P-Frobenius問題與p-對稱數值半群

應皓天 小松尚夫

摘 要： 針對p-Frobenius問題中出現的非對稱性問題，利用數值半群理論以及Apery集等工具研究了p-Frobenius問題對應的p-對稱數值半群。首先利用數值半群和Apery集等工具對p-Frobenius問題進行預處理，得到了對應數值半群和Apery集的各個變量；并將這些變量與對稱數值半群和Frobenius問題進行對比，由此定義了p-對稱數值半群，并給出了p-對稱性的刻畫。在此基礎上，首先給出了兩大類p-對稱數值半群，其次研究了對稱數值半群與p-對稱數值半群的p化關聯性。這兩類p-對稱數值半群給出了大量具體實例，而p化關聯性則可用于處理p-Frobenius問題中出現的非對稱問題。

關鍵詞： 數值半群；線性丟番圖方程；Apery集；對稱性；Frobenius問題

中圖分類號： O156.7

文獻標志碼： A

文章編號： 1673-3851 （2024） 03-0265-06

P-Frobenius problem and p-symmetric numerical semigroup

Abstract： ?In order to deal with the non-symmetry in p-Frobenius problem， we use the theory of numerical semigroup and Apery set to research the corresponding p-symmetric numerical semigroup. We first use the numerical semigroup and the Apery set as tools to get all kinds of variables of the p-Frobenius problem in advance， then we compare these results with the symmetric numerical semigroup and Frobenius problem. Then we can define the p-symmetric numerical semigroup and obtain its properties. On the base of these properties， we find two kinds of p-symmetric numerical semigroup and then research the relationship between the symmetric numerical semigroup and the p-symmetric numerical semigroup. These two kinds of p-symmetric numerical semigroups give lots of examples and the properties can do help to research the non-symmetry in p-Frobenius problem.

Key words： numeical semigroup;linear Diophantine equation; Apery set; symmetry; Frobenius problem

0 引 言

線性丟番圖Frobenius問題是數論中的一個經典的古老問題，是由Ferdinand Frobenius于20世紀初提出的。令{a1，…，am}為一組給定的非負整數組，考慮線性丟番圖方程a1r1+…+amrm=n是否存在正整數解，其中：n為給定自然數，ri為正整數未知元。當n足夠大時，這樣的方程一定有正整數解，也稱n可由{a1，…，am}表示。Frobenius問題就是尋找不能由該給定的非負整數組所表示的最大自然數的問題，而這個最大自然數則被稱為Frobenius數，記為g（a1，…，am）。

Assi等［1］提出，所有可由{a1，…，am}所表示的自然數的集合其實就是一個由{a1，…，am}生成的數值半群，且g（a1，…，am）恰好就是該數值半群的Frobenius數，所以研究Frobenius問題等價于研究一個特殊的數值半群。目前研究數值半群的核心課題之一就是研究對稱數值半群，因為所有數值半群都可以進行不可約分解，因此研究一般數值半群的性質可簡化為研究不可約數值半群的性質，而不可約數值半群一定是對稱數值半群或擬對稱數值半群。以上分解可參見Rosales等［2］文獻。

在Frobenius問題的基礎上，進一步考慮解的數目，Komatsu［3］研究了推廣的p-Frobenius數。令{a1，…，am}為一組給定的非負整數組，考慮可由{a1，…，am}所表示且其表示方法至少有p種的自然數所組成的集合，稱該集合為p化數值半群。該p化數值半群的Frobenius數被稱為p-Frobenius數，其恰好等于不能被至少p種{a1，…，am}所表示的最大自然數，而這樣的問題被稱為p-Frobenius問題。研究Frobenius問題及其對應數值半群，一般會先對對應數值半群進行不可約分解，再研究該數值半群的對稱性。然而事實上，對稱數值半群在p化后得到的p化數值半群卻不一定保持對稱性，因此難以利用以往的對稱數值半群相關性質來研究和分解一般的p化數值半群。

