基于最小二乘法的平面度測量系統設計

彭 壯，顏 強，朱 巖，羅 漢，解 鏊

（湖南云箭集團有限公司 湖南 長沙 410100）

0 引言

在現代制造業中，平面度是一個重要的表面質量指標，是指被測實際表面所有測量點相對其最小二乘平面的變動量［1］，用于評估零件表面的平整程度。 平面度誤差的評定方法主要有三點法、對角線法、最小區域法和最小二乘法等。 最小二乘法是一種基于數學模型的優化方法，通過最小化測量殘差的平方和來擬合實際測量數據與理想模型之間的關系，來評估零件表面的平整度［2］。 由于最小二乘法具有良好的數學性質和可靠的測量結果，被廣泛應用于各個領域的測量任務。 倍福可編程邏輯控制器（programmable logic controller，PLC）是一種先進的自動化控制設備，具有高精度和高可靠性的特點，廣泛應用于工業制造領域［3］。 本文設計一種基于最小二乘法的平面度測量系統，用于實現高效而準確的平面度測量，取代人工測量，大大提高了平面度測量的精度和穩定性。

1 算法原理

最小二乘法又稱為最小平方法。 它是一種尋找數據的最佳函數的匹配方法［4］。 它常用于數據分析和回歸分析，可以幫助確定未知數據，并使得這些數據與實際數據之間的誤差的平方和最小化。 它能在確定的數據點集合中，通過擬合一個函數模型，使得該函數與數據點之間的誤差最小化。 首先，可以假設一個函數模型，根據給定的數據點計算該函數模型與實際數據之間的誤差，然后，通過最小化這些誤差的平方和來確定函數模型中的參數。最后，最小二乘法的應用可以擴展到評估平面度誤差。 平面度誤差是指在表面測量中，評估表面平整度的一種方法。 最小二乘法可以用來擬合一個平面，作為評估基準平面，并計算實際表面與該基準平面之間的平面度誤差［5］。最小二乘平面的建立方法為：

設最小二乘平面方程為式（1）所示：

式（1）中，A、B、C為方程系數。 只要確定了A、B、C的值，就確定了平面方程。

設實測工件平面上各點的坐標為Pi（xi，yi，zi）（i ＝1，2，…，k）。 根據最小二乘法原理可知，實測平面上各點的值Pi（xi，yi，zi） 與最小二乘平面上各點的Z向距離平方和為最小。Z向距離平方和方程為式（2）所示：

根據極值原理，要使F的值為最小，則要使F對A、B、C的偏導值為零。 即式（3）所示：

整理矩陣化可得式（4）：

則可解得最小二乘平面方程系數A、B、C為式（5）所示：

進一步整理可得式（6）：

其中，

根據以上求解得到A、B、C的值就建立了最小二乘平面方程，分別求出平面上各測點對最小二乘平面的偏移量ZDi＝Axi＋Byi＋C－zi，判斷找出Di的最大值Dmax和最小值Dmin，則被測平面的平面度誤差為式（8）所示：

2 系統設計實現

2.1 硬件設計

（1）PLC 單元選擇。 此測量系統開發平臺采用倍福可編程邏輯控制器PLC 平臺CX－5130。 CX－5130 是倍福公司推出的一款基于PC 的PLC。 它是一款高性能、高可靠性的嵌入式控制器，用于工業自動化和控制系統。 它采用Intel Atom 雙核處理器和高速內存，提供強大的計算能力，適用于需要處理復雜數據和實時反饋的應用。 它的運算處理器頻率為1.75GHz，主內存為4GB，具有多種接口，包括以太網、USB、串口等，方便與其他設備進行通信和連接。 它還支持多種外部模塊和擴展卡的添加，支持EtherCAT 現場總線。 EtherCAT 是一種高性能的現場總線通信協議，用于實時控制和自動化領域。 它基于以太網技術，通過一個主站和多個從站之間的通信，實現實時傳輸控制數據和實時反饋數據。 EtherCAT 的通信速度非常快，可達到100 Mbps 以上，同時具備很低的通信延遲。 這使得它適用于需要高實時性的工業自動化系統。EtherCAT 的拓撲結構靈活，支持線性、環形、星形以及混合拓撲結構。 這使得布線和擴展系統變得更加簡單，可以根據需要增加或減少從站。 EtherCAT 支持標準以太網硬件和協議，可以與其他以太網設備進行集成。 此外，EtherCAT 還提供了大量的設備配置和通信診斷工具，方便系統的開發和調試［6－7］。

