非互易拓撲光子學*

王子堯 陳福家 郗翔 高振 楊怡豪

1) (南方科技大學電子與電氣工程系,深圳 518055)

2) (浙江大學量子信息交叉中心,浙江大學杭州國際科創中心,浙江大學極端光學技術與儀器全國重點實驗室,杭州 310027)

3) (南方科技大學,光纖光纜先進制造與應用技術全國重點實驗室,深圳 518055)

拓撲光子學的提出與發展為從根本物理原理上解決傳統光學器件易受干擾的問題提供了新思路,基于拓撲保護的新型魯棒光場調控極大地提高了光學器件的傳輸效率和穩健性.其中,基于時間反演對稱性破缺的非互易拓撲光子學及其手性拓撲態是拓撲光子學的重要分支,其拓撲特性由非零陳數或陳矢量表征,表現出超越互易拓撲光子學的嚴格拓撲保護魯棒性.本綜述將重點介紹非互易拓撲光子學在探索新奇物理現象(手性/反手性邊界態、反常非互易拓撲邊界態、三維光學陳絕緣體、磁性外爾光子晶體等)和構建非互易魯棒拓撲光學器件(單向光波導、寬帶慢光延遲線、任意形狀拓撲激光器、大軌道角動量相干光源等)等方面取得的顯著成果.最后對非互易拓撲光子學的發展現狀、潛在挑戰以及可能取得的突破進行了展望.

1 引言

隨著現代半導體和信息技術的飛速發展,摩爾定律逐漸逼近極限,以電子為信息載體的傳統信息技術面臨巨大挑戰.與電子(費米子)不同,光子(玻色子)具有傳輸速度快、傳輸損耗小、傳輸帶寬大等諸多優點,因此,用光子來代替電子作為新型信息載體成為近年來信息科技的前沿研究熱點,如光纖、光子晶體[1–3]、表面等離激元[4–6]、超材料[7]、超表面[8–10]、集成光學芯片[11]等.然而,在傳統光學器件中,當光遇到缺陷、雜質、大角度拐彎、折疊扭曲等障礙時,不可避免地產生有害散射,不僅極大地降低光學器件的傳輸效率,而且造成相鄰器件間的信號串擾,嚴重破壞光信息傳輸的穩定性和完整性.因此,如何實現高效、魯棒光信息傳輸就成為了一個亟待解決的關鍵科學挑戰,拓撲光子學的提出與發展為從物理根本上解決上述科學挑戰提供了新思路[12–27].

拓撲光子學源于凝聚態物理中對物質拓撲相的研究.與電子體系中拓撲絕緣體內部絕緣而表面導電類似,拓撲光學絕緣體同樣具有內部禁止電磁波傳輸而表面存在受拓撲保護的表面電磁波模式,這些表面波模式具有背散射抑制、缺陷免疫及單向傳輸等奇異特性,極大地增強了電磁信息傳輸的穩定性和完整性.一般來說,根據是否打破時間反演對稱性(time-reversal symmetry),拓撲光子學主要分為互易拓撲光子學(reciprocal topological photonics)[28–35]和非互易拓撲光子學(non-reciprocal topological photonics)[36–53],前者的拓撲性質主要用自旋/谷陳數描述,后者的拓撲性質主要用陳數(Chern number)/陳矢量(Chern vector)描述.下面先簡要介紹拓撲不變量(即陳數)概念.類似于電子體系的拓撲不變量取決于費米能級以下的所有能帶,在光子體系中,其拓撲不變量取決于帶隙以下所有能帶的共同貢獻.在數學上,陳數為貝利曲率(Berry curvature)在閉合面上的積分[54,55]:

其中,An(k)=〈un,k|i?k|un,k〉是貝利聯絡(Berry connection),un,k為第n條能帶波矢k處的本征態.如果一個系統具有時間反演對稱性,那么能帶的貝利曲率滿足?n(k)=-?n(-k) ;與此相反,如果一個系統具有空間反演對稱性(inversion symmetry),那么能帶的貝利曲率滿足?n(k)=?n(-k) .在時間反演對稱操作下,貝利曲率關于波矢k是奇函數;在空間反演對稱操作下,貝利曲率關于波矢k是偶函數.因此,當一個系統同時具有時間反演和空間反演這兩種對稱性時,其貝利曲率在整個布里淵區上處處為零,其陳數也為零.互易拓撲光子學主要研究具有時間反演對稱性的互易拓撲光子結構,其拓撲特性僅由特殊的空間對稱性保護,類似于凝聚態物理中的量子自旋霍爾效應和量子谷霍爾效應,因此它們的拓撲保護都是非嚴格的,只對特定缺陷或障礙才具有拓撲保護作用.相反,嚴格的強拓撲保護則需要利用時間反演對稱性破缺的系統(如光學陳絕緣體)來實現,其手性拓撲邊界態/表面態的單向魯棒傳輸不會被任何無序、缺陷、尖銳拐角、金屬等障礙物破壞,具有極強的抗干擾能力.因此,非互易拓撲光子學在提升光學器件魯棒性和設計新型非互易光學器件方面具有重要意義.此外,在凝聚態物理體系中破缺時間反演對稱性一般極為困難,相反,在經典波體系中則可以相對容易地通過對釔鐵石榴石鐵氧體等施加強磁場來破缺時間反演對稱性.因此,非互易拓撲光子學在前沿物理探索中同樣具有重要意義.

