)了諧振頻率在線提取算法對(duì)陷波濾波器中心頻率、深度和寬度等參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，來抑制系統(tǒng)的諧振現(xiàn)象。最后，利用無模型前饋控制和自適應(yīng)陷波濾波的復(fù)合控制算法對(duì)壓電微動(dòng)臺(tái)進(jìn)行軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證無模型迭代優(yōu)化和自適應(yīng)諧振抑制的可行性和有效性。

2 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)迭代前饋控制器

2.1 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)無模型迭代前饋控制器設(shè)計(jì)

假設(shè)單輸入單輸出壓電微動(dòng)臺(tái)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可以用以下輸入-輸出非線性映射來描述：

其中：i（t）和o（t）分別是系統(tǒng)Σ的輸入和輸出，H是描述輸入-輸出映射的非線性算子。式（1）的離散時(shí)間形式表示為：

其中，i（k），o（k）和Hd分別是離散形式的輸入、輸出和非線性算子。

在系統(tǒng)模型未知條件下，本文采用結(jié)合反饋和前饋的控制方法對(duì)壓電微動(dòng)臺(tái)實(shí)現(xiàn)高精控制，其中前饋部分采用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)無模型迭代學(xué)習(xí)前饋控制方法，反饋部分可首先選擇比例-積分（Proportional Integral，PI）PI等常規(guī)反饋控制器，其控制框圖如圖1所示。

圖1 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)前饋-反饋控制回路框圖Fig.1 Block diagram of a data-driven feedforward-feedback control loop

如圖1所示，系統(tǒng)的控制律設(shè)計(jì)為：

其中：i1（k）為PI反饋控制器的輸出，i2（k）為數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)迭代前饋控制器的輸出。兩者合成為一個(gè)有界的離散時(shí)間控制信號(hào)i（k），該信號(hào)能夠使輸出信號(hào)o（k）在很寬的頻率范圍內(nèi)跟蹤平滑的離散時(shí)間參考信號(hào)r（k）。

前饋控制律為：

其中：X（k）是迭代學(xué)習(xí)控制器的增益向量；γ（k）是由參考信號(hào)值r（k）及其過去N個(gè)值組成的N+1維列向量，分別表示為：

迭代學(xué)習(xí)增益向量X（k）的更新過程如下：

其中：r1（k）是延遲的參考信號(hào)值，l是延遲值，可以根據(jù)參考信號(hào)r（k）的變化率來確定；參數(shù)λ是學(xué)習(xí)率，控制跟蹤誤差e（k）的收斂速度。

2.2 穩(wěn)定性和收斂性分析

為了證明所設(shè)計(jì)控制器的穩(wěn)定性和收斂性，首先假設(shè)由H表示的壓電微動(dòng)臺(tái)非線性系統(tǒng)是輸入嚴(yán)格無源（Input Strictly Passive， ISP）和有限L2增益穩(wěn)定的，分別定義如下。

定義1：由映射H：i→o表示的壓電微動(dòng)臺(tái)非線性系統(tǒng)是輸入嚴(yán)格無源。即如果存在常數(shù)α和ε大于0，滿足以下無源不等式：

其中：|| ||2表示信號(hào)的L2范數(shù)，<，>表示內(nèi)積運(yùn)算。

定義2：用映射H：i→o表示的系統(tǒng)，如果存在一個(gè)常數(shù)η，滿足公式（11），則稱為系統(tǒng)具有有限L2增益或有限增益穩(wěn)定。

定理1：假設(shè)圖1所示單獨(dú)前饋補(bǔ)償控制系統(tǒng)是有限L2增益穩(wěn)定的輸入嚴(yán)格無源系統(tǒng)，則權(quán)向量X（k）和信號(hào)i2（k），y（k）和e（k）對(duì)于所有k都是有界的。證明過程如下：

將公式（7）改寫為：

保留公式（12）中X（k）的非受迫部分，用來說明X（k）的有界性，因此X（k）可進(jìn)一步改寫為：

考慮如下形式的Lyapunov函數(shù)：

只要證明V(k)-V(k-1)≤0，就可以保證公式（13）的穩(wěn)定性，從而保證了X（k）的有界性。

由式（13）可得：

根據(jù)式（16）和式（17），可以得出：

根據(jù)定理1和公式（18），得出：

因此，根據(jù)Lyapunov理論，系統(tǒng)（13）是穩(wěn)定的，學(xué)習(xí)控制器X（k）的參數(shù)是有界的。利用X（k）的有界性，進(jìn)而推出信號(hào)i2（k），o（k）和e（k）的有界性。

