采用利希滕貝格圖的高超聲速飛行器軌跡優化

張笑妍，程昊宇，韓博，閆杰

（1.西北工業大學無人系統技術研究院，西安 710072；2.中國人民解放軍93525部隊，日喀則 857000）

0 引言

高超聲速飛行器（Hypersonic flight vehicle，HFV）由于具備快速的全球打擊能力和靈活的機動性等特點，受到研究人員的廣泛關注［1-2］。HFV一般在距地表約100～120 km 的高度進入大氣層，整個彈道通常在約20～30 km 的高度擴散到終端區域［3］。再入軌跡的優化在HFV 性能中起著重要作用，其產生的控制指令能夠引導飛行器從初始狀態飛向特定的終端狀態，確保HFV 能夠精確和快速地到達目標點［4］。

HFV 再入段有大包線、多約束飛行等特點，使得再入參考軌跡的設計優化尤其具有挑戰性。HFV除了會在復雜環境中受到大量約束，如終端條件約束、狀態邊界約束、熱流速率約束、動壓約束以及法向過載約束等［5］，其再入軌跡優化還需要根據任務要求滿足終端時間最短、能量最小或終端速度誤差最小等性能指標。因此，再入軌跡優化實際上是一個多約束優化問題［6］。在現有文獻中，求解高超聲速飛行器再入軌跡優化問題的方法一般可分為2 大類：數值方法和啟發式優化算法。近年，學者通過數值法中的直接方法對作為最優控制問題的HFV 的再入軌跡優化進行了大量研究［7］。直接方法，特別是偽譜法，可以將高超聲速飛行器軌跡優化問題轉化為非線性規劃（Nonlinear programming problem，NLP）問題，直接通過傳統方法解決，而不需要推導出一階必要條件。相較于其他直接方法，偽譜法求解速度快且求解精度高，被廣泛應用于復雜多約束優化問題的求解中。Patterson 提出了高斯偽譜法（Gauss pseudospectral method，GPM），用于解決多階段最優控制問題［8］。利用GPM 解決HFV 再入段軌跡優化問題，可以快速獲得滿足約束條件的軌跡。但實際解決HFV 再入段軌跡優化問題時，約束條件多、優化問題的復雜性強，由于GPM 全局搜索能力差，其性能對初始估計值的依賴性會增強［9］。初始值選擇不當會造成算法陷入局部最優，甚至發散，這一缺點使得調參難度大，軌跡優化結果受設計者經驗影響。

針對以上問題，廣大學者利用啟發式智能優化算法簡單、靈活、全局搜索能力強等優點，開展軌跡優化算法研究，以克服GPM 算法過于依賴初始值、全局搜索能力不足的缺點。對于復雜優化問題，啟發式算法在全局搜索方面具有顯著優勢，但在全局最優附近的收斂速度和收斂精度相對于數值方法較差［10-11］。為了充分發揮數值方法和啟發式優化算法各自的優點，大量學者對混合算法進行了研究。文獻［12］將鯨魚優化算法和高斯偽譜法相結合，為偽譜法提供更好的初值。文獻［13］改進了麻雀優化算法并結合控制變量參數化方法設計混合算法，應用于高超聲速飛行器的軌跡優化。上述方法在處理約束時均將約束轉化為懲罰函數的形式，參數復雜、對研究人員的經驗依賴性強，且上層中算法為GPM 提供的初始解效能較差，使混合算法收斂精度不足，魯棒性不強。

基于擴散限制聚集理論，可將利希滕貝格圖（Lichtenberg figure，LF）［14］應用于利希滕貝格算法（Lichtenberg algorithm，LA）中。與許多文獻中的算法不同，LA 是一種成功地利用了分形的混合算法，它由基于群體和軌跡的搜索方法組成，這種組成模式能夠提高迭代過程的穩定性，在探索和利用之間產生良好的平衡，具有更高的收斂精度和魯棒性。該算法在復雜多約束優化問題中具有優越的求解性能［15］，適合應用在高超聲速飛行器再入軌跡優化問題中。