對非互易拓撲光子學的研究大致經歷了兩個階段.第1 階段主要集中在二維非互易拓撲光子學,其中最重要的發現是利用鐵氧體等材料和外加強磁場在二維磁性光子晶體中實現了二維光學陳絕緣體(Chern insulator)及其手性拓撲邊界態,從而證實了光子能帶同樣具有非零的陳數和著名的體-邊對應關系(bulk-edge correspondence).在由鐵氧體構成的二維磁性光子晶體中,當偏置磁場H0沿著面外方向,飽和磁化的鐵氧體具有張量形式的磁導率,(3)式中的非對角項破缺了時間反演對稱性[56]:

第2 階段主要致力于將二維非互易拓撲光子學進一步拓展到三維.相比于二維非互易拓撲光子學,三維非互易拓撲光子學具有兩個明顯的優勢,第一,能夠實現更加豐富的新穎拓撲物態,如磁性外爾半金屬(magnetic Weyl semimetal)[43,49,50,52]、三維陳絕緣體(three dimensional Chern insulator)[45–47,51]、拓撲單向光纖(topological one-way fiber)以及軸子絕緣體(axion insulator)[48]等;第二,三維非互易拓撲光學結構支持三維立體空間中二維手性拓撲表面態或一維手性拓撲棱態(chiral topological hinge states)的魯棒傳輸.眾所周知,電磁信息傳輸的維度不僅決定了其信息傳輸容量和信息調控自由度,而且決定了其系統集成度.因此,相比于二維非互易拓撲光子結構,三維非互易拓撲光學結構具有信息傳輸容量大、信息調控自由度高、可三維立體集成等諸多優勢.然而,三維非互易拓撲光學結構一般較為復雜且需外加均勻強磁場,因此其實驗極具挑戰,直到2022 年才首次成功實現三維光學陳絕緣體及其手性拓撲表面態[51],開啟了三維非互易拓撲光子學的實驗研究熱潮.

鑒于近幾年二維及三維非互易拓撲光子學的迅猛發展,有必要對整個非互易拓撲光子學研究領域進行全面、系統地梳理、總結和展望.本文首先回顧了二維非互易拓撲光子學中的一些標志性工作,接著介紹了三維非互易拓撲光子學中所特有的磁性外爾半金屬、三維陳絕緣體以及軸子絕緣體等新穎拓撲物態,然后綜述了包括拓撲激光、拓撲光纖、拓撲慢光波導在內的非互易拓撲光學器件及其重要應用.最后對非互易拓撲光子學前沿領域的發展進行總結和展望.

2 二維非互易拓撲光子學

非互易拓撲光子晶體又稱光學陳絕緣體、磁性光子晶體、磁光光子晶體(magneto-optic photonic crystals)或旋磁光子晶體(gyromagnetic photonic crystals),這一概念由諾貝爾物理學獎獲得者、普林斯頓大學Duncan Haldane 教授于2005 年首次提出,開啟了非互易拓撲光子學這一前沿熱點研究領域.如圖1(a)所示,Haldane 和Raghu[36]通過類比量子霍爾效應,開創性地提出了在具有Dirac 點能帶結構的二維光子晶體中引入旋電材料打破時間反演對稱性,使得體能帶具有非零的陳數,從而產生單向傳輸的拓撲手性邊界態.2008 年,麻省理工學院Wang 等[37]通過一種旋磁材料(YIG)代替旋電材料并施加約0.2 T 的外加偏置磁場,在正方晶格磁性光子晶體中構造出了陳數不為零的光學陳絕緣體,并于2009 年首次實驗觀測到具有背向散射抑制特性的單向手性邊界態[38].如圖1(b)所示,手性邊界態沿磁性光子晶體與金屬擋板的交界面單向魯棒傳輸.隨后,香港科技大學Ao 等[39]利用二維蜂窩晶格磁性光子晶體構造出光錐以下手性拓撲邊界態,其不需額外的金屬擋板或光子晶體即可將手性邊界態自約束在邊界上單向魯棒傳輸而不會向空氣中輻射.2011 年,南京大學Poo 等[40]首次在實驗上實現了無需金屬擋板的自約束(selfguiding)手性拓撲邊界態,如圖1(c)所示.2014 年,麻省理工學院Skirlo 等[41]通過同時打開多個狄拉克簡并點獲得了具有更大陳數的二維磁性光子晶體,并于2015 年進行了實驗驗證.如圖1(d)所示,通過對實驗測得的電場分布進行傅里葉變換可以直接獲得陳數分別為1,2,–3,–4 的手性邊界態色散[42],由實驗結果可知,手性邊界態的個數正好等于陳數.大陳數不僅可以提高拓撲光學波導的模態密度及耦合效率,而且為未來實現片上單向集成光路和路由提供了新的解決方案.

圖1 (a) 具有狄拉克點的能帶結構圖[36];(b) 二維光學陳絕緣體實驗裝置圖及手性邊界態的單向與魯棒傳輸模場分布圖[38];(c)二維蜂窩晶格磁性光子晶體實驗樣品圖及其自約束的手性邊界態模場分布圖[40];(d) 不同陳數手性邊界態色散曲線[42];(e) 反手性邊界態的模場分布[67];(f) 拓撲單向大面積波導模場分布[68];(g) 拓撲單向體態的模場分布[69];(h) 反常Floquet 拓撲絕緣體和陳絕緣體相變圖[70];(i) 常負曲率雙曲晶格反常Floquet 拓撲絕緣體和陳絕緣體實驗樣品圖[71]Fig.1.(a) Band diagram with Dirac point[36];(b) diagram of the experimental setup of two-dimensional optical Chern insulator and the distribution of one-way and robust mode fields of chiral edge states[38];(c) two-dimensional honeycomb lattice magnetic photonic crystal experimental sample map and its self-constrained chiral edge state mode field distribution[40];(d) the dispersion of chiral edge states with different Chen numbers[42];(e) field distribution of the Antichiral edge states[67];(f) field distribution of topological unidirectional large area waveguide[68];(g) field distribution of topological chiral bulk states[69];(h) phase transition diagrams of anomalous Floquet topological and Chen insulators[70];(i) diagram of experimental samples of hyperbolic lattice anomalous Floquet topological with constant negative curvature and Chen insulators[71].