3 自適應(yīng)陷波濾波器

為進(jìn)一步提升平臺(tái)跟蹤精度，有效抑制平臺(tái)諧振，在反饋控制器中增加自適應(yīng)陷波濾波器對(duì)壓電微動(dòng)臺(tái)的低阻尼諧振進(jìn)行有效抑制。為了更準(zhǔn)確地調(diào)節(jié)陷波濾波器參數(shù)，本文在PI控制基礎(chǔ)上加入了改進(jìn)型陷波濾波器，其傳遞函數(shù)為：

其中：ωn為陷波濾波器中心頻率，k=k1/k1為陷波濾波器深度表示陷波濾波器寬度。

陷波濾波器中心頻率ωn的取值通過諧振頻率在線檢測(cè)獲得中心頻率，中心頻率是快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）后頻譜圖里幅值最大對(duì)應(yīng)的頻率點(diǎn)f。

頻率特性在線檢測(cè)過程如圖2所示，首先對(duì)誤差信號(hào)進(jìn)行采樣和FFT頻譜分析，完成誤差信號(hào)時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換，再將頻域值表示為復(fù)數(shù)R（n）存儲(chǔ)在系統(tǒng)緩沖器中，設(shè)計(jì)如圖2所示的諧振頻率提取算法。過程中首先求出R（n）點(diǎn)的頻率幅值|R（n）|，只有|R（n）|>幅值閾值Hset，若也滿足|R（n）|>|R（n-1）|，|R（n）|>|R（n+1）|和|R（n）|>Temp，此時(shí)將|R（n）|存儲(chǔ)到變量Temp中。接著進(jìn)入下一次循環(huán)，直到n=Nf，結(jié)束循環(huán)，最后從Temp中獲得諧振頻率點(diǎn)n。幅值閾值Hset取值為0.025 dB。通過以上算法求出諧振頻率點(diǎn)n，如果采樣頻率為fs，采樣點(diǎn)數(shù)為Nf，則計(jì)算出諧振頻率為：f=(n-1)*fs/Nf。

圖2 諧振頻率提取算法流程圖Fig.2 Flow chart of resonant frequency extraction algorithm

陷波濾波器深度參數(shù)k也是抑制諧振的重要參數(shù)。k的設(shè)定數(shù)值越小，陷波深度越深，諧振抑制效果越好，但是幅度過大會(huì)造成相位滯后，反而會(huì)加強(qiáng)振動(dòng)。k的設(shè)定數(shù)值由FFT后的諧振點(diǎn)處的幅值Hmax和陷波后的信號(hào)幅值Hf來確定，表示如式（22）所示：

陷波濾波器寬度Bw一般是指陷波中心頻率兩側(cè)，幅度降低到3dB兩個(gè)頻率點(diǎn)的差。在加入陷波濾波器后，幅值衰減到設(shè)置的幅值閾值Hset，幅值閾值水平線與諧振頻率兩側(cè)的FFT曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，頻率點(diǎn)分別為ω1和ω2，陷波濾波器的帶寬由式（23）確定：

4 軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)

4.1 壓電微動(dòng)臺(tái)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

壓電驅(qū)動(dòng)微納定位平臺(tái)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)由壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器PAL40VS12（行程為38 μm，剛度為25 N/μm），壓電控制器PDS21（輸入0~10 V對(duì)應(yīng)輸出0~120 V），電容傳感器（0~10 V對(duì)應(yīng)0~200 μm），數(shù)據(jù)采集卡PCI-6221，Matlab/Simulink半實(shí)物實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)以及柔性機(jī)構(gòu)等組成，各組成部分連接關(guān)系如圖3所示。柔性機(jī)構(gòu)采用復(fù)合橋式放大機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)對(duì)壓電驅(qū)動(dòng)器輸出位移進(jìn)行有效放大，輸出端采用雙平行四邊形機(jī)構(gòu)來減少寄生位移。半實(shí)物實(shí)時(shí)仿真的控制周期設(shè)置50 μs。

圖3 微納定位平臺(tái)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.3 Micro/nanopositioning stage experimental system

4.2 軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)

在Simulink中搭建基于自適應(yīng)陷波濾波器和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)迭代學(xué)習(xí)前饋補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制回路整體框圖（圖4）。在實(shí)驗(yàn)過程中，為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制算法有效性，首先只利用PI控制器對(duì)平臺(tái)進(jìn)行軌跡跟蹤，分別設(shè)置PI控制器的比例和積分增益為2.5和160，此時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)較為嚴(yán)重的諧振現(xiàn)象（圖5（a））。在此基礎(chǔ)上，依次加入自適應(yīng)陷波濾波器和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)前饋控制器，自適應(yīng)陷波濾波器置于PI控制器前對(duì)系統(tǒng)的偏差信號(hào)進(jìn)行采樣，對(duì)1個(gè)跟蹤周期內(nèi)采集到的誤差信號(hào)進(jìn)行FFT頻譜分析，在線獲得平臺(tái)諧振特性，對(duì)陷波濾波器參數(shù)進(jìn)行在線自適應(yīng)調(diào)整，實(shí)現(xiàn)平臺(tái)諧振的在線抑制（圖5（b））。隨后在自適應(yīng)陷波濾波器的基礎(chǔ)上加入數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)無模型前饋控制器，進(jìn)行軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)（圖5（c）和圖5（d）），可見無模型前饋控制器可以有效減少穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差，使跟蹤誤差實(shí)現(xiàn)逐步收斂，反饋控制器能夠改善閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，并確保對(duì)建模誤差、噪聲和干擾的魯棒性，最終達(dá)到較高的跟蹤精度。

