系統化、本質化、多樣化：初中數學習題教學的應然追求

【摘 要】習題教學是初中數學課堂教學的重要環節之一，也是評價教學效果的重要抓手。通過優化習題教學設計，引導學生“用數學的思維與數學的語言分析和解決問題”，能夠實現“數學知識系統化建構、數學問題本質化探尋、數學問題多樣化解決”，進而培養學生核心素養。

【關鍵詞】初中數學；習題教學；系統化；本質化；多樣化

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2024）07-0059-05

【作者簡介】王瑞華，江蘇省泰州市高港實驗初級中學（江蘇泰州，225300）校長，高級教師。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）指出，要優化習題設計，注重發展素養。如何優化習題教學設計，實現有效習題教學，從而培養學生核心素養？筆者結合學校“名師工程系列”之“尚美講壇”——黨員、骨干教師示范課展示活動中一道習題的教學，嘗試說明如何通過習題教學實現數學知識系統化建構、數學問題本質化探尋和數學問題多樣化解決。

一、習題呈現

【閱讀材料】小明同學閱讀課外書籍時，發現這樣一道題目：如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，求證：[ABAC=BDCD]。

【舉一反三】愛動腦筋的小明自己編了一道題目：如圖1，在△ABC中，[ABAC=BDCD]，求證：AD平分∠BAC。請判斷此題是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請說明理由。

【嘗試應用】如圖2，⊙O是Rt△ABC的外接圓，點E是⊙O上一點（與點B不重合），聯結AE，并延長AE，BC交于點D，點H為AE上一點，且滿足[AHAB=12]，聯結BH交AC于點G，若[HGHB=13]，AB=[32]，求AE的長。

【靈活應用】如圖3，用無刻度的直尺與圓規在⊙O上找一點P，使得AP=3BP。

二、教學實施

1.觀察與思考

教師首先出示習題，讓學生獨立思考片刻。

師：由條件“在△ABC中，AD平分∠BAC”中的角平分線，你能聯想到什么？

生1：角平分線的性質定理和角平分線的性質定理的逆定理。

生2：可以聯想到等腰三角形“三線合一”。

生3：可以聯想到“角平分線、等腰三角形、平行”中“由二推一”。

師：很好。那由題目中要求證的“[ABAC=BDCD]”，你們又能聯想到什么呢？

生4：相似三角形對應邊成比例。要證[ABAC=BDCD]，只要證明△ABD和△ACD相似，但只存在∠BAD=∠CAD，而且直觀感覺兩個三角形形狀不同。

師：既然不能證明△ABD和△ACD相似，那么能否換一個角度思考呢？

生5：由“角平分線上的點到角的兩邊距離相等”，我們可以過點D分別作DH⊥AB于點H，DQ⊥AC于點Q，這樣就得到DH=DQ。（如圖4）

師：那由“DH⊥AB于點H，DQ⊥AC于點Q”可以聯想到什么呢？

生6：由垂直可以聯想到三角形的高，由高可以聯想到面積，所以我們可以用不同的方法求同一個三角形的面積來構造比例式。

師：很好。能具體說一說嗎？

生6：[S△ABDS△ACD=12AB?DH12AC?DQ=ABAC]，設BC邊上的高為h，則[S△ABDS△ACD=12BD?h12CD?h=BDCD]，從而得到[ABAC=BDCD]。

2.聯想與歸納

師：剛才那位同學利用面積法構造比例式，使命題得證。根據剛才角平分線的聯想，我們還可以怎么分析呢？請同學們先獨立思考，再小組交流。

生7：由角平分線我們可以聯想到“角平分線、等腰三角形、平行”中的“由二推一”。過點B作BE∥AC交AD的延長線于點E，可以得到AB=EB；由BE∥AC可以證明△ADC∽△EDB，有[ACEB=DCDB]，所以得到[ABAC=BDCD]。（如圖5）

生8：還可以過點D作DF∥AB交邊AC于點F，同樣得到AF=DF，△CDF∽△CBA，有[CFDF=CABA]，所以[CFAF=CABA]，根據平行線分線段成比例定理，由DF∥AB得到[CFAF=CDBD]，所以得到[ABAC=BDCD]。（如圖6）

師：兩位同學說得都非常好。大家比較一下這兩種做法，你有什么想法？

生9：我認為這兩種方法本質是一致的，都是借助于角平分線、等腰三角形、平行以及相似的有關知識解決問題。比較兩種做法，我覺得生7做法更簡潔。

師：說得非常好！我們解決問題既要注重問題的本質探尋和問題的多樣化解決，還要注重優化數學問題的解決方法。剛才由“AD平分∠BAC”，得到了“[ABAC=BDCD]”。反過來，在△ABC中，[ABAC=BDCD]，你能證明AD平分∠BAC嗎？請同學們先獨立思考，再小組交流。

生10：根據剛才第（1）題的探究過程，聯想到角平分線的性質定理的逆定理，要證明“AD平分∠BAC”，只需證明“DH=DQ”。把生6的解題過程加以修改可以得到：[S△ABDS△ACD=12AB?DH12AC?DQ=AB?DHAC?DQ]，設BC邊上的高為h，則[S△ABDS△ACD=12BD?h12CD??=BDCD]，從而得到[AB?DHAC?DQ=BDCD]，因為[ABAC=BDDC]，所以DH=DQ，命題得證。

師：非常好！這位同學不僅關注了知識間的聯系，聯想到角平分線的性質定理的逆定理，同時注重方法之間的關聯，用不同的方法求同一個三角形的面積構造比例式，把問題（1）的解決過程巧妙地遷移過來成功解決了問題（2）。