基于Haldane 模型構建的二維非互易拓撲光子晶體的手性邊界態在相對的兩個平行邊界上沿相反方向單向傳輸.2019 年,華南理工大學Chen 等[66]在理論上提出,當在二維蜂窩狀磁性光子晶體的A,B 兩個子格上分別施加相反方向的偏置磁場,手性邊界態將沿相對的兩個平行邊界朝同一個方向傳輸,這種現象被稱作反手性邊界態(antichiral edge states).隨后,電子科技大學Zhou 等[67]在微波波段實驗驗證了這一奇異現象,觀測到了如圖1(e)所示的反手性邊界態的單向傳輸.拓撲反手性邊界態同樣具有單向魯棒傳輸特性,這一反?，F象拓展了人們對非互易拓撲物態的認知,極大地豐富了非互易拓撲物態調控的手段.然而,手性和反手性邊界態固有的邊界約束特性使得電磁能量的收集和輸運只能局域在光學陳絕緣體的邊界上進行,使得能量的高通量輸運被限制在較低水平,同時也極大地犧牲了體空間利用率.2021 年,香港科技大學Wang 等[68]利用非互易拓撲光子晶體與普通光子晶體組成的異質結構,從理論和實驗上實現了如圖1(f)所示的大面積單向魯棒手性邊界態傳輸.隨后,華南理工大學Chen 和Li[69]基于異質Haldane模型在二維磁性光子晶體中實現了長距離、大面積、高通量、強魯棒性單向體態傳輸,如圖1(g)所示.大面積單向邊界態和體態不僅豐富了非互易拓撲光子學的研究內容,而且為未來設計大面積、高通量、強魯棒性的非互易拓撲光學器件提供了解決方案.

如何進一步增強拓撲邊界態的拓撲保護強度一直是拓撲光子學孜孜以求的重要目標,對前沿科學探索和實際工程應用都具有重要意義.2021 年,洛桑聯邦理工學院Zhang 等[70]基于非互易散射網絡理論提出并實驗實現了超越陳絕緣體手性邊界態拓撲保護魯棒性的反常弗洛凱拓撲邊界態(anomalous Floquet topological edge states).與一般的拓撲絕緣體隨著無序度增大逐漸進入拓撲平庸相并破壞其拓撲邊界態傳輸不同,這種反常弗洛凱絕緣體(anomalous Floquet topological insulator)對任意強度的準能(quasi-energy)波動和散射參數波動免疫,表現出超越陳絕緣體手性邊界態的拓撲保護魯棒性.圖1(h)展示了為反常弗洛凱拓撲絕緣體與陳絕緣體的相變圖.最近,Fleury 等[71]將反常弗洛凱拓撲絕緣體進一步拓展到如圖1(i)所示的常負曲率雙曲晶格中,實現了非歐幾里得空間中的反常弗洛凱拓撲絕緣體.

研究表明,當同一體系同時存在多種對稱性(如時間反演對稱性、空間反演對稱性)破缺時,它們之間的競爭會產生諸多奇異物理現象.2009 年,日本國家材料科學研究所Ochiai 等[72]首次探索了時間反演和空間反演對稱性同時破缺時的拓撲邊界態,2012 年,基于等效哈密頓量與群論,又對蜂窩晶格非互易光子晶體的拓撲相變進行了詳細的理論分析[73].2018 年,中山大學Lu 等[74]通過施加偏置磁場和改變蜂窩晶格中不同子格點處介質柱的半徑,同時破缺時間反演和空間反演對稱性,理論預測了光量子霍爾相和光量子谷霍爾相之間的拓撲相變.同年,紐約城市大學Ni 等[75]在二維蜂窩晶格磁性光子晶體中利用空間反演和時間反演對稱性之間的競爭,理論提出非成對的狄拉克點(能帶在K′點處閉合而在K點處打開)并預測了單向克萊因隧穿現象(one-way Klein tunneling).2020 年,南洋理工大學Liu 等[76]首次在實驗中觀測到磁性光子晶體中的非成對狄拉克點并進一步觀測到單向體輻射和非互易反射現象,如圖2(a)所示.2023 年,南京大學Wang 等[77]首次在二維磁性光子晶體中實驗實現了同時支持手性拓撲邊界態和谷拓撲邊界態的混合型拓撲光子晶體(hybrid topological photonic crystals),如圖2(b)所示,陳絕緣體的手性邊界態和能谷光子晶體的谷拓撲邊界態分別出現在不同的光子帶隙中,這種混合的拓撲邊界模式將在頻率復用光學器件中具有潛在的應用.

圖2 (a) 非成對狄拉克點的實驗樣品及其能帶結構[76];(b) 具有混合邊界態的磁性光子晶體結構示意圖及其混合邊界態色散示意圖[77];(c) 光學拓撲安德森絕緣體手性邊界態[80];(d) 非晶陳絕緣體手性邊界態[83];(e)無序度增大時反常弗洛凱拓撲絕緣體和陳絕緣體相變圖[84];(f) 二維磁性光子晶體中由位錯導致的束縛態傳輸譜及模場分布[85];(g) 高階磁性光子晶體角態模場分布[87];(h) 拓撲磁等離子體實驗樣品圖和扭結磁等離子體的非互易傳輸譜[97]Fig.2.(a) Experimental setup and band structure of unpaired Dirac points[76];(b) schematic diagram of magnetic photonic crystal with hybrid edge states and its dispersion relationship[77];(c) chiral edge states of optical topological Anderson insulator[80];(d) chiral edge states of amorphous Chern insulators[83];(e) phase transition diagrams of anomalous Floquet topological insulators and Chern insulators with increasing disorder[84];(f) transmission spectra and field distribution of bound states caused by dislocation in two-dimensional magnetic photonic crystals[85];(g) field distribution of higher-order magnetic photonic crystals[87];(h) experimental sample diagram of topological magnetic plasma and non-reciprocal transmission spectrum of kinked magnetic plasma[97].