為提升高超聲速飛行器再入軌跡優化問題的求解效率和精度，本文首先提出了一種自適應分段利希滕貝格算法（Adaptive piecewise Lichtenberg algorithm，APLA），其在解決帶約束的優化問題方面具有明顯優勢。算法針對所解決問題的特點，基于拉丁超立方抽樣（Latin hypercube sampling，LHS）［16］改進了初始化方法，最大化提高算法前期收斂速度和全局搜索能力。在迭代階段采用了全局至局部的自適應分層策略分階段維護多樣性，提升搜索精度。提出的策略使APLA 在保證收斂速度的前提下提升算法的全局搜索能力。接著，將APLA 和GPM結合提出再入軌跡優化混合算法即APLA_GPM 算法，有效減少了參數的數目，降低了參數的調節難度，提高了算法的收斂速度、求解精度以及魯棒性。首先，利用GPM 算法將軌跡優化問題轉化為NLP 問題，繼而利用具備較好全局搜索能力的APLA 算法作為初始化搜索器，求出再入過程的近似最優解序列。最后，將前一搜索階段中，APLA 獲得的近似最優解作為GPM 中NLP 求解器的初始解。利用GPM優越的收斂速度和更高的搜索精度，在近似最優解附近尋找精確的最優解。

1 高超聲速飛行器再入軌跡優化問題建模

1.1 高超聲速飛行器動力學與約束

考慮高超聲速飛行器再入段動力學模型：

式 中：狀態量x=[r，?，θ，v，γ，ψ]T；控制量u=[α，σ]T；t表示時間；m是飛行器的質量；g為引力常量；r為地心距離；γ為航跡傾角；v為速率；?為經度；θ為緯度；ψ為方位角；α為攻角；σ為傾側角；D和L分別是氣動阻力和升力大小，可以表示為：

式中：ρ為大氣密度；ρ0為海平面空氣密度；Re代表地球半徑；hd是大氣密度標高；CD和CL分別為阻力系數和升力系數；M是馬赫數；S是HFV的參考面積。

式中：kQ是一個常數，與HFV的結構特性相關。

在建立HFV 模型的基礎上，選取攻角α及傾側角σ作為控制量即u=[α，σ]T，需要滿足控制約束（式（5））。狀態量x=[r，?，θ，v，γ，ψ]T需滿足邊界約束、初值約束和終端約束（式（6））：

式中：“≤”表示每個對應元素都滿足“≤”關系；Umin=[αmin，σmin]T和Umax=[αmax，σmax]T分別代表控制量的下邊界和上邊界；x0=[r0，?0，θ0，v0，γ0，ψ0]T為狀態量的初值；xf=[rf，?f，θf，vf，γf，ψf]T為狀態的終值；Xmin和Xmax分別為狀態的下邊界和上邊界；t0和tf分別表示初始時間和終端時間。

1.2 高超聲速飛行器再入任務代價函數

考慮如下高超聲速飛行器再入段軌跡優化問題，將最大化縱程軌跡及軌跡平滑作為任務，則可將問題轉化為如下所示的NLP問題：

式中：τ為權重因子；Gmax=[，Pmax，Nmax]T為約束量的上邊界矩陣；Gmin=[，Pmin，Nmin]T為約束量的下邊界矩陣；g(x)=[，Pd(x)，nL(x)]T。

2 自適應分段利希滕貝格算法

2.1 利希滕貝格算法

LF 以矩陣F的形式表示。在LA 中構建LF 需要3個重要的參數，粒子數量Np、粘性系數Sp和創建半徑Rc。其中Rc決定矩陣的行列。粒子在整個矩陣中隨機釋放，將其行走隨機地、徑向地繪制出來。集群中的每個粒子都可以轉化為笛卡爾平面上的位置，并將位置四舍五入為一個具有行號和列號的矩陣元素。Sp對圖的密度有很大影響，Sp越小，粒子粘在某個集群上的概率越小，集群的密度就會增加。

LA用有限數量的點來映射搜索空間，以便在目標函數中進行評估。其中，前一次迭代的最佳點Pb總是當前迭代的觸發點Xs，但它不一定是要再次評估的點。在第一次迭代中，它是隨機選擇的LF點中的一個。每次迭代時在整個LF 中選擇代表群體的LF 特征點，稱為利希滕貝格點（Lichtenberg point，LP），并保證這些LP 一定在規定的搜索空間內。這種形式使LA 兼備群體和軌跡2種搜索方式，成為一種混合算法。LP的生成公式如下所示：

