全國高考江蘇卷理科題的多解及推廣

徐達(dá)強(qiáng)+劉秋陽+劉成龍

摘要：分析了試題的命題源頭，并從不同的視角給出了試題的8種解法.

關(guān)鍵詞：源頭；多解；推廣

案例（2017全國高考江蘇卷理科12題）如圖1，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量OA，OB，OC的模分別為1，1，2，OA與OC的夾角為α，且tanα=7，OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB（m，n∈R），則m+n=.

一、命題探源

命題探源指的是探究命題的源頭.命題探源對認(rèn)識試題背景有積極作用，它是試題解法研究的起點(diǎn).波利亞在其名著《怎樣解題》中寫到“你以前見過它嗎？或者你見過同樣的題目以一種稍微不同的形式出現(xiàn)嗎？你知道一道和它相關(guān)的題目嗎？”[1]這正是在提醒我們解題時(shí)要弄清試題的源頭.

例1（2006年福建卷理科11題）已知OA=1，OB=3，OA·OB=0，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=30o.設(shè)OC=mOA+nOB（m，n∈R），則mn等于（）.

A.13B.3C. 33D.3

例2（2007年陜西卷理科15題） 如圖2，平面內(nèi)有三個(gè)向量OA，OB，OC， 其中OA與OB與的夾角為120°，OA與OC的夾角為30°，且OA=OB=1，OC=23|，若OC=λOA+μOB（λ，μ∈R），則λ+μ的值為.

例3（09年安徽卷理科14題）給定兩個(gè)長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°. 如圖3所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng).若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則x+y的最大值是.

向量分解的系數(shù)問題是高考的熱點(diǎn)，深受命題者的青睞.例1、2、3均呈現(xiàn)的是平面內(nèi)一個(gè)向量用另外兩個(gè)向量線性表示，求系數(shù)間的關(guān)系.該類問題主要涉及向量的分解、數(shù)量積、三點(diǎn)共線的向量表示以及平面幾何等知識，問題解答視角寬，能有效展示學(xué)生思維的靈活性和策略的多樣性.不難發(fā)現(xiàn)，2017年江蘇卷理科12題（下文簡稱12題）有以上例題的影子：不管是試題背景、呈現(xiàn)形式、設(shè)問方式，還是解答策略都驚人的相似.對例1、2、3這三個(gè)問題的研究有利于找到文中案例的解答思路.

二、解法研究

從系統(tǒng)論來看，一個(gè)數(shù)學(xué)問題就是一個(gè)相對獨(dú)立的系統(tǒng)，對系統(tǒng)的處理（解題）就是把系統(tǒng)中一個(gè)個(gè)零散的信息按照一定順序串在一起形成一個(gè)有機(jī)整體. 一題多解是解法研究的基本形式，體現(xiàn)的是信息組合的多樣性和思維策略靈活性.[2]12題的解答思路很多，如下：

視角一利用數(shù)量積公式求解

解法1由題意得：

OA·OC=m|OA|2+nOB·OA，

OB·OC=mOA·OB+n|OB|2，

于是（m+n）（1+OA·OB）

=OA·OC+OB·OC.

得（m+n）（1-35）=2×210+2×22.

所以 m+n=52×65=3.

視角二利用解析法求解

解法2如圖4建立坐標(biāo)系，則A（1，0），B（cos（34π-α），sin（34π-α）），

C（2cosα，2sinα）.

因?yàn)閠anα=7，

所以sinα=7cosα.

又因?yàn)?sin2α+cos2α=1 ，

所以sinα=7210，cosα=210.

故B（-35，45），C（15，75）.

由OC=mOA+nOB，所以m-35n=1545n=75 .

即m=54n=74 ，所以m+n=3.

解法3建立坐標(biāo)系（如圖5），則坐標(biāo)B（-1，0）、C（-1，1）.

設(shè)A（x，y），

因?yàn)閏osα=OA·OC|OA·OC|=210，

所以y-x=15x2+y2=1.即x=35y=45 .

所以A（35，45）.

由OC=mOA+nOB，得m=54n=74 .

所以m+n=3.

視角3利用三角函數(shù)法求解

解法4因?yàn)閠anα=7 ，所以sinα=7cosα .

因?yàn)閟in2α+cos2α=1，所以sinα=7210cosα=210 .

又cosα=OA·OC|OA|·|OC|=OA·（mOA+nOB）2

=m+nOA·OB2=210，

cos45°=OB·OC|OB|·|OC|=OB·（mOA+nOB）2

=n+mOA·OB2=22，

且OA·OB=|OA|·|OB|cos（α+π4）=-35 ，

所以m=54n=74 ，得m+n=3.

解法5因?yàn)閠anα=7，∠BOC=45°.

所以tan∠BOC=1.

所以tan∠MOD

=tanπ-（45°+α）

=-tan（45°+α）=43.

又sin∠MOD=45且MD=1，

所以O(shè)M=54，CM=74.

所以m=54，n=74.

所以m+n=3.

視角4利用幾何法求解

解法6如圖7所示，在RtΔCBD和RtΔCAE中，

m2=（n-1）2+1n2=（m-15）2+（75）2

解得m=54，n=74.

即m+n=3.

解法7由圖8，得OC=OB+BC=OB+OD.

設(shè)OD=aOB+bOA，

則OC=OB+BC=OB+（aOB+bOA）.

又因?yàn)椤螧OD=π2，∠BOC=π4.

所以∠DOA=α-π4.

即cos∠DOA=cos（α-π4）=|OD||OA|=1b=45.

解得b=54.

同理sin（α-45°）=|AD||OA|=45a=35.

解得a=34.

故OC=OB+BC=（1+a）OB+bOA.

得OC=OB+BC=（1+a）OB+bOA

=74OB+54OA.

所以m+n=54+74=3.

視角5利用等和線求解

解法8如圖9所示，連接AB，交于OC于D.

設(shè)xOA+yOB=OD，得x+y=1.

設(shè)OC=kOD，

所以O(shè)C=kOD=kxOA+kyOB

=mOA+nOB.

所以m+n=k=OCOD.

在△OAB中，設(shè)∠OAB=θ，于是ODsinθ=OBsin∠ODB .

因?yàn)閠anα=7，

所以sinα=7102，cosα=210.

又因?yàn)棣?+α+2θ=π，

所以tan2θ=tan（3π4-α）=34.

解得sinθ=55，cosθ=255.

所以O(shè)D=sinθsin（θ+α）=23.

故m+n=k=|OC||OD|=3.

評注文中從不同角度給出了8種解法，正所謂“條條大道通羅馬”——殊途同歸.8種解法呈現(xiàn)的是不同的思維策略，展現(xiàn)了達(dá)成目標(biāo)路徑的多樣性.前7種解法都比較常規(guī)，第8種解法給出了此類問題的本質(zhì)，值得重視.

三、推廣

設(shè)OA，OB，OC的模分別為a，b，c，OA與OC的夾角為α，OB與OC的夾角為β，（α，β∈（0，π2）），且tanα=λ，若OC=mOA+nOB.則m+n=.

利用解法8可以得到推廣中m+n的值，過程略.

參考文獻(xiàn)：

[1] 波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

[2] 鄭云升，向婉詩，劉成龍.《怎樣解題表》指導(dǎo)下的解題實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2012（2）：48-51.endprint