讓“量感”在數學探究中自然生長

于勇

［摘要］ 作為數學核心素養(yǎng)在小學階段的主要表現(xiàn)之一，“量感”可謂“看不見、摸不著”，加之度量知識相對分散、割裂，難以引起教師的廣泛關注與關聯(lián)研究，成了小學數學教學中的盲點。以“度量單位”起始課教學為例，通過在表象建構的“浪漫經歷”中培育量感、在深度體驗的“遞進估測”中發(fā)展量感、在推理比較的“以小見大”中衍生量感、在延續(xù)實踐的“具象操作”中拓展量感，有效培養(yǎng)學生的定量思維。

［關鍵詞］ 量感；度量單位；數學探究；案例分析

所謂量感，主要是指對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知，建立量感有助于學生養(yǎng)成用“定量”的方法審視和解決問題的習慣，是形成抽象能力和應用意識的經驗基礎。史寧中教授指出，度量是人類創(chuàng)造出來的一種數學語言，是人們認識、理解數學本質和觀察、分析、表達現(xiàn)實世界的工具，它包含度量需要、度量工具、度量單位、度量方法、度量結果等基本要素。度量單位是度量教學的核心內容，是學生量感建立與生長的重要載體，關聯(lián)并有效建立學生量感、形成定量思維的意識與品質是度量單位教學的首要任務。培育學生的量感是“以學生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導向”的數學課程目標的重要組成部分。因此，在“度量單位”起始課教學過程中，嘗試引領學生開展有效的表象建構、深度體驗、推理比較、實踐操作等相關探究活動，以促進學生量感的形成和發(fā)展，為數學抽象、邏輯推理、數學建模等核心素養(yǎng)的培育與提升帶來新的增長點。

一、表象建構：在“浪漫經歷”中培育量感

英國著名數學家懷特海在《教育的目的》中指出：“‘浪漫階段是個人認識事物與領悟的起始階段，如果這一階段認知不完整、體悟不充分、積累不豐富，將為精致化學習帶來嚴重障礙和影響。”在教學“度量單位”時，教師要善于引導學生參與估測、驗證、比劃、想象等多種活動，讓學生調動多種感官，經歷度量單位表象建構的整個過程，變教師“搬運”為學生親歷，同時把度量單位與他們熟悉的事物關聯(lián)起來，讓他們充分感知度量單位的大小、長短、輕重等基本量態(tài)及累加過程，有效培育學生正確的量感。度量單位大多是一些起始概念，其認識、建構與內化等相關教學需要步步踩實、扎實推進，而不能匆匆?guī)н^。

比如，“毫米的認識”一課教學中，教師要引導學生經歷“四步”慢走建構“毫米”表象，再由表及里培育量感的過程。一是放手讓學生試畫1毫米，激活表象。教師引導學生在已經畫好的1厘米線段圖上，畫出自己認為的1毫米的長度，并引導學生說一說這樣畫的理由，從而激活學生個人度量認知中與1毫米有關的生活經驗，初步感知1毫米是比1厘米小的長度單位。二是在刻度尺上尋找1毫米，建立表象。教師引導學生借助刻度尺上標準的1毫米長度，與自己畫出的1毫米相比較，修正自己經驗里的1毫米，再引導學生在刻度尺上尋找更多的1毫米，得知3小格就是3毫米，5小格就是5毫米，進而讓學生真正獲得對1毫米或幾毫米長度的正確感知。三是在學具中尋找1毫米，豐富表象。教師引導學生在自己熟悉的實物中尋找跟1毫米接近的物體，這需要學生將實物的寬度、厚度與自己剛建立起來的毫米表象兩相對照，做出正確的選擇。同時，教師要求學生用尺子驗證一下自己的發(fā)現(xiàn)，進一步修正自己建立起來的1毫米表象。然后，教師把1元硬幣放在拇指與食指之間，手指不動，抽出硬幣，讓學生觀察拇指與食指間留下的細縫，由此深刻了解1毫米的實際長度。以此為參照，教師慢慢累加至10枚硬幣，引導學生觀察它們分別是幾毫米，獲得幾毫米的相關長度觀念，并與1厘米勾連在一起。最后，教師引導學生撇開實物，嘗試比劃幾毫米，由同桌輔助測量、驗證比劃是否準確，直至伸手比劃的長度接近準確值為止。這是將量感浸潤在現(xiàn)實生活中去培養(yǎng)，也是對剛剛建立的量感的擴充與應用。四是想象“1毫米或幾毫米有多長”，內化表象。教師引導學生閉上眼睛想一想1毫米或幾毫米的長度，將其植入個人認知體系中，完成對1毫米或幾毫米表象的內化。此時的1毫米、幾毫米，就好比長在了學生手上，拿出來就可以使用。

