獨立事件的理解與教學

關鍵詞：獨立事件；新、舊教材；多個事件的獨立性；教學建議

事件的獨立性、試驗的獨立性、隨機變量的獨立性都是概率論中的重要概念，高中階段主要討論兩個事件的獨立性. 獨立性與條件概率有著緊密的聯系，但《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》） 中將隨機事件的獨立性安排在必修部分，而將條件概率安排在選擇性必修部分，這就意味著不需要借助條件概率來理解隨機事件的獨立性，需要教師重新理解和審視獨立事件，以便實施后續相關教學.

文獻［2］對新、舊兩版人教A版教材中“事件的相互獨立性”的內容編排進行了詳細地對比討論，說明了從條件概率入手進行教學設計的優點和缺點，分析了人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“人教A版新教材”） 中“事件的相互獨立性”呈現出的三個特征（提前、升級、內容重構），強調了要認識到“獨立性”具有特殊性和重要性的雙重特征，給出了相關的教學建議，為教師理解知識、理解教材、實施教學提供了重要的參考視角.

在教學調研中，筆者明顯感受到許多一線教師對獨立事件的理解和教學存在較大困惑. 針對其中反饋較多的困惑點，筆者進行了思考并整理成文，敬請批評指正.

一、新、舊兩版教材中獨立事件的設置對比

不同版本的教材在“概率”模塊中對獨立事件的設置大致相同，現以蘇教版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“蘇教版新教材”） 為例，說明新、舊兩版教材對獨立事件的設置.

蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學》（以下統稱“蘇教版舊教材”） 將事件的獨立性放在了選修課程中. 在事件的獨立性之前，安排了隨機變量及其概率分布、超幾何分布、條件概率；在事件的獨立性之后，安排了二項分布、離散型隨機變量的均值與方差、正態分布. 由蘇教版舊教材的“本章回顧”（如圖1） 可以看出：為了邏輯的完整性，蘇教版舊教材將事件的獨立性放在條件概率之后. 條件概率的學習為事件的獨立性的學習作鋪墊，事件的獨立性的學習又為二項分布的學習作鋪墊.

蘇教版新教材將事件的獨立性放在了必修課程中. 在事件的獨立性之前，安排了隨機事件和樣本空間、隨機事件的概率、互斥事件；而條件概率、離散型隨機變量及其分布列、二項分布、超幾何分布、正態分布等內容則安排在了選擇性必修課程中.

由蘇教版新教材的“本章回顧”可以看出：獨立事件是事件運算和概率運算的概念之一，將它放在必修課程中，凸顯了它的基礎性和重要性. 蘇教版新教材的“本章回顧”，如圖2所示.

二、各版本教材對獨立事件的定義

蘇教版舊教材選修2-3第59頁給出的事件的獨立性的定義為：一般地，若事件 A，B滿足P（A |B） = P（A），則稱事件A，B 獨立. 且由條件概率分析后約定：兩個事件 A，B 相互獨立的充要條件是 P（AB） = P（A）P（B） .《標準》將條件概率放在了選擇性必修部分，意味著不能再用條件概率定義事件的獨立性.

各版本教材對兩個隨機事件的獨立性定義的處理不盡相同. 人教A 版教材、人教B版教材、湘教版教材、鄂教版教材、滬教版教材、蘇教版新教材對兩個事件相互獨立的定義基本一致：一般地，對于兩個隨機事件 A，B，如果 P（AB） = P（A）P（B），那么稱 A，B為相互獨立事件. 北師大版教材和蘇教版舊教材對兩個事件相互獨立的定義基本一致：事件A （或B）是否發生對事件B （或A） 發生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫作相互獨立事件. 之后，蘇教版舊教材將 P（AB） = P（A）P（B） 作為兩個事件相互獨立的充要條件.

事實上，大學教材基本都是在條件概率的基礎上分析、引入兩個事件相互獨立的定義的. 例如，文獻［3］和文獻［4］將兩個事件相互獨立定義為：如果 P（AB） =P（A）P（B）成立，那么稱事件 A，B相互獨立.