（2）傳感器選擇。 測量傳感器選擇歐姆龍激光位移傳感器。 通過激光反射測量物體位移和距離。 測量范圍為30±2 mm，重復精度高達±2 um。 支持EtherCAT 現場總線。

（3）運動機構設計。 結構配備有高精度的定位夾具和高精度全閉環松下伺服驅動模組，來實現工件的移位與傳感器的移位。 結構采用雙測量頭、單X 軸和雙Y 軸的結構架構，實現一次測量2 個工件的同時還能進行另一工位的上下料，最大限度提高運行效率。

（4）存儲器設計。 考慮到PLC 主內存偏小，設計增加外部擴展存儲器。 采用了金士頓閃存盤／64G 移動U 盤作為存儲媒介，以實現大容量生產數據的記錄。 同時，為了確保數據的安全性和穩定性，倍福PLC 還配備了不間斷電源（uninterruptible power supply， UPS），它能在電網供電異常或斷電時，為PLC 等設備提供一定時間可靠的供電，以保證系統的穩定運行和數據存儲的完整性。

PLC 平臺通過EtherCAT 現場總線控制伺服驅動和激光傳感器。 測量系統結構如圖1 所示。

圖1 測量系統結構圖

2.2 軟件設計

TwinCAT （ The Windows Control and Automation Technology）是倍福公司開發的一款用于工業自動化系統的軟件開發環境。 它基于Windows 操作系統和標準的IEC 61131－3 編程語言，為用戶提供了一個強大而靈活的平臺，用于開發、編程和配置工控系統。 IEC 61131－3 標準的編程語言是國際標準語言，包括梯形圖、指令列表、功能塊圖、結構化文本和順序功能圖等。 用戶可以根據自己的需求選擇合適的編程語言。 該系統采用結構化文本語言來進行系統控制流程的開發。

系統控制流程為：首先，PLC 通過控制X 軸和雙Y 軸伺服驅動將傳感器瞄準工件上的測量位置，并獲取激光傳感器的實時測量值。 然后，根據記錄的測點坐標位置以及激光測量值來計算最小二乘平面系數、測點至最小二乘平面的平面度誤差。 最后，判斷平面度誤差是否在允許范圍內，并輸出OK／NG 結果。 控制流程如圖2 所示。

根據以上流程得到被測工件上10 個均勻分布的采樣點P1～P10 的X、Y、Z位置坐標，通過程序算法計算得到最小二乘平面方程系數A、B、C和被測工件平面度誤差結果。 坐標點位如表1 所示。

表1 測量點坐標

程序計算解得最小二乘平面方程系數A、B、C分別為－0.000 096 428，0.000 533 62，1.861 282 758。 根據求解的最小二乘平面方程系數A、B、C，即可計算出此被測工件的平整度誤差結果為0.111 mm。

3 應用實例

本研究針對某制造廠的金屬框產品進行了相關性的測試。 通過采用10 個均勻分布的采樣點測量方式，分別得到32 件不同的金屬框工件的本系統的測量數據和專用三位測量儀的測量數據。 其相關性測量結果如表2 所示。

表2 相關性結果

數據顯示，此測量系統的重復精度±0.01 mm，其測量結果與專用三維測量儀測量結果基本一致。 測量周期時間1.75 s／pc，解決了人工測量速度慢、誤判率高的問題。

4 結語

本文基于最小二乘法設計的平面度測量系統成功應用。 經過應用證明，系統運行可靠性和生產效率高。 在設計與使用中，本測量系統具有以下特點：

（1）通過最小二乘法的擬合算法，能精確、高效地測定平面的平面度誤差，測量精度達±0.01 mm，有效地提高了平面度測量的精度和穩定性，解決手工速度慢、準確性差等問題。 實現高效的自動化生產。

（2）采用倍福PLC 運動控制器作為平臺，掃描周期快，總線連接控制方便，控制精度高，開發周期短，功能強大，接線少，易于使用和維護。

（3）結構硬件配置遵循簡單化、模塊化的原則，提高了整個系統的可擴展性、可靠性和可維護性。