基于度量單位表象的建構，促使學生量感的形成與生長，這是度量單位教學的價值取向與關鍵所在。正因為如此，學生的探究、認知過程一般是比較慢的，慢在對學生認知規(guī)律的遵循，慢在對認知過程的延展，慢在組織學生參與不同層次的建構與經歷活動。學生在經歷“試畫—尋找—驗證—想象”等長線過程中，自主獲得生動形象的感性認知，從理解概念內涵逐步拓展到認知概念外延，有效培養(yǎng)了學生的數學“量感”與“空間觀念”。

二、深度體驗：在“遞進估測”中發(fā)展量感

每一類度量單位適用的情境與屬性不同，教學側重點自然有差異。長度單位、面積單位、體積單位等可直觀“看”到，依托豐富的素材培養(yǎng)與發(fā)展學生的量感是其重點所在；克、千克等質量單位可以通過“掂”獲得體感，側重于在“做”的活動中體驗。時間的度量單位不像長度、體積（容積）、面積單位具有可視性、外顯性，故而時間單位的感知側重于學生的內在感覺，只有將之科學合理地與某些活動建立起關聯(lián)，以另外一種意義上的新標準為支架進行“度量”并由此變得可感知、可操作，引導學生充分鍛煉數學思維，才能在深度體驗替代性活動中培育時間量感，助力學生實現(xiàn)由“生活量感”向“數學量感”的轉變。

“分鐘的認識”課堂上，教師可引導學生參與不同的替代性體驗活動，利用數一數、做一做及遞進估測等多種活動發(fā)展學生的時間量感，這樣學生心中慢慢就會有“一桿時間秤”。

1.數一數1分鐘

師：請小朋友伸出左手，然后把右手食指和中指壓在左手腕的脈搏上（教師示范），你們感覺到了什么？

生：一下一下在跳動。

師：這是我們的脈搏在跳動，你們感覺到了嗎？下面就讓我們一邊聽1分鐘長的滴答聲，一邊數一數自己脈搏跳動的次數，一起感受1分鐘到底有多長。等滴答聲響起，你們就開始數數。

師：聽過1分鐘的滴答聲，你有怎樣的感受？

生1：1分鐘時間比較短，很快就過去了。

生2：1分鐘比課間的10分鐘短很多，滴答聲一會兒就結束了。

師：1分鐘之內，你的脈搏跳動了多少下？

生1：我的脈搏1分鐘大約跳動了73下，比滴答聲快一些。

生2：我的脈搏1分鐘大約跳動了84下，確實是比滴答聲快一些。

2.做一做1分鐘

師：剛才，所有小朋友數脈搏都非常用心，個人感受也較為深刻。下面，就從做口算、抄寫漢字中選擇一項你喜歡的活動，一邊聽1分鐘的音樂，一邊口算或寫字，看一看1分鐘能做多少道口算題或寫多少個漢字。音樂響起馬上開始，音樂停止你也停止活動。下面就拿出口算紙或抄寫紙，做好準備。