在拓撲物理學中,普遍認為無序度增大會逐漸破壞體系的拓撲保護特性: 拓撲邊界態可以抵抗由弱局部無序引起的局域化,然而足夠強的全局無序將會產生安德森局域(Anderson localization),從而破壞拓撲邊界態的魯棒傳輸[78].2009 年,香港大學Li 等[79]提出了一個相反的可能性,即增大系統的無序度可將一個原本平庸的絕緣體轉變為非平庸的拓撲絕緣體,又稱為拓撲安德森絕緣體(Anderson insulator).2020 年,如圖2(c)所示,Liu 等[80]通過隨機旋轉二維磁性光子晶體中每個元胞中介質柱的角度引入隨機無序,直接觀測到由無序誘導的光學拓撲安德森絕緣體及其魯棒手性邊界態.

自從非互易拓撲光子學誕生以來,因拓撲不變量定義在布里淵環面上,因此,絕大多數工作都集中在周期晶格拓撲光學結構.那么非周期晶格光學結構是否支持非平庸的拓撲態就成為一個有趣的問題.2017 年,南洋理工大學Mansha 和Chong[81]利用堆積算法生成非晶磁性光子晶體結構并在理論上提出只要保證晶格具有足夠的短程有序,光學陳絕緣體的非平庸帶隙就會一直存在并支持手性邊界態單向魯棒傳輸.2019 年,Yang 等[82]以內部無序的超胞結構作為周期單元構建無序超胞二維非互易拓撲光子晶體并研究了無序對其單模和多模手性拓撲邊界態的影響;2020 年,電子科技大學Zhou 等[83]通過在二維非互易拓撲光子晶體中增加無序實驗研究了周期晶格向非周期晶格的整個拓撲相變過程.如圖2(d)所示,具有一定程度無序的非互易拓撲光子晶體依然可以支持手性邊界態的單向魯棒傳輸.

2023 年,洛桑聯邦理工學院Zhang 等[84]在非互易散射網絡中對任意無序強度的非晶相(amorphous phase)進行了研究,如前文所述,隨著無序程度增大,一般來說非平庸拓撲相將逐漸轉變為平庸的安德森絕緣相.與此相反,在非互易散射網絡(non-reciprocal scattering networks)中引入任意強度的無序都存非晶反常拓撲相和魯棒的手性邊界態.反常弗洛凱拓撲絕緣體與陳絕緣體的繞數(winding number)隨無序度增大的相變圖如圖2(e)所示,由非晶誘導的反常弗洛凱拓撲相在弱非晶狀態下呈現平庸拓撲相,隨著非晶程度的增強,得到非平庸的反常弗洛凱拓撲相.

非互易拓撲光子晶體除了支持單向魯棒傳輸的手性邊界態之外,還支持拓撲局域態.在非互易拓撲光子晶體中構建拓撲局域態主要有3 種方式,第一,在晶格中引入位錯缺陷(dislocation defect);第二,構造高階拓撲絕緣體;第三,引入非厄米趨膚效應(non-Hermitian skin effect).2018 年,南京大學Li 等[85]在二維磁性光子晶體中引入位錯缺陷并實驗觀測到了非平庸帶隙中的零階局域態,如圖2(f)所示.除了在磁性光子晶體中引入位錯以外,還可以通過構造高階陳絕緣體來實現磁性拓撲局域態.2020 年,賓夕法尼亞大學He 等[86]理論上提出通過改變磁性光子晶體的晶格結構參數可以實現高階非互易拓撲光子晶體及其磁性拓撲角態.2023 年,電子科技大學Zhou 等[87]實驗驗證了這一理論,如圖2(g)所示,磁性拓撲角態緊緊束縛在高階非互易拓撲光子晶體的角上.同年,南洋理工大學Liu 等[88]通過在二維磁性光子晶體中引入吸收損耗實現在x與y方向的趨膚效應,首次觀測到手性邊界態的局域.

除了磁性光子晶體以外,利用磁表面等離激元(magnetic surface plasmons)實現手性邊界態也受到了廣泛關注[89–97].磁表面等離激元是在外加偏置磁場作用下旋磁材料與介質界面形成的具有單向魯棒傳輸特性的表面等離激元.2008 年,斯坦福大學Yu 等[89]發現在外加磁場的金屬與光子晶體界面處存在單向的磁表面等離激元.2012 年,南洋理工大學Hu 等[90]采用金屬-介質-半導體異質結構并給金屬和半導體施加相反方向的偏置磁場實現電磁波的單向傳輸.2012 年,浙江大學Liu等[91]在二維磁性光子晶體平板波導中首次理論實現了手性邊界態.同年,空軍工程大學Tong 等[92]將旋磁鐵氧體與矩形波導結合,利用鐵氧體的磁表面等離激元模式與矩形波導模式之間的相互作用來設計單向矩形波導.2019 年,香港大學Jin 等[97]在時間反演對稱性破缺系統中實驗實現了拓撲扭結等離子體模式(kink modes).一般來說,手性邊界態通常存在于拓撲特性發生突變的物理邊界上.與此不同,拓撲扭結等離子體模式的非互易傳輸存在于均勻系統內部的磁疇邊界處.如圖2(h)所示,實驗獲得的共振吸收譜證明了扭結磁等離子體的存在及其非互易性.