2.2 改進利希滕貝格算法

LA算法存在兩方面缺點，一方面是算法初始化階段粒子在空間內分布不均勻，導致全局搜索能力差且收斂速度慢。另一方面是迭代搜索過程中，算法前期全局搜索能力強但收斂速率慢，后期粒子多樣性差，全局搜索性能降低。針對LA 算法的不足，及高超聲速飛行器再入軌跡優化問題多約束、強耦合的特點對LA 算法進行了改進，提出了APLA 算法。通過優化初始解的效能加速算法前期的收斂速度并提高前期全局搜索能力。高超聲速飛行器再入軌跡優化問題約束多且復雜性較高，算法易陷入局部最優，使求解精度降低。本文提出了全局-局部交叉自適應更新方法，在保證算法全局搜索性能的前提下，提高算法收斂速度。

圖1 是APLA 算法的流程。其中，行向量LjP為矩陣LP的第j行；Pb(i)為第i次迭代中的最優位置。

圖1 APLA流程圖Fig.1 APLA flowchart

2.2.1 拉丁超立方抽樣初始化

初始觸發點需要在算法迭代前選出，它的質量影響著APLA 后續迭代的效率。良好的初始觸發點能夠加速算法收斂，提升算法前期解的質量。本文通過引入LHS 改進粒子位置初始化，如式（14）～（16）所示，提升觸發點備選解在搜索空間中分布的均勻性，從而提升初始觸發點的全局優越性。LHS是一種分層抽樣技術，它使用多變量參數分布的近似隨機抽樣方法來創建初始位置，適用于本文研究的高超聲速飛行器再入軌跡優化問題。

2.2.2 全局——局部交叉自適應更新

在保證算法全局搜索效率的同時，為了加快算法的收斂速度，設計自適應參數，收縮率ξ∈[0，1]，用以加速局部搜索。通過ξ創建副圖，其與主圖具有相同的觸發點，使算法能夠在一個較小的局部區間內快速搜索尋優，從而加速算法的收斂。為了在提高收斂速率的基礎上防止算法早熟，在迭代在前期ξ是一個較大的值，后期粒子分布較集中，收縮率將隨著迭代的進行不斷減小，增加主圖所占比例。ξ的更新公式如下所示：

式中：M表示算法最大迭代次數；i表示當前迭代數；Δ ∈(0，0.2)是正常數，根據實際問題設置。

在算法迭代的過程中，用于計算目標函數的粒子由取自主圖的粒子（LPG）和取自副圖的粒子（LPL）組成。LPG 主要用于提升粒子多樣性，防止算法陷入局部最優。LPL用于在當前最優點附近搜索，加速算法收斂。前期多樣性較為豐富且ξ較大，LPL 應占主導地位。后期粒子多樣性減少，應增加LPG 所占比例。綜上，需要對2 類粒子的數量進行設計：

式中：Pg為從主圖選取的粒子數；i表示當前迭代數；τ∈[1，1.7]是正常數，根據實際問題設置。

綜上，經過改進的粒子更新公式如下所示：

圖2為APLA迭代中粒子分布示意圖，x1，x2為粒子在分布空間中的坐標分量。對比圖2（a）與圖2（b）可知：算法前期局部LF 占比大，LP 在空間中分布均勻，算法全局搜索能力強；后期局部LF 占比逐漸縮小，增強算法局部搜索能力并加快收斂，LP 分布在全局LF 中的比例增加，保證種群多樣性，防止算法陷入局部最優。

圖2 利希滕貝格圖中的LP分布Fig.2 LP distribution in the Lichtenberg figures

3 APLA_GPM 高超聲速飛行器再入軌跡優化方法

3.1 高斯偽譜法

本文通過GPM［17］將時間區間為[t0，tf]的高超聲速飛行器再入軌跡優化問題（式（1）～（7））轉化為NLP 問題進行求解，首先需要將其時間區間轉化到GPM的時間區間[-1，1]上：

