一種懸索橋主纜線形計算的新方法

摘要 懸索橋主纜計算理論有很多，但是傳統的方法存在諸多的缺點，特別是懸索橋主纜成橋線形分析求解過程收斂性問題，是傳統方法所必須面對的問題。為解決懸索橋主纜成橋線形分析求解過程收斂性問題，文章研究了外荷載與主纜線形的幾何關系，并構造出基于外荷載—線形關系的解析法基本方程，最后通過算例驗證了新方法的可行性、有效性及精度。所提出的方法對初值要求低，并且能快速收斂得到主纜線形精確解，適用于懸索橋主纜成橋線形分析。

關鍵詞 懸索橋；主纜線形；解析法；找形

中圖分類號 U412.352.1 文獻標識碼 A 文章編號 2096-8949（2024）04-0041-03

0 引言

目前懸索橋主纜計算理論主要包括有限元法、解析法。

有限元法發展歷史較為久遠，1966年Brotton首次發表一種以矩陣位移法求解懸索橋結構的通用分析方法^[1]。后續很多學者圍繞著幾何非線形梁單元剛度矩陣做了許多工作，如陳政清等的空間桿系UL行列式法等^[2]。

解析法最早是基于沿跨徑水平方向分布荷載假定的傳統拋物線理論，隨著跨度的增加，恒載沿跨徑方向分布的不均勻性趨于明顯，很多專家深入分析研究，逐步發展并形成了基于分段懸鏈線的解析法^[3]。分段懸鏈線法也納入了現行的懸索橋規范^[4]。

基于分段懸鏈線的解析法在研究過程中逐步與有限元法有機結合，大多以分段懸鏈線基本方程推導得到索單元剛度矩陣，納入當前主流懸索橋計算軟件。

基于分段懸鏈線的數值解析法參數少，收斂速度快，是目前計算精度最高、應用最普遍的方法，但是這類方法原理上需要引入包含索段無應力長度及變形相容條件的索段狀態方程，由于纜索結構強烈的非線性使得初值的選擇對迭代收斂性及收斂速度影響較大。

為了克服分段懸鏈線解析法的初值要求苛刻的不足，多位專家圍繞著力素與主纜線形幾何關系開展研究：孫遠等^[5]提出“合理軸線”思路，基于桁架單元和結構力學的基本原理直接建立單元坐標與桿端力的關系式，劉超等^[6]提出基于整體力學分析的主纜找形方法，以理想柔索為假定，對主纜控制點取矩構成基本方程，并求解支點反力，再通過迭代求解出主纜線形坐標。這些思路另辟蹊徑，不再使用分段懸鏈線解析法的基本方程，避開了容易導致迭代發散的無應力長度及變形相容條件，大大降低了對迭代初值的要求。

該文提出一種基于外荷載與主纜幾何線形的關系，用數值解析法迭代求解主纜線形的新方法，旨在降低初值標準，提高算法普適性，并能得到主纜線形的精確解。

1 基于外荷載—線形關系的解析法

1.1 基本假定

懸索橋主纜線形計算基本假定如下：

（1） 主纜為理想柔索，只能受拉，不考慮其抗彎剛度及抗扭剛度。

（2） 主纜的應力—應變符合胡克定律。

（3） 受力前后主纜的橫截面面積及抗拉強度均保持不變。

（4） 集中荷載均作用在單元節點上。

如圖1所示，以主纜地錨點為原點O，主纜塔頂錨點為A，中點為C點，B（x，z）點為主纜上任意點，主纜跨徑為L，兩端點Z方向高差為h，跨中垂度為f。

不失一般性，假設主纜上作用沿主纜索長方向分布的纜索自重等分布荷載q_s（x）和若干集中荷載P（x）如吊桿荷載等，考慮可能存在的斜吊桿，集中荷載P（x）可分解為水平方向的P_x（x）和豎直方向的P_z（x），地錨點O支點反力為F_x和F_z，分布荷載、集中力及支點反力方向均按與坐標軸同向為正，反向為負。