3 三維非互易拓撲光子學

從空間維度而言,非互易拓撲光子晶體主要分為二維和三維兩類.相比于二維非互易拓撲光子晶體,三維非互易拓撲光子晶體支持沿其表面、交界面、棱甚至體缺陷單向傳輸的魯棒電磁模式,為實現更大信息傳輸容量、更高信息調控自由度以及更高三維立體集成度提供了新的平臺.隨著對三維非互易拓撲光子晶體的研究不斷深入,結果發現三維非互易拓撲光子晶體擁有更加豐富的新穎拓撲物態,如磁性外爾半金屬、三維陳絕緣體以及軸子絕緣體等.與二維系統中的狄拉克點類似,外爾點(Weyl points)是三維系統中兩條能帶的線性簡并.與之不同的是,外爾點的出現需要破缺體系的空間反演對稱性或者時間反演對稱性.由于對稱性的破缺,貝利曲率在動量空間中不全為零,每個外爾點將充當貝利曲率的源或漏并攜帶著量子化的拓撲荷.根據破缺的對稱性不同,外爾半金屬一般可分為兩類: 破壞時間反演對稱性的磁性外爾半金屬和破壞空間反演對稱性的非磁性外爾半金屬.根據不可行定理(no-go theorem)[98],外爾半金屬的外爾點一定成對且有相反的手性和拓撲荷.對于非磁性外爾半金屬,能帶結構中外爾點的最少數量為4,而磁性外爾半金屬中最少可支持一對外爾點.外爾半金屬的另一個重要特征是支持連接兩個具有相反手性和拓撲荷的外爾點的費米弧表面態(Fermi arc surface state),且費米弧表面態的數目等于外爾點拓撲荷的大小.由于外爾點具有強拓撲保護魯棒性,一般來說,要徹底消除一個外爾點,只能通過微擾使得兩個具有相反拓撲荷的外爾點在動量空間中相互湮滅來實現.迄今為止,三維非互易拓撲光子晶體是最早實現磁性外爾半金屬的拓撲光學結構,同時也是研究外爾點的產生、湮滅以及費米弧表面態最常用的拓撲光學結構.例如,2013 年麻省理工學院Lu 等[43]利用雙螺旋嵌套的三維非互易拓撲光子晶體在理論上首次證明了時間反演對稱或者空間反演對稱破缺是實現外爾半金屬的必要條件,并且時間反演對稱性破缺的磁性外爾半金屬最少可以只存在一對外爾點及連接這一對外爾點的開放費米弧,這種情況被認為是最理想、最簡單外爾半金屬,其能帶結構以及外爾點在動量空間中的分布如圖3(a)所示.而當空間反演對稱性破缺時,非磁性外爾半金屬中至少存在著兩對外爾點.

圖3 (a)單對外爾點的體能帶[43];(b)奇數狄拉克錐表面態[44];(c)三維陳絕緣體的體能帶圖[45];(d)三維陳絕緣體的自動搜索和優化[46];(e)具有任意陳矢量的磁性光子晶體及其手性表面態的場分布[47];(f)軸子絕緣體[48];(g)銻化銦結構的示意圖和實驗測量的兩對外爾點的體能帶圖[50];(h)三維陳絕緣體的實驗樣品圖和實驗測量的相圖[51];(i)磁性外爾光子晶體的實驗樣品圖和實驗測量的體能帶[52]Fig.3.(a) A single pair of Weyl points[43];(b) the odd number of surface Dirac cones[44];(c) the bulk band structures of three-dimensional Chern insulators[45];(d) automated discovery and optimization of 3D Chern insulator[46];(e) 3D Chern insulator with orientable large Chern vectors and its field distribution of chiral surface state[47];(f) the axion topological insulator[48];(g) a schematic of the sample with a metal grating on top of the InSb substrate and the measured projected bulk band structures with two pairs of Weyl points[50];(h) the fabricated three-dimensional Chern insulator and the measured topological phase transitions[51];(i) the fabricated three dimensional Weyl photonic crystal and the measured projected bulk band structures[52].