圖4 定位系統(tǒng)復(fù)合控制回路整體框圖Fig.4 Overall block diagram of the composite control circuit of the positioning system

圖5 不同控制器跟蹤結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of tracking results between different controllers

上述三種不同控制器的跟蹤誤差對(duì)比如表1所示，可以看出所設(shè)計(jì)的基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)無模型前饋控制器和自適應(yīng)陷波濾波器的復(fù)合控制器能夠?qū)崿F(xiàn)更好的跟蹤效果。在進(jìn)入穩(wěn)定響應(yīng)后，復(fù)合控制器與單獨(dú)的PI控制和加上自適應(yīng)陷波濾波器的PI控制相比較，最大跟蹤誤差分別減小78.25%和70.83%。所設(shè)計(jì)的復(fù)合控制器在極大提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性的同時(shí)，也保證了跟蹤精度，實(shí)現(xiàn)了微納米定位平臺(tái)的高精度控制。

表1 不同控制器跟蹤誤差結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison of tracking error results of different controllers（μm）

為了研究數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)無模型前饋控制器中學(xué)習(xí)率λ對(duì)收斂速度的影響，分別設(shè)置不同的參數(shù)，通過實(shí)驗(yàn)分析了學(xué)習(xí)率與收斂速度的關(guān)系，結(jié)果如圖6所示。可見，當(dāng)跟蹤三角波信號(hào)周期次數(shù)一致時(shí)，隨著學(xué)習(xí)率λ不斷提高，最大跟蹤誤差逐漸減小，跟蹤精度也隨之提高，然而當(dāng)學(xué)習(xí)率λ=0.5時(shí)，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生諧振現(xiàn)象。本文學(xué)習(xí)率λ取值為0.1，N取值為2。

圖6 不同學(xué)習(xí)率跟蹤誤差收斂效果Fig.6 Convergence effect of tracking error with different learning rates

為進(jìn)一步驗(yàn)證復(fù)合控制器的有效性，分別對(duì)頻率為10 Hz和25 Hz、幅值為0.5 V（10 μm）的三角波信號(hào)進(jìn)行軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)，所得實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同參考軌跡跟蹤效果Fig.7 Different reference trajectory tracking effects

另外，為了更有效地評(píng)估本文提出的結(jié)合數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)無模型前饋控制器和自適應(yīng)陷波濾波器PI控制的復(fù)合控制器對(duì)公式（24）所示的變頻變幅值非周期性信號(hào)進(jìn)行軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)，所得實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示。

圖8 不同控制器對(duì)非周期信號(hào)跟蹤結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of non-periodic signal tracking results between different controllers

可見，復(fù)合控制器對(duì)跟蹤誤差能夠有很好的收斂效果，同時(shí)也具有抗干擾能力強(qiáng)、跟蹤精度高等優(yōu)點(diǎn)，能夠?qū)崿F(xiàn)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)柔性微納定位平臺(tái)的高精度軌跡跟蹤控制。

5 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)無模型前饋控制器和自適應(yīng)陷波濾波器的復(fù)合控制器，實(shí)現(xiàn)了壓電驅(qū)動(dòng)柔性微定位平臺(tái)的精準(zhǔn)控制。首先建立了數(shù)據(jù)無模型前饋控制器，并證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；其次，介紹了自適應(yīng)陷波濾波器，利用FFT分析系統(tǒng)誤差信號(hào)，設(shè)計(jì)諧振頻率在線提取算法，實(shí)現(xiàn)對(duì)陷波濾波器參數(shù)的在線實(shí)時(shí)整定；最后，利用所設(shè)計(jì)的復(fù)合控制器對(duì)三角波信號(hào)進(jìn)行軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：復(fù)合控制器在跟蹤三角波信號(hào)時(shí)，與單獨(dú)的PI控制和加上自適應(yīng)陷波濾波器的PI控制相比較，最大跟蹤誤差分別減小78.25%和70.83%。所設(shè)計(jì)的結(jié)合無模型前饋控制器和自適應(yīng)陷波濾波器的復(fù)合控制器能夠較好的跟蹤不同頻率下各類軌跡信號(hào)，低阻尼諧振現(xiàn)象得到了有效抑制；同時(shí)，極大提高了系統(tǒng)的跟蹤精度，滿足了微定位平臺(tái)高精的控制要求。