進而，微分狀態為：

式中：D∈R(N-1)×N為微分矩陣，k=1，2，…，N-1。

將原問題的動力學微分約束轉換為在配點上完全等價的代數約束：

利用高斯積分近似離散化的終端狀態及代價函數得到：

另外，終端約束條件及路徑約束條件分別表示為式（28）～（29）：

綜上，GPM 將高超聲速飛行器再入軌跡優化問題轉化為如式（26）～（29）所示的NLP問題。

3.2 APLA約束處理

經典LA 算法最初提出的目的即求解多約束優化問題，因此它是求解具有線性和非線性約束實際問題的強大工具。APLA 在經典LA 對約束的處理方法的基礎上，根據高超聲速飛行器再入軌跡優化問題的特點優化處理參數，提升算法針對本問題的求解效能。轉化后高超聲速飛行器再入軌跡優化的目標函數為：

式中：k為不等式約束的總數；Hi(x)表示第i個不等式的被約束量的值；Bi為當前約束的邊界值；λ=10為懲罰因子；εi為懲罰標記，當不滿足當前約束時εi=1，滿足約束則εi=0。

3.3 APLA_GPM優化方法

本文將高超聲速飛行器再入軌跡優化問題轉化為NLP 問題。GPM 由于具備求解精度高和搜索速度快等卓越性能，被廣泛用于求解NLP 問題。但其對初始值的依賴性強，調試難度大，容易陷入局部最優甚至發散無法求解。針對這一缺點，提出APLA_GPM，利用APLA 算法強大的全局搜索能力及優秀的收斂速度為GPM 提供良好的初始解，而GPM 則彌補了APLA 在最優解附近求解精度較低的缺點。將兩種算法的優點結合，極大地增強了問題的求解效率。圖3 為APLA_GPM 軌跡優化算法框架，詳細過程如下：

圖3 軌跡優化算法框架Fig.3 Framework of trajectory optimization algorithm

1) 高超聲速飛行器再入軌跡優化問題建模（式（1）～（7））；

2) 設置APLA 所需的參數，包括Np、Sp、Rc、p、M以及優化誤差eA；

3) 初始化LPs求出初始觸發點，并生成LF；

4) 執行APLA 更新LPs 得到當前時刻下的最佳控制量；

5) 保存當前狀態量及控制量并判斷當前狀態是否滿足‖x(t) -xf‖2

6) 以APLA 獲取的最優解序列作為GPM 的初始解；

7) 利用GPM 的NLP 求解器在初始解附近搜索最佳解，若NLP求解精度達到eG，終止GPM；

8) 輸出最優狀態量及控制量，完成高超聲速飛行器再入軌跡優化。

4 仿真校驗

4.1 APLA數值測試分析

利用5 個帶約束基準優化問題（G3 函數（F1）、Martin 和Gaddy 函數（F2）、用立方體和直線約束的Rosenbrock 函 數（F3）、Bird 函 數（F4）、G2 函 數（F5））［18］以及焊接梁問題（F6）［19］進行數值測試，將APLA 的性能與WOA［20］、SSA［21］、PSO［22］以及LA 的性能進行對比分析，以驗證本研究提出算法優越的全局搜索能力與收斂精度。APLA中τ越大，Pg的初始值和最大值越大，Pg變化越平緩，Pg的變化范圍越小，本文中τ=1.3，M=100，p=10d。圖4 為各算法應用于相應測試函數的收斂曲線。表1為將上述算法應用于各個測試函數并進行蒙特卡洛仿真的結果，其中最優解、平均最優解和標準差為各算法獨立運行1 500次得出的解所求。

表1 算法應用于各測試函數中的結果Table 1 Results of the algorithm applied to each test function

圖4 算法在各測試函數上的收斂曲線對比Fig.4 Comparison of convergence curves of algorithms on various test functions

如圖4 所示，對比5 種算法在各帶約束問題中的收斂曲線，可以得出：APLA 具有良好的初始解，加速了算法的收斂過程。采用全局-局部交叉自適應更新策略，使得APLA 不僅以更小的迭代次數收斂至最優解，且全局搜索性能明顯強于WOA、SSA、PSO以及LA。

進一步，通過分析表1中的數據可以看出，本文所提算法在測試實例中的最優解和平均最優解均優于其他算法，且標準差很小。這一結果證明了APLA 魯棒性強且收斂精度高，適合解決帶約束的優化問題。

