運(yùn)動(dòng)參考系中量子Fisher 信息*

任亞雷 周濤

(西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,量子光電實(shí)驗(yàn)室,成都 610031)

量子參數(shù)估計(jì)中的基本理論——量子Cramér-Rao 不等式指出,參數(shù)估計(jì)的方差由量子Fisher 信息的倒數(shù)決定,量子Fisher 信息越大,參數(shù)估計(jì)的方差就越小,估計(jì)精度也就會(huì)越高.在非相對(duì)論量子力學(xué)中,量子Fisher 信息已被廣泛研究,但考慮相對(duì)論效應(yīng)對(duì)量子Fisher 信息影響的研究相對(duì)較少.本文采用粒子態(tài)的相對(duì)論變換方法,數(shù)值計(jì)算和分析了運(yùn)動(dòng)參考系中單粒子態(tài)、雙粒子態(tài)振幅參數(shù) θ 和相位參數(shù) φ 的量子Fisher信息.結(jié)果表明,在運(yùn)動(dòng)參考系中,無(wú)論是使用單粒子態(tài)還是雙粒子態(tài),量子Fisher 信息都會(huì)降低.對(duì)于相位參數(shù),雙粒子態(tài)的量子Fisher 信息比單粒子態(tài)降低得更加顯著.然而,對(duì)于振幅參數(shù),雙粒子態(tài)的量子Fisher 信息相對(duì)于單粒子態(tài)有所提高,該研究結(jié)果為在相對(duì)論效應(yīng)的影響下提高參數(shù)估計(jì)精度提供了有價(jià)值的參考.

1 引言

參數(shù)估計(jì)是指間接地估計(jì)一個(gè)未知參數(shù)的值[1].在物理學(xué)中,很多物理量無(wú)法直接測(cè)量,而只能通過(guò)間接的方式進(jìn)行估計(jì)[2,3].在我們估計(jì)這些物理量時(shí),不可避免會(huì)產(chǎn)生估計(jì)誤差.而如何提高參數(shù)估計(jì)的精度,就成了參數(shù)估計(jì)領(lǐng)域所要研究的核心問(wèn)題[4-15].在參數(shù)估計(jì)理論中,量子Cramér-Rao不等式表明,量子Fisher 信息(quantum fisher information,QFI)直接關(guān)系著參數(shù)估計(jì)的精度[16-19],其形式為

式中η為待估參數(shù),F(η) 為參數(shù)η的QFI,N為對(duì)系統(tǒng)的測(cè)量次數(shù),(Δη)2為待估參數(shù)的方差,反映測(cè)量誤差.從不等式可以看出,QFI 值越大,測(cè)量誤差就越小,估計(jì)精度也就越高[20].在量子參數(shù)估計(jì)的研究中,系統(tǒng)的參數(shù)信息通常被編碼到某種量子態(tài)上,從而對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)[10].為了盡可能提高參數(shù)估計(jì)的精度,一種方法就是需要尋找那些能夠使QFI 盡可能大的態(tài)[21-23].

在非相對(duì)論量子力學(xué)中,對(duì)QFI 進(jìn)行了廣泛的研究,例如其在糾纏判據(jù)[24-26]、量子隱形傳態(tài)[27]中的應(yīng)用等.同時(shí),人們還致力于發(fā)展新的理論來(lái)計(jì)算QFI[28-30],為實(shí)現(xiàn)更高效的量子參數(shù)估計(jì)提供理論參考.另一方面,隨著相對(duì)論物理學(xué)和量子信息科學(xué)的交叉發(fā)展,人們開(kāi)始考慮相對(duì)論效應(yīng)對(duì)QFI 的影響[31-35].因?yàn)橄鄬?duì)論效應(yīng)可以改變粒子的量子態(tài)的特性[36,37],從而對(duì)量子參數(shù)估計(jì)產(chǎn)生影響.

