壓電變形鏡驅動器遲滯快速辨識與補償研究

汪 寒,肖 習,郭友明,黃林海,鮮 浩

(中國科學院光電技術研究所 自適應光學重點實驗室,四川 成都 610209)

0 引言

主動光學變形鏡與拼接鏡在現代天文望遠鏡系統(tǒng)中具有關鍵作用,而驅動器的定位精度直接決定了對鏡面面形以及運動機構的控制性能。壓電陶瓷驅動器(PEA)是一種廣泛應用于高精度位移促動系統(tǒng)的驅動器,但其遲滯非線性特性降低了其定位精度,使其實際應用受限。

目前國內外學者對于壓電陶瓷的遲滯特性建模及控制補償做了大量研究。Gu等[1]通過引入自適應控制來估計系統(tǒng)參數。Tang等[2]設計了擴展狀態(tài)觀測器并將其用作非線性PID控制器的擾動觀測器。然而,由于相位滯后問題,經典PID控制器和線性控制器都難以實現精確跟蹤控制[3]。由于遲滯非線性的復雜特性,前饋控制技術成為處理該非線性的常用方法。Liu等[4]提出了基于P-I速率相關模型復合控制補償算法,在基于壓電式快速反射鏡的實驗平臺上將動態(tài)目標跟蹤系統(tǒng)的誤差抑制帶寬提高了26 Hz。Han等[5]采用了一種分段式P-I模型,將建模誤差率控制在0.7%內,并利用帶有前饋補償的復合控制方法,將壓電陶瓷的控制精度提高了73.76%。Wang等[6]利用改進的Maxwell-slip模型引入自適應控制,將壓電微定位平臺的均方根誤差(RMSE)降到0.012 4 μm內。Xiong等[7]設計了一種基于深度神經網絡的前饋補償系統(tǒng),將壓電陶瓷位移誤差從8.91 μm降低至80 nm。Stakvik等[8]采用210個遲滯算子對遲滯動態(tài)進行建模,由遲滯曲線可觀察到明顯的階梯與鋸齒,模型精度受限。Liu等[9]在實驗中取離散度(L)為50的Preisach模型,對1 275個遲滯算子進行了辨識,通過多動態(tài)級聯辨識后逆模型前饋將誤差控制在3%內。Li等[10]采用19 900個遲滯算子建立Preisach模型,模型誤差控制在0.6%內。雖然模型辨識與補償方法的研究很多,但如何提升辨識的計算效率研究較少。辨識算法的高復雜度嚴重限制了模型算子數量的增加、相關方法在驅動器數量多(如變形鏡平臺),以及算力低(如空基平臺)等情況下的應用。

基于上述原因,本文采用了一種基于先驗信息的Preisach模型辨識信號設計,優(yōu)化了Preisach模型的辨識算法,降低了其運算復雜度,實現了壓電變形鏡驅動器遲滯的準確參數辨識及建模。根據建模結果設計了基于逆Preisach模型的前饋控制器。實驗結果證明,這種方法適合快速構建壓電陶瓷非線性遲滯的前饋補償控制器,以提升其定位性能。

1 遲滯辨識建模與前饋控制器設計

1.1 Preisach模型

1935年,F. Preisach提出的Preisach模型廣泛應用于描述遲滯現象。Preisach模型可表示為

f(t)=?α≥βμ(α,β)γαβ[u(t)]dαdβ

(1)

式中:α≥β為Preisach平面所在的限制范圍;f(t)為遲滯模型的輸出;μ(α,β),γαβ分別為Preisach遲滯的參數分布與Preisach平面上在(α,β)處的遲滯子輸出。根據輸入信號的大小,單個遲滯算子具有兩個狀態(tài),分別輸出為0或1,如圖1所示,α為其從狀態(tài)0到狀態(tài)1的上升閾值電壓,而β為其從狀態(tài)1到狀態(tài)0的下降閾值電壓。

圖1 單個Preisach遲滯算子示意圖

單遲滯算子的未加權輸出為

(2)

實際應用中常采用Preisach模型的離散形式:

(3)

1.2 傳統(tǒng)辨識算法

對于遲滯動態(tài)的辨識,可采用基于奇異值分解計算的最小二乘法對Preisach遲滯模型參數分布進行辨識,步驟[9]如下:

在輸入與輸出信號的數據集充分時,可將Preisach方程化為矩陣形式:

v(k)=AkX

(4)

Ak=[γ11[u(k)],γ21[u(k)],…,γLL[u(k)]]XT

(5)

X=[μ11s11,μ21s21,…,μLLsLL]

(6)

當輸入的辨識信號矩陣滿足PE條件(Persistent Excitation condition)后,有矩陣ATA滿秩,可對ATA做奇異值分解,進而求出A的Moore-Penrose偽逆A+,有

ATA=QΣT

(7)

A+=TΣ-1QTAT

(8)

A=[Ak1,Ak2,…,Akn]T

(9)

(10)

式中V為位移傳感器得到的信號采樣點集合,且:

V=[v(k1),v(k2),…,v(kn)]T

(11)

1.3 辨識算法改進

在傳統(tǒng)方法的基礎上,本文采用一種基于先驗的Preisach模型辨識信號設計方法,從而優(yōu)化了辨識算法,并大幅降低了算法的運算時間。

該方法由先驗設計的采樣規(guī)則與基于求解單遲滯算子輸出的參數求解算法兩部分組成。首先給出了一種先驗設計的辨識信號形式,由辨識信號輸入可以得到對應的輸出采樣集,然后采用求解單遲滯算子輸出的計算方法,可以有效且快速地計算出待辨識參數分布矩陣。

如圖2所示,使用幅值變化的鋸齒形三角波輸入信號作為輸入辨識信號,實現了在時域上更小的采樣數。具有總周期長度為T的信號有L個子周期。與傳統(tǒng)的辨識輸入信號不同,采樣點集的選取是由幅值而不是由固定采樣間隔生成,以圖中采樣點v4、v5、v6為例,其對應輸入信號上的電壓為u4、u5、u6。在設計輸入辨識信號時,根據幅值可以反向求得信號對應的時刻k1、k2、k3,從而在輸出信號上找到對應的采樣點v4、v5、v6用于辨識。

圖2 辨識方法示意圖

在得到輸入采樣集U與輸出采樣集V后,按照一定規(guī)則可將遲滯算子集H和輸入采樣集U重新排列在對稱的Preisach柵格上。理想情況下,N個遲滯算子的輸出可以通過N個輸入-輸出信號采樣點對計算求解,即滿足充分采樣的條件下,可通過求解存在的一個線性變換矩陣E獲得遲滯輸入和輸出的全部映射關系。此辨識問題也就可以轉化為在規(guī)模為N×1的輸入采樣點集向量和N×1的輸出采樣點集向量間求解N×N的方陣E。該方陣可通過矩陣求逆的方式求得,但是先驗設計使得針對Preisach模型參數求解此情景下的特異性矩陣快速求逆計算成為可能。

遲滯算子的輸出可表示為

HT=[h11,h21,h22,…,hij]

(12)

式中hij代表在Preisach平面上坐標為(i,j)的遲滯算子的輸出。

hij=μijsijγij[u(k)]δ

(13)

因此,根據Preisach模型的表述,k時刻遲滯動態(tài)的模型位移輸出可表示為

(14)

式中:u(k)代表k時刻下模型的輸入電壓;PA代表γij[u(k)]=1的遲滯算子的對應閾值集合。位移輸出采樣點集V為

(15)

式中E為對Preisach平面上所有遲滯算子所做的線性變換。式(15)可表示為

(16)

Preisach模型遲滯算子的待求輸出值由式(16)求解,而矩陣E-1的求解是整個問題的關鍵,對整個辨識過程求解復雜度起決定性作用。結合圖3,給出其基于映射圖關系的快速求解步驟:

圖3 遲滯算子的映射圖解示意

重排列:將辨識信號的采樣點重排列至對稱的Preisach柵格上,同一輸入幅值對應的采樣點在每列從下到上依次排列。

連接:用箭頭進行標注,左平面從每列自下而上連接,同時每列的第一行都連接到該行上列的點。右平面從第三行開始,每行都從遲滯算子h1x向該行前方延伸箭頭至h(x-1)x。

計算:右平面上遲滯算子的輸出值等于對應輸出采樣點的值減去其箭頭來源的上一個采樣的值。如h22=v2-v3,h55=v11-v12。

附加規(guī)則:當計算箭頭指向的遲滯算子輸出值時,需要在求解結果中減去其他前方所有該行箭頭來源的遲滯算子輸出,如h25=v14-v9-h15,h45=v12-v7-h35-h25-h15。