1.2 外荷載節點力素

為方便表述，引入外荷載節點力素定義如下：主纜上任意節點B左側外荷載在B點產生的節點力素定義為外荷載節點力素。外荷載節點力素包含外荷載節點力和外荷載節點力矩，分別用函數F（x）和M（x）表示。

如圖2所示，取任意主纜單元，單元左右節點分別為i和j，已知左節點外荷載節點力素為F_x（x_i）、F_z（x_i） 和M（x_i），單元上作用分布荷載q（x）和集中荷載Px（xj）、Pz（xj）。

外荷載節點力：

外荷載節點力矩迭代表達式為：

與常見的主纜線形顯式方程不同，基于外荷載—線形關系的解析法實際是采用外荷載節點力素方程（1）（2）（3）（6）（7）和線形方程（12）以迭代方式構建的隱式表達式。并通過引入“外荷載節點力素”概念，消除了對荷載分布形式的限定，應用范圍擴展為能夠求得“外荷載節點力素”的任意荷載分布形式都可以應用公式求解線形。

常規的無集中荷載拋物線法可以認為是基于外荷載—線形關系的解析法在跨徑方向均布荷載且無吊桿張力等集中荷載作用下的特例，均布荷載彎矩代入（12）可得到常見的主纜拋物線方程解析式：

主纜無應力長度S₀計算公式如下：

式中，T_i——任意主纜單元的張力；L_i——主纜單元長度；S——主纜的形狀長度。

2 算例

為方便對比，算例采用張志國等^[7]和沈銳利^[8]獨立計算過的某兩支點等高懸索橋，具體參數如下：

懸索橋跨度L=888 m，吊索間距12 m，主纜恒載集度q=54 kN/m，加勁梁等其余恒載集度W=200 kN/m，主纜截面積A=0.6 m²，索材彈性模量E=2.0×10⁵MPa，跨中矢高f=60 m，70 m，80 m，90 m，100 m。應用該文算法迭代計算了主纜水平張力H，主纜線形坐標及無應力長度，列表對比如表1～3。

由表1～3可知，該文算法的計算結果與文獻^[7-8]基本一致，說明該文提出來的基于外荷載—線形關系的解析法正確可行。

3 結論

該文提出了一種求解懸索橋主纜線形的新方法即基于外荷載與主纜線形關系的解析法。該方法以隱函數及迭代方式構造線形基本方程，力學概念清晰，迭代過程簡單，且計算得到的主纜線形坐標均為精確解。

該文的方法通過后置無應力索長及變形相容條件求解，簡化了求解難度，降低了迭代初值要求，提高了算法普適性。

參考文獻

[1]D. M. Brotton. A General Computer Program for the Solution of Suspension Bridge Problems. Lisbon， 1966， 27-49.

[2]陳政清， 曾慶元， 顏全勝. 空間桿系結構大撓度問題內力分析的UL列式法[J]. 土木工程學報， 1992（5）： 34-44.

[3]李傳習. 混合梁懸索橋非線性精細計算理論及其應用[D]. 長沙：湖南大學， 2006.

[4]公路懸索橋設計規范：JTG/T D65-05—2015[S]. 北京：人民交通出版社， 2015.

[5]孫遠， 羅文孝， 劉梅. 基于有限元列式的懸索橋主纜找形算法[J]. 土木工程與管理學報， 2018（2）： 116-123.

[6]劉超， 高展. 基于整體力學分析的自錨式懸索橋主纜找形法[J]. 同濟大學學報（自然科學版）， 2020（1）： 1-6.

[7]張志國， 鄒振祝， 趙玉成， 等．懸索橋主纜線形解析方程解及應用[J]. 工程力學， 2005（3）： 172-176.

[8]沈銳利. 懸索橋主纜系統設計及架設計算方法研究[J]. 土木工程學報， 1996（2）： 3-9.

收稿日期：2023-12-07

作者簡介：楊勇智（1976—），男，本科，高級工程師，研究方向：橋梁結構設計。