4.2 APLA_GPM仿真分析

本節通過將APLA_GPM與傳統GPM、WOAGPM、SSAGPM 以及LAGPM 進行對比，驗證本文所提方法在解決高超聲速飛行器再入軌跡優化問題上的優越性。

在當前高超聲速飛行器再入軌跡優化問題中，算法參數設置為τ=1.3，Δ=0.06，M=100，p=100。控制量的上限和下限分別設置為Umin=[10，-70]T，Umax=[20，70]T。路徑約束中Qmax=3 000 kW/m2，Pmax=75 kPa，Nmax=2.5 g。高超聲速飛行器再入軌跡參數設置見表2，飛行器初始條件與終端條件如表3所示。

表2 高超聲速飛行器再入軌跡參數Table 2 Re-entry trajectory parameters of hypersonic vehicle

表3 飛行器初始和終端條件設置Table 3 Initial and terminal condition setting of vehicle

圖5給出了高超聲速飛行器初始化過程中的收斂曲線。可以看出，APLA 可以用更少的迭代次數獲得更小的適應度值。這一結果表明相對于其他算法，APLA 可以用更少的時間完成上層中的初始化搜索階段，并切換到下層，為APLA_GPM 提供了尋找全局最優解的最佳初始解集。

圖5 再入軌跡優化初始化收斂曲線Fig.5 Convergence curves of initialization for the re-entry trajectory optimization

圖6為各算法求解高超聲速飛行器再入軌跡優化問題的對比仿真結果。可以看出，GPM、WOAGPM、SSAGPM、LAGPM 以及APLA_GPM 5 種算法所求得的解均滿足高度、速度、航跡傾角和方位角終端約束。

圖6 再入軌跡優化結果對比Fig.6 Re-entry trajectory optimization results comparison

進一步由圖6（b）可知，GPM 算法優化得到的縱程軌跡最短，而由APLA_GPM 算法求解得到的縱程軌跡最長，LAGPM 次之。證明APLA_GPM 在最大化縱程軌跡任務中表現優越。觀察圖6（d）可得，由APLA_GPM 算法求解的航跡傾角隨時間的變化曲線波動最小，最為平滑，而由WOAGPM 和SSAGPM等算法求解的航跡傾角隨時間的變化曲線波動劇烈，觀察地心距離、速度以及方位角隨時間的變化曲線得到的結論相同。

通過以上分析可以得出如下結論：相同條件下，由APLA_GPM 求得的解，在平滑度、精度上都優于GPM、WOAGPM、SSAGPM 以 及LAGPM 所 得的解。

為進一步驗證本文提出算法的優越性，對GPM、WOAGPM、SSAGPM、LAGPM 以及APLA_GPM進行了蒙特卡羅仿真。每個算法獨立運行1 000次。為了表征各算法所求解的平滑度、精度以及算法的求解速度，統計各算法所得高度、速度、航跡傾角以及方位角隨時間變化函數的導數（r′，v′，γ′和ψ′）的標準差平均值、終端經度平均值、目標函數的平均值和最優值以及算法平均運行時間，統計數據如表4所示。

表4 蒙特卡洛仿真數據統計Table 4 Monte Carlo simulation data statistics

分析數據，可知APLA_GPM 所解得的高度、速度、航跡傾角以及方位角函數導數的標準差均小于其他方法，證明其所得軌跡更加平滑。從各個算法所求得的終端經度平均值可得出，本研究提出的算法縱程軌跡最大化能力優于其他算法。最后，APLA_GPM 目標函數的平均值最小且平均運行時間最短，證明其不僅在優化精確性和魯棒性方面的表現明顯優于GPM、WOAGPM、SSAGPM、LAGPM，且在收斂速度方面也優于其他算法。

綜上，通過仿真分析得出，APLA_GPM 算法用于解決本文中提出的高超聲速飛行器再入軌跡優化問題具有優越性。

5 結論

針對具有復雜約束的高超聲速飛行器再入軌跡優化問題，本文提出了APLA_GPM 混合方法。該方法利用APLA 快速生成最佳初始解，結合GPM 強大的局部搜索能力和優越的收斂速度在初始解周圍搜索最優解。數值仿真分析結果表明，APLA 算法不僅收斂速度快且具有優越的全局搜索性能，彌補了傳統偽譜法對初值的依賴性強以及全局搜索性能差的缺點。高超聲速飛行器再入軌跡優化仿真結果表明，APLA_GPM 以更高的搜索精度、更快的搜索速度完成優化指標且魯棒性優于其他算法，解得的軌跡更平滑且縱程軌跡更長。