本文考慮粒子態(tài)在不同慣性參考系下的相對(duì)論變換,分析了粒子態(tài)(包括動(dòng)量自由度和自旋自由度)在運(yùn)動(dòng)參考系下的變換關(guān)系.選取在靜止坐標(biāo)系下動(dòng)量和自旋不糾纏的粒子態(tài),發(fā)現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)參考系下粒子態(tài)動(dòng)量和自旋之間相互糾纏[36],編碼在自旋自由度上的參數(shù)信息也會(huì)隨之產(chǎn)生相應(yīng)的變化.本文數(shù)值計(jì)算了單粒子態(tài)和雙粒子態(tài)在運(yùn)動(dòng)參考系中的QFI,結(jié)果顯示,不論是使用單粒子態(tài)還是雙粒子態(tài),相對(duì)論效應(yīng)都會(huì)導(dǎo)致編碼在其上的待估參數(shù)的QFI 下降,這意味著參數(shù)估計(jì)的精度受到相對(duì)論效應(yīng)的影響.當(dāng)考慮相位參數(shù)時(shí),雙粒子態(tài)的QFI 降低得更加顯著.有趣的是,當(dāng)考慮振幅參數(shù)時(shí),雙粒子態(tài)的QFI 相對(duì)于單粒子態(tài)有所提高.這表明在對(duì)振幅參數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí),雙粒子態(tài)能夠抑制相對(duì)論效應(yīng)帶來(lái)的影響,從而提高參數(shù)估計(jì)的精度.

2 量子Fisher 信息

Fisher 信息是統(tǒng)計(jì)學(xué)中一個(gè)重要的概念,用來(lái)描述一個(gè)可觀測(cè)隨機(jī)變量攜帶未知參數(shù)信息量的多少,定義式為[7]

其中μ為待估參數(shù),x為隨機(jī)變量觀測(cè)值,p(x|μ)為參數(shù)取μ時(shí)x的概率分布.

在量子力學(xué)中,當(dāng)系統(tǒng)中含有參數(shù)μ時(shí),系統(tǒng)的狀態(tài)用密度矩陣ρμ表示[24].對(duì)這個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行一組POVM{Mx}測(cè)量,Fisher 信息可以重新表示為[21]

在這里,引入對(duì)稱對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)算符Lμ,其定義式為

在所有可能的POVM 測(cè)量中,得到的Fisher 信息存在一個(gè)最大的情況,這個(gè)最大的Fisher 信息被稱為QFI,其定義式為[20]

另一方面,假設(shè)待測(cè)系統(tǒng)的密度矩陣譜分解形式為

QFI 則可以被寫(xiě)為[38]

其中pi是密度矩陣ρμ的本征值,而 |ψi〉是本征值pi對(duì)應(yīng)的本征態(tài).

3 運(yùn)動(dòng)參考系中粒子狀態(tài)的變換

首先定義有質(zhì)量粒子在靜止參考系中的本征態(tài)[36]|0λ〉:

其中洛倫茲推動(dòng)L(ξp) 滿足

在運(yùn)動(dòng)參考系中,粒子的狀態(tài)可以通過(guò)對(duì)靜止參考系中的粒子態(tài)施加洛倫茲變換得到[36,37],洛倫茲變換在物理Hilbert 空間中誘導(dǎo)出態(tài)矢量上的幺正線性變換U(Λ),其對(duì)粒子態(tài)的作用是[39]:

其中L(ξΛp)-1ΛL(ξp) 是一個(gè) 旋轉(zhuǎn)操 作,被稱為Wigner 轉(zhuǎn)動(dòng),它作用于靜止坐標(biāo)系的自旋分量λ上[36].因此(14)式可以寫(xiě)成如下形式:

本文將四維動(dòng)量寫(xiě)成球坐標(biāo)系中的形式[E,psin(?)cos(γ),psin(?)sin(γ),pcos(?)],得到Wigner 轉(zhuǎn)動(dòng)的具體形式:

?是球坐標(biāo)系中的仰角,γ為方位角,m代表粒子態(tài)的質(zhì)量,E和E′分別為粒子經(jīng)過(guò)相對(duì)論變換前后的能量.

本文選取分布展寬為σr的“相對(duì)論高斯型”動(dòng)量分布:

其中N(σr) 是歸一化系數(shù),p表示p的大小.對(duì)于一組動(dòng)量遵循“相對(duì)論高斯型”動(dòng)量分布的本征態(tài),態(tài)矢量可以寫(xiě)成

將(21)式和(22)式代入(16)式,可求出自旋為1/2的有質(zhì)量粒子的態(tài)矢量經(jīng)過(guò)洛倫茲變換后的表達(dá)式為

在(24)式中,|ψ〉表示粒子的自旋態(tài).

4 運(yùn)動(dòng)參考系中的QFI

4.1 單粒子態(tài)QFI

在單粒子態(tài)量子參數(shù)估計(jì)中,待估參數(shù)由自旋態(tài)攜帶,這里選取參數(shù)化的單量子比特自旋態(tài),它可以寫(xiě)成:

其中θ和φ是未知的待估計(jì)參數(shù),分別表示振幅參數(shù)和相位參數(shù).