師：開始，……停！數一數，你做了多少道口算題？或抄寫了多少個漢字？

生1：我1分鐘抄寫了25個漢字。

生2：我1分鐘做了31道口算題。

生3：我寫得快一點，1分鐘抄寫了34個漢字，今后我要寫得慢一點，把每一個漢字都寫得工整漂亮。

師：1分鐘時間雖然不長，但還是可以做很多事情的。鉛筆廠1分鐘可以生產600多支鉛筆，銀行職員1分鐘能數出300多張人民幣，央視播音員1分鐘可以播報800個字。因此，我們要珍惜生命中的每一分、每一秒。

3.估一估1分鐘

師：我們再來玩?zhèn)€游戲，請小朋友們閉上眼睛，用自己的辦法估計感受1分鐘，你覺得時間到了就請站起來。然后與老師播放的1分鐘倒計時比較，看一看哪些同學的估計最接近1分鐘。開始（老師播放1分鐘無聲時間計時條）。

師：你是怎樣估計1分鐘的？你估計的時間與1分鐘相比是多了，還是少了？

生1：我數脈搏跳動的次數，數到74下的時候，我感覺1分鐘到了，果然非常接近1分鐘。

生2：我用數數的方法估計1分鐘，我數到67的時候，感覺1分鐘到了，速度快了一些，估計的時間還不到1分鐘。

師：在估測的過程中，難免存在誤差，只要接近

1分鐘，就是好樣的。現(xiàn)在，我們用修正后的方法再來估一估1分鐘。……

4.估一估幾分鐘

師：我們不僅要正確估計1分鐘時間的長短，還要學會估計幾分鐘。請小朋友聽一聽我們學校的校歌旋律，估計一下，從音樂響起到結束大約幾分鐘？……

在這樣的教學中，教師引導學生利用數脈搏、做口算題、寫漢字、估一估等多種活動，充分體驗1分鐘時間的長短，在間接感知、修正方法及體驗積累過程中建立起正確的1分鐘量感，促使學生將原本模糊不清的生活量感變成可數、可做的具體事物的多少。然后，運用剛剛建立起來的時間量感，去估測學校校歌旋律的播放時間，從一個單位延伸至幾個單位，估測的結果越來越準確，學生的量感也得到了發(fā)展。這是對量感的內化、植入、提升與沉淀，為后面學習更大時間單位積累了豐富厚實的感知經驗與活動經驗。

三、推理比較：在“以小見大”中衍生量感

“體感”是人作為生物體的一種初級體驗，體現(xiàn)在量感上就是借助身體器官對量的直接體驗與感知，并由此而形成數學判斷。但是，并非所有的量感都能夠直接進行體驗。比如，質量單位中的噸，面積單位中的公頃、平方千米等較大度量單位的教學，不可能像千克那樣讓學生動手掂一掂、稱一稱來獲得體感，也不可能像平方厘米、平方分米那樣讓學生通過量一量、剪一剪、撕一撕來直觀感知或者用手勢比劃其大小。

在“平方千米的認識”教學中，教師可以借助學生已認識的平方米、公頃等度量單位，從選擇學生熟悉的實物開始，在數學運算、合情推理與倍比過程中衍生出大度量單位的意義，并培育學生的量感。

師：剛才，我們借助“1公頃”這一度量單位初步感受到1平方千米的大小，下面讓我們利用算一算的方法，進一步感受1平方千米的大小。一個標準籃球場長28米，寬15米，它的面積是多少平方米？

生：它的面積是28×15=420（平方米）。

師：請同學們算一算，1平方千米大約相當于多少個這樣的籃球場那么大？

生：1000000÷420≈2381（個）

師：想象一下，2381個籃球場合在一起有多大？我們的學校夠大了吧，這樣大的校園占地面積約是50000平方米，請同學們繼續(xù)推算一下，1平方千米大約相當于多少個這樣的校園那么大？