為了研究p化數值半群的的不對稱性，本文利用數值半群與Frobenius問題的密切聯系，以及Apery集等工具研究p化數值半群，將對稱數值半群的定義進行了p化推廣，從而定義p-對稱數值半群并研究了其相關性質。在此基礎上，給出了兩類p-對稱數值半群，并得到對稱數值半群與p-對稱數值半群的p化關聯性。這兩類p-對稱數值半群給出了大量具體實例，而p化關聯性可解決p-Frobenius問題中出現的難以處理的非對稱問題。

1 p-對稱數值半群的定義及其性質

1.1 p-對稱數值半群的定義

給定一組非負整數A={a1，…，am}且a1<…

一個數值半群S（A）被稱為是對稱的，如果它滿足：對一切不屬于S（A）的整數x有g（A）-x∈S（A）。

對每個k∈S（A）*S（A）＼｛0｝，定義k相關Apery集為：

Ape（S（A）;k）｛s∈S（A）|s-kS（A）｝=｛m0，m1，…，mk-1｝。

其中：mi為S（A）中滿足mi≡i（modk）的最小元素；第一個等號后為Apery集的第一種定義；第二個等號后為第二種定義。以上兩種定義等價，詳細證明可參見文獻［4］。由第二種定義，顯然Ape（S（A）;k）恰好含有k個元素；特別地，令k=a1時，記Ape（Sp（A）;a1）中最小的元素為l0（p）。

一個p化數值半群Sp（A）被稱為是p-對稱的，如果它滿足：對一切不屬于Sp（A）的整數x有l0（p）+gp（A）-x∈Sp（A）。注意到當p=0時有l0（p）=0，所以p-對稱數值半群包含了對稱數值半群，是對稱數值半群的p化推廣。

例1 令A={3，10，17}，則S1（A）={20，23，26，27，29，30，32，33，…}，其中…表示之后的整數都屬于S1（A）。故l0（1）=20，g1（A）=31，由定義易知S1（A）是1-對稱的。S2（A）={30，33，36，37，39，40，42，43，…}，故l0（2）=30，g2（A）=41，由定義易知S2（A）是2-對稱的。S3（A）={40，43，46，47，49，50，…}，故l0（3）=40，g3（A）=48，由于44S3（A）且44+44=88= l0（3）+g3（A），故S3（A）不是3-對稱的。

1.2 p-對稱數值半群的性質

令Gp（A）為所有不屬于Sp（A）的整數的集合。由p-對稱數值半群的定義顯然有：

引理1 給定一個p化數值半群Sp（A），以下條件等價：

a）Sp（A）是p-對稱的；

c）若x，y為非負整數且滿足x+y=l0（p）+gp（A），則x，y其中一個屬于Sp（A）而另一個屬于Gp（A）。

證畢。

定理1 p化數值半群Sp（A）是p-對稱的，當且僅當2d1=d2。

證畢。

對于給定的一組非負整數A={a1，…，am}且a1<…

證明 Punyani等［7］給出了以下用k相關Apery集中元素表示的Sylvester數公式：

對于p-Sylvester數，利用a1相關Apery集Ape（Sp（A）;a1）中元素可得：

等號兩邊同乘2，并將右邊的第一項求和中的mpi重新排序組合后求和，可得：

最后等號兩邊同除2。

證畢。

2 兩類p-對稱數值半群及其p化關聯性

本節將給出兩大類p-對稱數值半群，并研究這兩類p-對稱數值半群與其初始數值半群之間的p化關聯性。首先，采用標準表示研究二元情形下的一類p-對稱數值半群及其p化關聯性，然后利用定理2來研究三元特殊情形下的一類p-對稱數值半群及其p化關聯性。