與光學拓撲半金屬不同,光學三維拓撲絕緣體具有完全三維帶隙.一般來說,光學三維拓撲絕緣體可分為三類: 三維弱拓撲絕緣體、三維強拓撲絕緣體和三維陳絕緣體.不同的三維拓撲絕緣體可以通過拓撲不變量和拓撲表面態色散進行區分.具體來說,三維弱拓撲絕緣體和三維強拓撲絕緣體都可以通過4 個Z2不變量(v0;v1,v2,v3)來描述,其中三維弱拓撲絕緣體的v0=0,因此將支持偶數個狄拉克錐拓撲表面態,相反,三維強拓撲絕緣體的v0=1,因此支持奇數個狄拉克錐拓撲表面態.與三維強/弱拓撲絕緣體不同,三維陳絕緣體由3 個陳數構成的陳矢量(C1,C2,C3)所描述,支持單向魯棒傳輸的手性拓撲表面態.2016 年,麻省理工學院Lu 等[44]首次從理論上設計了一種體心立方晶格的三維非互易拓撲光子晶體結構,通過對旋電棒施加交錯變化的偏置磁場來打破時間反演對稱性,使四重簡并的狄拉克點去簡并,首次實現了具有奇數個狄拉克錐拓撲表面態的三維光學強拓撲絕緣體,如圖3(b)所示.當保持體系中滑移對稱性時(glide symmetry),拓撲表面態對任意無序的缺陷都可以保持完美的抗散射魯棒特性.同樣地,三維光學陳絕緣體也可以在三維非互易拓撲光子晶體中實現.2018 年,中國科學院物理研究所Lu 等[45]在上述雙螺旋嵌套的三維非互易拓撲光子晶體的基礎上,借助超胞折疊機制,將兩個具有相反手性的外爾點折疊成一個四重簡并的狄拉克點,如圖3(c)中左圖所示,然后引入z方向的狄拉克渦旋調制實現了狄拉克點的劈裂,理論構建出首個三維光學陳絕緣體,其能帶結構如圖3(c)中右圖所示.一般來說,三維光學拓撲絕緣體的設計主要依賴于分析能帶結構和本征模場分布.最近,麻省理工學院Kim等[46]提出了一種用于自動發現和優化三維光學拓撲結構的新方法.該研究團隊將這一方法應用于優化目標陳矢量C=(0,0,Cz)為Cz=1 和Cz=2的三維光學陳絕緣體并計算出已知最大三維全帶隙的三維光學陳絕緣體.如圖4(d)所示,三維全帶隙內存在一對手性表面態.2021 年,Devescovi 等[47]從理論上提出了一種由4 根旋電棒組成的立方晶格三維磁性光子晶體,該結構可以實現三維光學陳絕緣體及手性表面態.研究表明,在沒有任何對稱性破缺情況下,該結構體能帶在高對稱點處存在一個三重簡并點.通過破缺時間反演對稱性可將該三重簡并點分裂成一對外爾點,且這對外爾點的位置可通過調節偏置磁場大小發生緩慢移動.然后利用超胞使這對外爾點折疊構造出具有多重簡并點的能帶結構.最后,通過調整超胞中4 根旋電棒的半徑破缺空間反演對稱性,多重簡并點去簡并產生三維拓撲全帶隙實現三維光學陳絕緣體.圖3(e)展示了具有單向魯棒傳輸特性的手性界面態的場分布,其中交界面由三維光學陳絕緣體與三維平庸絕緣體組成.最近,Devescovi 等[48]進一步提出了在具有空間反演對稱性的三維非互易拓撲光子晶體中可以實現光學軸子絕緣體,其最典型的特征是光學軸子絕緣體是一種磁性高階拓撲絕緣體并支持高階手性棱態(chiral hinge states),如圖3(f)所示.

圖4 (a) 手性邊界態的多重布里淵區纏繞產生寬帶拓撲慢光[104];(b) 拓撲頻率路由[77];(c) 三維光學陳絕緣體手性表面態的單向魯棒傳輸[51];(d) 基于第二陳數的拓撲單向光纖[45];(e) 形狀任意非互易拓撲激光器[57];(f) 基于二維非互易拓撲光子晶體的拓撲渦旋激光器[107];(g) 手性腔量子電動力學[53]Fig.4.(a) Multiple Brillouin zone winding of chiral edge states enabled broadband topological slow light[104];(b) topological frequency routing[77];(c) robust transmission of chiral surface states[51];(d) topological one-way fiber of second Chern number[45];(e) nonreciprocal topological laser with arbitrary geometry[57];(f) nonreciprocal topological laser with large OAM[107];(g) chiral cavity quantum electrodynamics[53].

除了基于三維拓撲光子晶體實現三維磁性外爾半金屬或三維光學陳絕緣體外,伯明翰大學Gao等[49]發現磁性外爾半金屬也可以存在于均勻的磁化等離子體介質中,即靜態磁場下的自由電子氣體(plasmon).研究結果表明,當磁場強度足夠大時,電子的回旋頻率超過等離子體頻率時縱模與橫模線性交叉,在等離子體頻率處,沿磁場方向形成兩對外爾點.2021 年,Wang 等[50]利用太赫茲波段銻化銦結構,如圖3(g)中上圖所示,并采用人工合成維度(kx,ky,B)代替三維動量空間維度(kx,ky,kz)表征變化磁場下的反射譜實驗實現太赫茲波段的外爾半金屬,如圖3(g)中下圖所示.實驗結果表明,在變化磁場作用下的銻化銦樣品顯示出了線性頻帶交叉,即外爾點出現在0.31 THz 處.2022 年,基于三維Haldane 模型,南洋理工大學Liu 等[51]設計了一種由二維非互易拓撲光子晶體沿面外方向堆疊并引入層間耦合而成的三維非互易拓撲光子晶體,實驗樣品如圖3(h)中左圖所示.當改變外加偏置磁場的強度時,該三維非互易拓撲光子晶體會依次表現出三種不同的拓撲相: 三維平庸絕緣體、磁性外爾半金屬和三維陳絕緣體.利用體傳輸譜表征可直接觀測到這一拓撲相變過程,如圖3(h)中右圖所示.不同于磁性外爾半金屬的費米弧表面態,三維陳絕緣體擁有貫穿整個表面布里淵區的費米環表面態.采用超胞即可實現對陳矢量大小的任意調控,最大可實現陳矢量C=(0,0,6)的三維光學陳絕緣體.此外,當兩個具有相互正交陳矢量的三維陳絕緣體組成疇壁時,疇壁上的手性表面態將在表面布里淵區環面上形成繞著中線和經線分別纏繞m圈和n圈的環面紐結或鏈環.比如m=2 和n=2 時,疇壁上的手性表面態將形成由兩個獨立的費米環相互嵌套而成的最簡單的鏈環-霍夫鏈(Hopf link).2023 年,基于三維改進Haldane 模型,南方科技大學Xi 等[52]利用蜂窩狀晶格不同子格上的磁化方向相反實現了一種新型磁性外爾半金屬,與普通磁性外爾半金屬的兩個外爾點處在同一頻率不同,該種新型磁性外爾半金屬的兩對外爾點的頻率不同.這種外爾點的頻移使得結構的兩個相對平行表面上的拓撲表面態將沿著同一個方向傳輸,從而實現新型拓撲反手性表面態(antichiral surface states).如圖3(i)所示,實驗樣品由磁鐵夾鐵氧體破缺時間反演對稱性并利用鏤孔金屬板提供層間耦合,實驗測得的三維磁性外爾半金屬的體能帶結構上可以看到兩對外爾點存在著明顯的頻率偏移且實驗結果與仿真結果(實線)吻合.