對于上述過程,算法流程框圖如圖4所示。

圖4 方法的算法流程框圖

圖5 前饋控制器設計流程

圖6 實驗平臺示意圖

圖7 傳感器位移輸出

(17)

式(17)轉換為矩陣形式可表示為

(18)

通過所述方法可將大規(guī)模非方陣的Moore-Penrose逆求解簡化為通過特異性基礎運算的快速矩陣求逆,而后者的運算復雜度遠比現有的方陣求逆方法更低,可在極短時間內通過少量辨識信號采樣實現遲滯模型的構建,這對于低功耗、低算力的空間能動平臺,以及多驅動器場景下的前饋控制器遲滯模型辨識與校正有著重要的應用價值。

1.4 逆Preisach模型前饋控制

2 實驗驗證

圖 6為實驗平臺示意圖。位移傳感器采用attocube IDS-3010。變形鏡平臺共42個驅動器,其面形由鏡面背后的壓電陶瓷驅動器加力后發(fā)生改變。實驗中選擇進行測試的驅動器輸入電壓的區(qū)間為[0,500]V,電壓放大器為PI E-481,放大倍率為100,輸出電壓范圍為-1 150～1 150 V,采集卡為阿爾泰科技USB2872A-D。

本實驗采用的辨識信號具有50個子周期,信號持續(xù)時間為100 s,每個子周期為2 s,電壓信號加載至第27號驅動器傳感器,得到的位移輸出如圖 7所示,原始信號采樣率為500 kHz。針對低信噪比帶來的辨識誤差增加,實驗中每個采樣點都會在該電壓下維持一段時間,直到下一個采樣,但整體信號形式仍然保持為幅值變化的鋸齒三角波。

即使整體信號信噪比較低,采集的輸出信號中真實的輸出值被埋沒在噪聲中,但從信號局部看,在信號采樣率設置較高的情況下可通過求取局部均值作為壓電陶瓷的輸出真值,從而得到目標采樣點。

求取采樣點后,通過前述辨識算法可得到Preisach模型的參數分布,同時根據Matlab內置計時工具對42個驅動器所需的算法運行總時間進行記錄,算法運行處理機硬件為Intel Core i9-10900K 3.70 GHz CPU,結果如圖 8所示。

由圖8可見,對于42單元的變形鏡驅動器遲滯辨識,采用1 275個遲滯算子的Preisach模型,所用方法成功將辨識時間從10 s量級降低到0.1 s量級。對于采用更多遲滯算子的高精度模型,傳統(tǒng)方法消耗的計算資源呈指數增加,而本文方法則始終較好地將時間控制在1 s以內。同時,對參數辨識得到的Preisach模型和實際測得的壓電陶瓷遲滯在4 Hz正弦波輸入下的遲滯環(huán)進行了對比,結果如圖9所示。

圖8 模型辨識結果

圖9 遲滯建模與實測結果對比

圖10 前饋補償實驗結果

由圖 9可見,模型辨識的結果較準確,模型辨識相對誤差為1.886 7%。在此基礎上進行遲滯前饋補償實驗,在4 Hz頻率正弦波控制輸入下,實驗結果如圖 10所示,前饋控制相對誤差為4.103%,對比開環(huán)遲滯誤差(9.370 5%),遲滯效應降低了約56.21%,將鏡面位移誤差控制在0.03 mm內。

3 結束語

本文開展了針對帶鏡面負載下的壓電陶瓷驅動器高速遲滯辨識與補償的問題研究,對驅動器的非線性遲滯模型進行了參數辨識,并根據模型所得逆模型進行了前饋控制器的開發(fā)。通過所提方法進行高速參數辨識得到的遲滯模型相對誤差為1.886 7%,同樣模型算子數量的情況下算法運行時間降低了90%以上,前饋控制相對誤差為4.103%,使系統(tǒng)遲滯降低約56.21%。實驗結果表明,該方案能夠在降低辨識算法運算時間的情況下有效地提高系統(tǒng)的控制精度,這對多驅動器數量及低功耗算力場景下,壓電陶瓷位移促動平臺的高速非線性遲滯模型辨識及前饋控制器構建具有一定的指導意義。