生11：生7的方法也可以借鑒。過點B作BE∥AC交AD的延長線于點E。要證明“AD平分∠BAC”，只需證明“AB=EB”。由BE∥AC可以證明△ADC∽△EDB，有[ACEB=DCDB]，因為[ABAC=BDDC]，所以[ABAC=EBAC]，即AB = EB，命題得證。

師：不錯。這位同學很巧妙地借助相似證明線段相等，再“由二推一”得到“AD平分∠BAC”。要證明兩個角相等，還可以聯想到什么呢？

生12：證明兩個角所在的三角形全等；兩直線平行，同位角相等，內錯角相等；同角或等角的余角或補角相等；相等角的銳角三角函數值相等。

師：很好。根據上面的聯想，能否利用三角函數的知識證明“AD平分∠BAC”呢？

生13：如圖7，過點B作BH⊥AD于點H，過點C作CG⊥AD于點G，可以證明△BDH∽△CDG，[BDCD=BHCG]，因為[ABAC=BDCD]，所以[ABAC=BHCG]，即[BHAB=CGAC]，在Rt△ABH和Rt△ACG中，sin∠BAH = sin∠CAG，從而AD平分∠BAC。

師：很好！同學們平時解決問題時要善于聯想，通過解決問題將碎片化的知識點加以梳理和整合；要善于思考，注重對數學知識的本質進行探究。

3.拓展與應用

師：利用上面探究的經驗，如何求【嘗試應用】中AE的長呢？請同學們先獨立思考，再小組交流。

生14：因為[AHAB] = [12]，條件“[HGHB] = [13]”可以轉化為“[HGBG]=[12]”，可得[AHAB]=[HGBG]，根據【舉一反三】得到的結論可得AC平分∠BAD。連接CE，如圖8，可以證明△ABC ≌△AEC，從而AE=AB = [32]。

師：真是舉一反三，活學活用呀！這里面有兩點值得大家學習，第一，將條件中的“[13]”結合圖形轉化為“[12]”，大家要學會深度剖析習題的數字特征；第二，學會將復雜圖形分解為基本圖形，逐步攻克。

師：現在來看【靈活應用】用無刻度的直尺與圓規在⊙O上找一點P，使得AP=3BP。回顧本題條件和結論，同學們有何聯想？

生15：要AP = 3BP相當于證明[APBP] = 3，聯想到前面的探究，假設點P已作，只需有∠APM=∠BPM，同時點N為線段AB的四等分點，只要作線段AB，BQ的線段垂直平分線得到點M，N，聯結MN并延長交⊙O于點P即為所求，如圖9。根據對稱性，在劣弧AB上也存在滿足要求的點P，如圖10。

師：這位同學利用前面探究得到的結論，將問題轉化后迎刃而解。我們在解決問題時，既要注重知識、方法的聯想關聯，也要關注對數學問題本質的探尋。課后請大家把今天講的內容整理到課堂筆記上。

三、教學反思

1.習題教學要有利于系統化建構數學知識

習題教學的目的是讓學生通過關聯、聯想將所學的知識、方法及思想進行有效的建構，使之更加系統化，為今后解決問題奠定基礎。因此，在幾何習題的教學過程中，教師既要重視問題的開放性、層次性，也要關注學生思維與素養的進階性。教師要引導學生不斷關聯與聯想，從原有認知入手，讓所學內容結構化、思維可視化，逐層滲透以實現知識的系統化建構，從而形成完整的知識體系。本節課筆者展示習題后，引導學生由條件中的角平分線展開聯想，在習題教學中引發高階思維活動，增強學生的遷移應用能力，實現其對知識的深度理解。［1］在學生回答問題的過程中，教師進行有針對性的點評，既是鼓勵也是歸納升華，促使其思考和建構知識，體現了“有效的教學活動是學生學和教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者”［2］。

2.習題教學要有利于本質化探尋數學問題

新課標指出，要強化對數學本質的理解，關注數學概念的現實背景，引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立起有意義的知識結構。因此，習題教學要借助典型題目，通過一題多解、多題歸一，引導學生有目標、憑依據、講條理、能系統地探究與思考，從而加深對數學本質的理解。上述教學中，教師從“AD平分∠BAC”出發，讓學生關聯聯想得出角平分線的性質定理及逆定理、相似三角形、銳角三角函數證明等多種不同的思路與方法，但問題的本質只有一個——證明兩個角相等。在分析問題的過程中，教師從問題本身出發，培養學生的動態思維，搭建問題解決的腳手架，并促使問題步步深入。［3］教師引導學生通過獨立思考、自主探究、合作交流等不同的學習方式，經歷對問題本質的探尋過程，使習題教學走上有效之路。

3.習題教學要有利于多樣化解決數學問題

習題教學要引導學生從不同角度思考問題，運用多樣化的方法解決問題，加深其對概念、定理的理解，感受不同解決方法的差異性，理解運用不同方法的原因、過程和結果，并對解決問題的方法進行評價反思，從而培養學生思維的深刻性、發散性，提升其解決數學問題的綜合素養。上述教學無論是從“AD平分∠BAC”出發得出“[ABAC=BDCD]”，還是由“[ABAC=BDCD]”推出“AD平分∠BAC”，教師都積極引導學生運用多種解決方法進行嘗試和探索，促進學生深刻認識數學知識方法和數學要素關系，培養學生的自主性思考能力，全面構建數學問題多樣化解決的認知結構，優化學生思維品質。

【參考文獻】

［1］莫煥群，毋曉迪.優化習題教學 提升解題素養［J］.中學數學研究，2022（7）：12?15.

［2］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：3.

［3］沈英.解題教學要體現“學生為主體”——從兩則教學片段說起［J］.中學數學，2020（6）：25?26.