4 非互易拓撲光子學的應用

4.1 非互易拓撲光學波導

非互易拓撲光子學系統最重要的特征是支持單向魯棒傳輸的手性邊界態/表面態,而對手性邊界/表面態的研究導向一系列重要光學器件如拓撲單向波導、寬帶拓撲慢光、拓撲分束器、拓撲路由、拓撲激光器、拓撲諧振腔等.這一部分將介紹非互易拓撲光子學在魯棒光學器件方面的重要應用.

慢光(slow light)[99]的實現方法主要包括電磁誘導透 明(electromagnetically induced transparency,EIT)、光子晶體波導(photonic crystal waveguide,PCWs)以及耦合諧振腔光學波導(coupledresonator optical waveguides,CROWs)等.這些方法通常面臨兩個難點: 第一,較低的群速度與較大的工作帶寬不可兼得;第二,較低的群速度使得光在傳輸過程中對缺陷、加工誤差等障礙更加敏感,從而產生散射損耗.以上難點極大地限制了慢光器件的應用前景.2011 年,馬里蘭大學Hafezi[100]首次理論提出受拓撲保護的魯棒光學延遲線概念,雖然該光學延遲線具有抗散射特性,但其頻率范圍依舊有限.直到2019 年,賓夕法尼亞州立大學Guglielmon 等[101]首次理論提出利用手性邊界態的多重布里淵區纏繞實現寬帶拓撲慢光.通過精確調制Haldane 模型邊界處“原子”之間的最近鄰與次近鄰耦合產生多重布里淵區纏繞.在拓撲非平庸帶隙保持不變的情況下,隨著調制周期不斷增加,手性邊界態的纏繞次數逐漸增加,斜率(群速度)逐漸減小,從而實現寬帶拓撲慢光(topological slow light).2021 年,基于二維非互易拓撲光子晶體,南洋理工大學Yu 等[102]和紐約城市大學Mann和Alù[103]分別提出通過手性邊界態與諧振腔模式的耦合使手性邊界態產生多重布里淵區纏繞.通過增加諧振腔模式的個數來增加纏繞次數,降低手性邊界態的能帶斜率,從而降低群速度.2023 年,浙江大學Chen 等[104]首次實驗實現了寬帶拓撲慢光,如圖4(a)所示,其中,諧振腔陣列由金屬光柵圍繞光學陳絕緣體邊界處的鐵氧體構成,通過增大諧振腔的高度來增加腔內諧振模式數量.實驗結果表明手性邊界態在布里淵區內纏繞了5 次,且其群速度遠小于未纏繞之前手性邊界態的群速度.由于在能帶纏繞過程中光學陳絕緣體的帶隙寬度始終保持不變,因此多重布里淵區纏繞實現的拓撲慢光能夠同時具備較低的群速度和較大的帶寬.利用多重布里淵區纏繞產生的寬帶拓撲慢光同時克服了傳統慢光在帶寬和對缺陷、擾動敏感的限制,在時域光學信號處理以及增強光與物質相互作用方面具有重要的應用前景.

光學路由(optical routing)是光學通信系統的關鍵技術之一,用于控制光學信號在節點處的分裂或者復合.隨著對拓撲光子學研究的不斷深入,研究發現拓撲邊界態在光學路由方面存在潛在的應用價值[105].2023 年,基于混合拓撲光子晶體,南京大學Wang 等[77]首次實現了如圖4(b)所示的拓撲頻率路由.在混合型拓撲光子晶體中,拓撲谷邊界態只存在于某個邊界上或者由不同谷陳數光子晶體構成的疇壁上,而手性邊界態存在于上下兩個邊界上.如圖4(b)所示,將高頻和低頻激發源分別置于P3,P4 位置,兩種不同頻率的信號都會在P2 處輸出,實現頻率復合.而當在P1 處同時激發兩個頻段的信號時,低頻從P3 輸出,高頻從P4 輸出,從而實現頻率分波.

與二維非互易拓撲光子晶體的手性邊界態類似,三維光學陳絕緣體支持手性表面態,如圖4(c)所示[51].由于時間反演對稱性破缺,手性表面態只能沿著單向傳輸且具有很強的抗背向散射特性,即使存在缺陷情況下,手性表面態依然能夠繞過缺陷繼續傳輸,表現出極強的魯棒性.手性表面態將電磁能量分散在整個傳輸面上,使得其能夠承擔高功率電磁能量輸運,在高功率魯棒電磁器件方面具有重要應用.

除了手性邊界態/表面態,非互易拓撲光子晶體的體態也能用來構造拓撲單向波導.如圖1(f),(g)所示的基于二維非互易拓撲光子晶體構造的大面積拓撲單向邊界態/體態波導.在三維非互易拓撲光子晶體中,2018 年,中國科學院物理研究所Lu 等[45]首次理論提出在三維光學陳絕緣體中引入線缺陷構造拓撲單向光纖.首先,利用旋電材料破缺時間反演對稱性構造只有一對外爾點的磁性外爾光子晶體,然后將這對具有相反拓撲荷的外爾點湮滅并產生三維光學陳絕緣體,最后在三維光學陳絕緣體中引入缺陷構建受第二陳數表征的拓撲單向光纖模態.與普通光纖或光子晶體光纖相比,拓撲單向光纖具有很強的背向散射免疫特性.圖4(d)展示了在拓撲單向光纖傳輸路徑上存在金屬球時,拓撲單向光纖中的光能夠繞過金屬球繼續傳輸而不發生背向散射,與此相反,普通光纖或光子晶體光纖中的光傳輸將被金屬球阻擋而發生全反射.此外,拓撲單向光纖的模式數量和傳輸方向由第二陳數的數值和符號決定,可以通過“螺旋”調制的調制頻率加以設計.