首先計(jì)算在靜止參考系中兩個(gè)未知參數(shù)的QFI.對(duì)于純態(tài),編碼在該態(tài)上的參數(shù)μ的QFI 可表示為[20]

很容易 計(jì)算出關(guān)于θ和φ的QFI為F(θ)=1,F(φ)=sin2θ.

相對(duì)論效應(yīng)使粒子的動(dòng)量和自旋相互糾纏[36],由于待估參數(shù)編碼在自旋態(tài)上,因此本文只考慮自旋態(tài)的變換.在變換后的態(tài)中自旋和動(dòng)量?jī)蓚€(gè)自由度都屬于這個(gè)變換態(tài)的子系統(tǒng),要研究自旋態(tài)中的待估參數(shù),需要關(guān)于自旋自由度的約化密度矩陣.通過(guò)對(duì)動(dòng)量自由度求偏跡,得到關(guān)于自旋自由度的約化密度矩陣:

將其代入QFI 的計(jì)算(7)式,即可算出在運(yùn)動(dòng)參考系中未知參數(shù)θ和φ的QFI.

4.2 單粒子態(tài)計(jì)算結(jié)果與分析

在運(yùn)動(dòng)參考系中求解QFI 的解析解是一個(gè)非常困難的工作,所以考慮利用MATLAB 進(jìn)行數(shù)值求解.本文分別計(jì)算了單粒子態(tài)相位參數(shù)的QFIF(φ) 和振幅參數(shù)的QFIF(θ),研究發(fā)現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)參考系中,F(φ)和F(θ) 都與快度ξ、振幅參數(shù)θ,以及展寬σr與粒子質(zhì)量m的比值σr/m有關(guān).

首先考慮等振幅(θ=π/2 )的情況,即|ψθ,φ〉=如圖1(a),(b),當(dāng)σr/m取1,2,3,4 時(shí),F(φ)和F(θ) 都隨著快度ξ的增大而減小,當(dāng)快度ξ趨向于無(wú)窮大時(shí),二者都降低到某一個(gè)固定的值,固定值依賴于決定動(dòng)量分布離散程度的展寬σr和粒子質(zhì)量m的比值σr/m,其值越大,F(φ)和F(θ) 降低趨勢(shì)越明顯,且最終達(dá)到的固定值越小.這是因?yàn)橄鄬?duì)論效應(yīng)使粒子的動(dòng)量和自旋相互糾纏,在不同的參考系看來(lái),同一個(gè)粒子的自旋態(tài)是不同的.對(duì)于自旋 1/2 粒子,一般情況下質(zhì)量是確定的,展寬σr增大意味著動(dòng)量分布變得更加分散,對(duì)動(dòng)量部分求偏跡,求得的自旋態(tài)的約化密度矩陣中包含的待估參數(shù)信息會(huì)隨之減少.因此隨著σr/m的增大,待估參數(shù)的QFI 下降的更加明顯.

圖1 運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中單粒子態(tài)的QFI (a) θ=π/2,σr/m=1,2,3,4 時(shí),F (φ)隨ξ 的變化;(b) θ=π/2,σr/m=1,2,3,4時(shí),F (θ)隨ξ 的變化;(c) σr/m=1,F (φ)隨θ,ξ 的變 化;(d) σr/m=1,F (θ)隨θ,ξ 的變化Fig.1.Quantum Fisher information for one-particle state in moving frames:(a) F (φ) is plotted as a function of ξ forθ=π/2 and σr/m=1,2,3,4 ;(b) F (θ) is plotted as a function of ξ for θ=π/2 and σr/m=1,2,3,4 ;(c) F (φ) is plotted as a function of θ and ξ for σr/m=1 ;(d) F (θ) is plotted as a function of θ and ξ for σr/m=1 .

對(duì)于單量子比特系統(tǒng),其振幅參數(shù)同樣會(huì)對(duì)相位和振幅的估計(jì)和測(cè)量產(chǎn)生影響.如圖1(c),(d),這里取σr/m=1,當(dāng)它的振幅參數(shù)取 [0,π] 時(shí),它們的QFI 也會(huì)發(fā)生變化.當(dāng)振幅參數(shù)越接近π/2時(shí),相位參數(shù)的QFI 越大,而振幅參數(shù)的QFI 越小,都在θ=π/2 時(shí)達(dá)到極值,且F(φ)和F(θ) 都關(guān)于θ=π/2 呈現(xiàn)一定的對(duì)稱性,原因在于粒子態(tài)選取的動(dòng)量分布具有對(duì)稱性.