三、兩個事件相互獨立的教學

對于如何在不用條件概率的前提下給出兩個事件相互獨立的定義，編寫各版本教材的專家、學者的想法并不完全一致. 作為直接面對學生實施教學的一線教師，該如何選擇呢？筆者給出了如下思考，供大家商榷

1. 理解《標準》，融入主線

針對事件的獨立性，《標準》（必修部分） 的要求是：結合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義. 結合古典概型，利用獨立性計算概率. 這里強調了以有限樣本空間為例，抽象并理解事件的獨立性；以古典概型為載體，利用獨立性簡化概率的計算. 雖然事件的獨立性不僅僅針對有限樣本空間和古典概型，但是囿于學生的認知規律并考慮知識的循序漸進，教學中要謹慎使用無限樣本空間、非古典概型等內容討論事件的獨立性.

對于選擇性必修課程，《標準》在學業要求中提出：能夠結合具體實例，理解隨機事件的獨立性和條件概率的關系. 這里要求在學習條件概率之后，教師要重新審視事件的獨立性，建立條件概率與事件獨立性的關聯，加深學生對事件獨立性的認知和理解.

《標準》中的表述簡潔而不簡單. 教師需要明確，理解兩個事件相互獨立是建立在直觀經驗的基礎上、經歷從特殊到一般的數學抽象得到的，結合具體且適合的案例理解兩個事件的獨立性就是“兩個事件發生的概率互不影響”， P（AB） = P（A）P（B） 是對應的數學表達. 條件概率的學習有助于學生直觀理解事件的獨立性.

可能性的大小是隨機現象最本質的特征，而概率就是對隨機事件發生的可能性大小的度量. 在對隨機現象數學化的研究中，學生經歷了“抽象概念—定義運算、尋找關系、研究性質—推廣應用”的過程. 其中，運算和關系為性質服務，性質則為了化難為易、轉化概率進行求解. 事件的獨立性是事件最基本、最重要的一種關系，由此得到的運算性質極大地方便了相關概率問題的求解，為研究二項分布提供了邏輯基礎.

2. 以直觀經驗為抓手

受學生的認知水平和思維能力，以及課程整體安排等的限制，高中的概率與統計內容，既不要求也不可能從理論上做到系統完整. 教學時，教師務必以直觀經驗為抓手，在定性描述的基礎上，抽象相關概念，進行必要的定量刻畫.

獨立事件的教學，要從具體典型的實例（如拋硬幣、擲骰子、摸球等） 入手，通過直觀經驗分析事件A是否發生不影響事件B 發生的可能性，體會“事件A，B互不影響”，通過計算 P（AB），P（A），P（B）發現數學表達關系式 P（AB） = P（A）P（B），得到兩個事件相互獨立的一般定義.

這是從事件的關系和運算角度出發，基于直觀經驗、從特殊到一般、從感性到理性的定義抽象過程.該過程讓學生得到了充分的經歷和體驗. 抓住典型實例，抽象出定義后，再回到更多實例中，讓學生體會實例與抽象概念的典型范例之間的關聯，進而感悟定義的普適性.

值得關注的是，對事件A，B 獨立的直觀理解是“事件A，B 互不影響”，這里的“不影響”指的是“概率”，即其中一方是否發生不影響另一方發生的概率，而不是其中一方是否發生不影響另一方的發生（ A，B 有可能同時發生）. 這一點，要讓學生通過具體實例（如蘇教版新教材必修第二冊第278頁例3） 體會并感悟用嚴謹的數學表達對事件的獨立性進行定義的必要性.

總之，事件的獨立性的教學本質上是概念教學（不是公式解題教學），學生需要經歷歸納、概括、抽象的探究過程，相關定義的得出始于學生對具體實例的直觀分析，終于數學的嚴謹表達.