4.2 非互易拓撲諧振腔

光學諧振腔是調控光子的重要器件之一,也是激光器、濾波器和腔量子電動力學的重要基礎光學器件.傳統光學諧振腔(如環形諧振腔)一般需要較大彎曲半徑來降低輻射損耗提高品質因數且易受外界干擾,極大地限制了其在集成光學中的應用.為了克服這一難題,2017 年加州伯克利大學Bahari 等[57]利用二維非互易拓撲光子晶體設計了如圖4(e)所示的形狀任意的非互易拓撲光學諧振腔并構建了首個非互易拓撲激光器.利用分子束外延生長技術在釓鎵石榴石上制造釔鐵石榴石(旋磁材料YIG),然后將釔鐵石榴石與InGaAsP 多重量子阱光子晶體鍵合.在外加磁場的作用下,釔鐵石榴石的磁光響應破缺系統的時間反演對稱性并產生非平庸拓撲帶隙以及手性邊界態.由于手性邊界態的單向魯棒傳輸特性,其可以用來構建任意形狀的非互易拓撲光學諧振腔.需要注意的是,光波段較弱的磁光響應使得產生的拓撲帶隙極窄,因此,光學波段非互易拓撲諧振腔還需要進一步檢驗其有效性.

上述形狀任意的非互易拓撲光學諧振腔工作于“光錐”之外,因此需要通過耦合波導將其腔內的能量輻射至自由空間.而對于“光錐”之內的泄漏導模,其能量可以直接垂直向外輻射.如果將上述任意形狀的非互易拓撲光學諧振腔設計成圓形,由于手性邊界態的單向傳輸特性,其向外輻射的光子便會獲得不同的傳輸相位并攜帶軌道角動量(orbital angular momentum,OAM).軌道角動量[106]的兩兩正交特性以及量子數可無限大特性使其成為理想的信息載體.因此,如何產生高品質并攜帶大拓撲荷軌道角動量的光子一直是研究人員長期追尋的重要目標.2021 年,加州伯克利大學Bahari 等[107]首次基于二維非互易拓撲光子環形諧振腔實驗實現了具有多種拓撲荷軌道角動量集成的拓撲渦旋激光器,如圖4(f)所示.研究結果表明,通過改變諧振腔的周長,可以產生不同拓撲荷數的軌道角動量.

腔量子電動力學通過耦合諧振腔與非線性發射器研究光的粒子特性,在現代量子信息科學與技術發展方面扮演重要角色.2022 年,芝加哥大學Owens 等[53]在非互易拓撲光學諧振腔中探索了一個transmon 量子比特的腔量子電動力學行為.如圖4(g)所示,將鈮超導諧振腔組裝成5×5 晶格并引入鐵氧體在外加磁場作用下打破系統的時間反演對稱性,從而產生手性邊界態構成非互易拓撲諧振腔.然后將一個transmon 量子比特通過拐角處的腔體耦合至系統中,利用光譜檢測法分析晶格中體態和邊界態并觀測到了邊界態的手征性.同時,該研究還探測到了transmon 與體態和邊界態之間的拉比振蕩以及transmon 的蘭姆位移.利用非互易拓撲光學諧振腔研究transmon 的腔量子電動力學極大地推動了手性量子光學領域的研究進展,證明了使用微波光子探索拓撲多體物理的可行性,為無背向散射的量子通信奠定了理論和實驗基礎.

5 總結與展望

自從2008 年Haldane 和Raghu[36]首次理論提出非互易拓撲光子學概念以來,其新穎的單向魯棒光場調控特性引發了廣泛的研究和探索.本文對過去15 年的非互易拓撲光子學發展進行了簡單的綜述,主要包括二維非互易拓撲光子學(如二維光學陳絕緣體、反常弗洛凱拓撲絕緣體、光學拓撲安德森絕緣體、非晶光學陳絕緣體等)和三維非互易拓撲光子學(三維磁性外爾光子晶體、三維光學陳絕緣體、光學軸子絕緣體以及拓撲單向光纖),最后討論了非互易拓撲光子學在魯棒光學器件中的潛在應用,如寬帶拓撲慢光、拓撲頻率路由、拓撲單向波導、拓撲單向光纖、非互易拓撲諧振腔、非互易拓撲激光器、拓撲渦旋激光器等.然后截至目前,非互易拓撲光子學的發展尚面臨著許多關鍵性問題有待解決.首先,許多三維非互易拓撲光學相還尚未被實驗證實,如三維光學強拓撲絕緣體及其奇數狄拉克錐拓撲表面態、三維光學軸子絕緣體及其高階手性棱態、受第二陳數保護的拓撲單向光纖、具有任意陳矢量的三維光學陳絕緣體等,實驗實現這些三維非互易拓撲相需要極為復雜的三維非均勻磁場.其次,將非互易拓撲光子學從微波進一步擴展到太赫茲和光學是一個亟待解決的科學和技術難題,將對集成光學產生深遠影響.現有鐵氧體材料在太赫茲和光學頻率下的磁光響應較弱,亟需開發具有強磁光響應的新型旋磁材料.最后,截至目前非互易拓撲光子學主要局限在單一物理系統中,如果與其他體系相互結合,如非線性光學、考慮增益和損耗的非厄米光學、合成維度、非阿貝爾光學或非歐幾里得光學等,將實現更多新奇的拓撲現象和魯棒光學器件.我們相信非互易拓撲光子學在理論、實驗和應用等方面仍具有廣闊的發展前景.