4.3 雙粒子態(tài)計(jì)算結(jié)果與分析

為了盡可能提高參數(shù)估計(jì)的精度,降低相對(duì)論效應(yīng)對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響,本文嘗試尋找那些能使QFI 盡可能大的態(tài).在目前已有的研究中,利用量子系統(tǒng)特有的量子糾纏性質(zhì),可以提高量子態(tài)的QFI.因此,本研究將編碼未知參數(shù)的自旋態(tài)選為參數(shù)化的二量子比特糾纏態(tài):

兩個(gè)有質(zhì)量的自旋為 1/2 的粒子的態(tài)矢量可以寫(xiě)成[36]:

其中,|pλ〉A(chǔ)與|qσ〉B分別表示A 粒子與B 粒子的動(dòng)量-自旋本征態(tài),且gλσ(p,q) 滿足:

經(jīng)過(guò)相對(duì)論變換后,求得自旋態(tài)的約化密度矩陣為

將其代入QFI 的計(jì)算公式,數(shù)值計(jì)算雙粒子態(tài)相位參數(shù)的QFIF(φ) 和振幅參數(shù)的QFIF(θ) .結(jié)果顯示,雙粒子態(tài)的相位參數(shù)QFIF(φ) 和振幅參數(shù)QFIF(θ) 也與快度ξ、振幅參數(shù)θ和σr/m有關(guān),且F(φ)和F(θ) 隨三者的變化關(guān)系和單粒子態(tài)類似.圖2 展示了當(dāng)σr/m=1 時(shí),等振幅情況下雙粒子態(tài)和單粒子態(tài)F(φ)和F(θ)隨ξ的變化對(duì)比圖.有趣的是,雙粒子態(tài)相位參數(shù)的QFI 下降的更為顯著,而振幅參數(shù)的QFI 相比于單粒子態(tài)則有所提高.這表明隨著粒子數(shù)增加,相位參數(shù)的估計(jì)精度降低的更加顯著,而振幅參數(shù)的估計(jì)精度則有所提高.

圖2 運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中單粒子態(tài)與雙粒子態(tài)的QFI 對(duì)比(a) σr/m=1,θ=π/2 時(shí),F (φ)隨ξ 的變化對(duì)比;(b) σr/m=1,θ=π/2 時(shí),F (θ)隨ξ 的變化對(duì)比Fig.2.Quantum Fisher information for one-particle state versus that for two-particle state in moving frames:(a)F (φ)is plotted as a function of ξ for σr/m=1 and θ=π/2 ;(b) F (θ) is plotted as a function of ξ for σr/m=1 and θ=π/2.

5 結(jié)論

本文研究了相對(duì)論效應(yīng)對(duì)量子參數(shù)估計(jì)精度的影響,結(jié)果發(fā)現(xiàn),不論是單粒子態(tài)還是雙粒子態(tài),相對(duì)論效應(yīng)都會(huì)導(dǎo)致其攜帶的待估參數(shù)QFI 下降,從而降低參數(shù)估計(jì)的精度.在考慮相位參數(shù)時(shí),隨著粒子數(shù)的增加,QFI 降低得更為顯著.然而在考慮振幅參數(shù)時(shí),雙粒子態(tài)的QFI 相對(duì)于單粒子態(tài)有所提高.這表明在運(yùn)動(dòng)參考系中進(jìn)行量子參數(shù)估計(jì)時(shí),攜帶未知參數(shù)的粒子態(tài)選用雙粒子態(tài),同時(shí)待估參數(shù)編碼在自旋態(tài)的振幅參數(shù)上,可以降低相對(duì)論效應(yīng)對(duì)參數(shù)估計(jì)精度的影響.這一結(jié)果提供了一種抑制相對(duì)論效應(yīng)噪聲的方法.接下來(lái)可以進(jìn)一步研究多粒子態(tài)的QFI 的變化情況[34],嘗試得出一個(gè)在相對(duì)論變換下計(jì)算多粒子態(tài)QFI 的解析結(jié)果,這將在量子參數(shù)估計(jì)理論領(lǐng)域產(chǎn)生重要的價(jià)值.