3. 有效整合，嘗試創新

梳理概率的知識結構和研究路徑會發現，條件概率與互斥事件、獨立事件一樣，都是為了得到概率的性質、簡化概率的運算而抽象出的概念.《標準》將隨機事件的獨立性置于條件概率之前，是對課程的選擇性、知識的層次性、學生的認知能力等多方因素綜合考量的選擇，一線教師可以針對具體學情對教學內容進行整合，實施個性化教學方案. 例如，教師可以根據研究數學對象的一般路徑“抽象概念—尋找關系、定義運算、研究性質—應用”，抓住概率學習探究的關鍵點——關系下的運算性質，結合圖形語言（如圖3）及具體實例組織教學，抽象出互斥事件、對立事件、獨立事件、條件概率等概念，并得到加法公式、乘法公式、全概率公式等重要的概率運算公式.

事件的獨立性的教學是在一般路徑指導下的教學中的一環. 教師只要明確這一點，就可以在大觀念和大單元教學觀的引領下組織教學.

四、關于多個事件的獨立性

雖然《標準》沒有對多個事件的獨立性提出要求，但是在后續的二項分布的研究中要用到相關知識. 因此，教師需要關注此類問題.

人教A版新教材必修第二冊第250頁在旁注部分提到：當三個事件 A，B，C 兩兩獨立時，等式 P（ABC） =P（A）P（B）P（C）一般不成立，并在隨后的練習和習題中分別設置了相關問題. 蘇教版新教材必修第二冊第278 頁中提到：獨立事件可以推廣到n 個事件的情形 （n ∈N，n gt;2） . 一般地，如果事件 A1，A2，…，An相互獨立，那么 P（A1A2…A ） n = P（A1）P（A2）…P（A ） n . 其他版本的教材則在事件的獨立性這節內容中沒有對多個事件的獨立性問題進行論述.

僅憑直觀經驗，學生很容易將多個事件的相互獨立誤認為是兩兩獨立. 事實上，對于多個事件，相互獨立一定兩兩獨立，但兩兩獨立未必相互獨立. 這里需要先明確多個事件相互獨立的定義. 例如，三個事件A，B，C 相互獨立不僅要求事件A，B，C 兩兩獨立，即滿足P（AB） = P（A）P（B），P（AC） = P（A）P（C），P（BC） = P（B）P（C），還要滿足 P（ABC） = P（A）P（B）P（C） ，即需要上述4個等式都成立才能定義三個事件相互獨立. 若要定義n個事件獨立，則需要2n - n - 1個等式同時成立：設A1，A2，…，An 為 n 個事件，如果對于任意的 k （1lt;k≤n）和任意一組1≤i1 lt; i2 lt; … lt; ik ≤n都有等式P（A ） i1Ai2…Aik=P（A ） i1P（A ） i2 …P（A ） ik成立，則稱事件A1，A2，…，An 是n 個相互獨立的事件.

由以上分析可以看出，對于蘇教版新教材中關于多個事件相互獨立的結論，需要教師加強認知，在理解“相互獨立”含義的基礎上實施教學，不能認為該結論只是兩個事件相互獨立的定義的“想當然”推廣.

此外，隨機試驗的獨立性直觀描述為各次試驗的結果之間互相不受影響；兩個隨機變量的獨立性直觀描述為其中一個變量取任何值都不影響另一個變量的分布. 高中階段，不要求學生對多個事件的獨立性、隨機試驗的獨立性、隨機變量的獨立性進行嚴格的定義，只要求學生進行直觀描述和判斷.

五、后記

筆者在進行教學調研時，與一線教師討論概率與統計的教學，得到的普遍反饋是“概率與統計這條主線的內容不好教”，很多教師甚至會對難以駕馭的重點和難點內容采取學生自學、教師講解題目的方式實施教學

教師理不清概率與統計的知識細節、無法構建完善的知識體系、不理解其中蘊含的思想方法、探尋不到知識的探究路徑，且未采取積極主動的思考和行動面對課程改革，固守以“應試解題”為核心的教學模式，自然難以適應“三新”（新課標、新教材、新高考） 背景下的教學. 事實上，只有教師善學習、能改變，才能從根本上促進課程理念的落實和課程目標的達成，從而全面提升學生的核心素養，為學生的可持續發展和終身學習奠定基礎.