2.1 二元情形

不妨設a

引理3 對于n的標準表示n=ax0+by0有：

a）0≤y0≤a-1；

b）對于任意整數n∈S（A），n∈Sp（A）當且僅當x0≥pb。

證明 a）如若不然，則y0<0或y0≥a。y0<0不滿足方程n=ax+by（y≥0）中y的要求，而y0≥a時x不是最大所求整數。故假設不成立因此0≤y0≤a-1。

b）先證明充分性。如若不然，則有n=ax0+by0且x0

再證明必要性。由x0≥pb，n=ax0+by0=a（x0-b）+b（y0+a）=…=a（x0-（p-1）b）+b（y0+（p-1）a）=a（x0-pb）+b（y0+pa），則n至少有p+1種表示，故n∈Sp（A）。

證畢。

定理3 對一切非負整數p，給定A={a，b}且a，b互素，則Sp（A）是p-對稱的。

證明 由引理3，Sp（A）中最小元素為pab且其后ab-1個元素可按如下排列：

其中縱向逐行增加a，橫向逐列增加b。注意到從pab+ab-a-b+1開始，所有整數都屬于上述排列，故屬于Sp（A）。由定義易得gp（A）=pab+ab-a-b。

此外，在此情形下有k=a1=a，故由定義知l0（p）=pab。

由Komatsu等［8］的結果，有以下關于二元情形的p-Sylvester數公式：

故有gp（A）+l0（p）+1=pab+ab-ab-pab+1=2pab+（a-1）（b-1）=2np（A），由定理2知，此時Sp（A）是p-對稱的。

證畢。

特別地，由Assi等［1］可知，A={a，b}且a，b互素時，對應數值半群S（A）都是對稱的，故有以下關于對稱數值半群與p-對稱數值半群的p化關聯性的推論：

推論1 對于二元情形A={a，b}且a，b互素，所有對稱數值半群S（A）在p化后變為p-對稱數值半群Sp（A）。

2.2 三元等差數列情形

對于高維一般情形，無論是Frobenius問題還是對應數值半群，相關研究都十分困難，目前許多文獻都研究一些特殊情形下的性質，如Marin等［9］研究了Fibonacci數列情形，Robles-Prez等［10］研究了三角形和四面體情形，Rosales等［11］研究了純元數組情形。本節主要研究三元等差數列情形，先給出一類p-對稱數值半群，再研究其p化關聯性。

定理4 令a為大于等于3的偶數，d為大于0的整數且a，d互素，A={a，a+d，a+2d}，則當p=a/2-1時Sp（A）是p-對稱的。

證明 由l0（p）的定義可知，當a為偶數，p=a/2-1時，l0（p）=2p（a+d）。此外，Robles-Prez等［12］給出了三元等差數列情形下關于p-Frobenius數和p-Sylvester數的公式：

其中：［］表示取整。

證畢。

特別地，由Binner［13］知，a為偶數，d為大于0的整數，且a，d互素，A={a，a+d，a+2d}時，此時數值半群S（A）是對稱的，故有以下推論：

推論2 令a為大于等于3的偶數，d為大于0的整數且a，d互素，A={a，a+d，a+2d}，則當p=a/2-1時，對稱數值半群S（A）在p化后是p-對稱的。

此外，當p=a/2-1時，難以求得l0（p），故無法利用上述方法考察Sp（A）的p-對稱性及其p化關聯性，但是通過計算和計算機輔助考察了許多例子后發現，Sp（A）也是p-對稱的。而且這種情況不僅存在于三元等差數列情形，經實驗還發現，一般的高維對稱數值半群在p化后仍保持p-對稱，故本文猜測，一切對稱數值半群在p化后是p-對稱的。

3 結 論

本文利用數值半群理論以及Apery集等工具，研究了p-Frobenius問題以及p-對稱數值半群。通過鏈長度和Sylvester數等數值半群不變量，給出了p-對稱數值半群的兩種等價刻畫，并以此為基礎研究了二元情形與三元等差數列情形，找到了兩大類p-對稱數值半群。在這兩種特殊情形下證明，對稱數值半群在p化后會變為p-對稱數值半群；但對一般的高維情形，難以給出嚴格的數學證明。在這些基礎之上，可繼續研究一些特殊的情形，發現更多的p-對稱數值半群及其性質，以助于研究一般高維情形的p-對稱性。

參考文獻：

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