生：1000000÷50000=20（個）

師：剛才，用我們的校園或籃球場的占地面積與

1平方千米相比較，你有什么感受？

生1：1平方千米真是太大了。

生2：我知道蘇州拙政園全園占地面積大約是52000平方米，我感覺已經很大了。可是我通過計算發(fā)現(xiàn)，1平方千米大約相當于19個拙政園那么大。

師：如果1平方米可站17人，那么1平方千米可以站下多少人？

生：可以站下1000000×17= 17000000（人）。

師：17000000人比上海市2021年初戶籍人口還要多。1平方千米可以站得下上海市所有戶籍人口，

1平方千米可真是太大了。我們江蘇省的陸地面積約是107200平方千米，僅占中國土地總面積的1.12%，你能想象得出江蘇省有多大嗎？

在這樣的探究學習中，教師引領學生憑借已有知識經驗和生活經驗，把量感培育融入計算、類比、倍比與累加等合情推理中，借助小量的面積去感知大量的面積，積極參與一輪又一輪的數學思維活動，促進量感、數感的真正建立與有效內化，為核心素養(yǎng)培育與提升打下堅實的數學思維及推演活動基礎，同時也將量感拓展到了現(xiàn)實生活之中。

四、延續(xù)實踐：在“具象操作”中拓展量感

學生往往最能理解自己親身參與、動手實踐過的東西。量感的建立是一個引領學生基于實踐、依托實踐又必須超越實踐的認知過程，最終指向對度量單位大小的直覺及空間想象。在“度量單位”的教學中，有些教師越俎代庖，必不可少的實踐操作往往因時間與空間限制被教師講解所替代，然而動手做過、用腳走過，遠比用眼看過、用耳聽過更利于學生對知識的理解和量感的培育。

如對“升”和“毫升”的認識，在課前生活感知與課中實驗操作的基礎上，課后進一步設計實踐活動，引導學生選擇家中一個合適的容器并想辦法測量它的容積。很多學生在測量的過程中沒有現(xiàn)成的量杯，于是他們把土豆切割出棱長1厘米、2厘米等不同規(guī)格的小正方體，并借助這些小正方體運用“注水求差”“測量計算”“標記刻度”等基本方法，求得透明塑料瓶、玻璃杯等較小容器的容積，然后將其作為量杯，最終測量出所選容器的容積。學生數次獨立、專注的測量操作的過程，不僅發(fā)展了自身的數學量感和空間觀念，感悟到“量就是度量單位的累加”這一度量本質，更積累了豐富的數學活動經驗，增強了數學實踐及應用意識。

再如“千米的認識”一課，教師可以安排學生親身參與“走一走”“算一算”的實踐體驗活動。課前，要求學生在操場100米的跑道上走一走，數一數走了多少步，并由此推算出走1千米大約需要多少步。課后，讓學生與家長一起實地走一走、算一算，看一看從校門口出發(fā)走到哪里的長度大約是1千米，并將自己走1千米的步數與家長走1千米的步數相對照。如此，學生基于深度思考化“步”為度量單位，對1千米的實際長度有了整體感知。利用周末等閑暇時間，組織學生在公園、廣場等地方再走幾次1千米，由此累加成幾千米，進一步豐富學生對1千米的量感體驗，使得他們對1千米實際長度的感知逐步趨近精確，能夠對“我校大門口前面的勝信路大約有幾千米”“從學校大門口向北出發(fā)，沿著中山南路步行5千米，能夠走到哪”等生活實際問題形成敏銳的數學認知。

總之，在“度量單位”教學過程中，教師要基于其內在屬性明確教學側重點和具體策略，科學有效地引領學生通過一次次感知、實踐與運用活動，促使“量感”在真實狀態(tài)下自然發(fā)生，建立、形成真正意義上的“量感”，進而學會從度量的角度觀察、分析、表達世界，自覺運用度量知識解釋生活中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實中的問題。

［參考文獻］

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