耦合MRT 方程的三哈密頓對偶系統

胡碧圓,曹陳辰

（寧波大學 數學與統計學院,浙江 寧波 315211）

物理、化學和生物學中的許多現象都可以用非線性離散方程來建模.近年來,離散方程的研究受到了廣泛關注[1-3].目前,研究者們已經獲得了很多離散可積系統,如Toda 鏈[4-5]、sine-Gordon 鏈[6]、Ablowitz–Ladik 鏈、Merola-Ragnisco-Tu (MRT)鏈[7]等.這些離散可積系統的哈密頓結構、Lax 對、精確解等都已得到充分研究.因此,尋找或者構造一些新的離散可積系統是一個重要的研究內容.利用三哈密頓對偶方法[8]、B?cklund 變換[9]、遞歸算子[10]等方法可以構造出新的可積系統.

1996 年,Olver 等[11]通過重組哈密頓算子得到CH 方程是KdV 方程的對偶方程的結論,同時也得到了mKdV 的對偶系統.2013 年,Tian 等[12]利用三哈密頓對偶方法發現Wadati-Konno-Ichikawa 方程的對偶系統是Song-Qu-Qiao 方程.2017 年,Kang等[13]同樣利用此方法構造了Dispersive Water Wave系統的對偶系統,并求出了對偶系統的B?cklund變換.2021 年,Zhang 等[14]首次將此方法用到離散可積系統上,構造了MRT 方程的對偶系統.

2010 年,Xu[15]構造了耦合MRT 方程,并求出了其哈密頓結構,通過達布變換給出了精確解.2015 年,Xu[16]進一步得到了與其相關的非等譜可積族.本文將通過重組哈密頓算子構造一個新的離散四分量可積系統.

1 耦合MRT 的對偶系統

耦合MRT 方程可以寫成以下形式:

其中rn,sn,un,wn是位勢函數.耦合MRT 方程有4 ×4 矩陣形式的譜問題:

其中

算子E定義為

耦合MRT 方程用雙哈密頓結構表示為

式中:

其中

首先,分解J2得到

因此,通過計算可以得到

從而可以導出四分量MRT 方程的對偶系統

可見,本文得出了耦合MRT 方程對偶系統的雙哈密頓結構.

2 耦合MRT 對偶系統的線性譜問題

首先,根據耦合MRT 方程的譜問題,假設

因此,恢復了相容的哈密頓算子J1和J2.為了得到耦合MRT 方程,需要選擇

其次,為了獲得耦合MRT 方程對偶系統的譜問題,先做變換λ→-1,則式(5)變成

利用等式(2)計算式(6),可以得到耦合MRT 方程的對偶系統.綜上所述,耦合MRT 方程的對偶系統有滿足零曲率方程的譜問題:

3 Darbux-B?cklund 變換

首先介紹gauge 變換

表3是純水飽和狀態下3種摻砂率試樣在剪切前的膨潤土有效干密度ρb的數值.由表中數據可知,純膨潤土的有效干密度要大于摻砂混合物.同時,摻砂率為30%的混合物中膨潤土有效干密度大于摻砂率為50%的混合物,因此純膨潤土試樣的強度要大于摻砂混合物試樣的強度,摻砂率為30%的混合物強度要大于摻砂率為50%的混合物強度.結合表3和圖4還可以得出,有效干密度ρb大于1.5 g/cm3的試樣出現了應變軟化現象,而ρb小于1.5 g/cm3的試樣只出現了應變硬化現象.

這一變換將譜問題(7)和(8)變成

令變換矩陣Tn為

其中tjl[n](j=1,2,l=1,2,3,4)是關于變量n和t的未知函數.

首先,定義

因此,基于式(12),可以從式(11)中推知

因此,

顯然,±λi(i=1,2)是det(Tn)=0的4 個根.接著,利用空間譜問題(7)和等式(12)可以得到

將式(14)代入式(13),很容易導出tjl[n+1](j=1,2,l=1,2,3,4)與Ai[n],Bi[n],Ci[n],Di[n]之 間的關系.

命題1由式(9)定義的矩陣有一樣的形式,即

對于命題1,先由相容性得到

其中

命題2在變換(15)下,由式(10)定義的矩陣有相同的形式.

同理,對于命題2,也是先由相容性得到

其中

根據命題1 和命題2,可以得到如下定理.

定理 1等式(15)是方程(3)的 Darboux-B?cklund 變換.所以在變換(15)下,方程(3)的任意一個解對應它的一個新解

4 精確解

很容易驗證rn=1,sn=1,un=1,wn=1,滿足方程,這將作為種子解.將這一種子解代入式(7)和式(8),可以得到滿足該方程組的兩組解,其中