齒側間隙非線性函數擬合階次的選取研究*

林梅彬

(福州職業技術學院 交通工程學院,福建 福州 350108)

0 引 言

由于齒輪傳動系統具有傳動比穩定、傳遞可靠等優點,因而廣泛應用于機床傳動系統中。雖然齒輪傳動系統具備以上優點,但同時也帶來了振動與噪聲等相關問題,由于系統中包含多種非線性因素,因而其動力學特性十分復雜。

此前很多學者對齒輪系統的動力學特性進行了研究,在這些研究中,以KAHRAMAN A等人[1]建立的單自由度齒輪非線性數學模型至今仍被眾多學者作為基礎研究模型。

田亞平等人[2]以該研究模型為基礎,研究了間隙與頻率耦合作用下的單級齒輪的分岔特性和振動特性。HE S等人[3]建立了多自由度齒輪非線性系統模型,分析了滑動摩擦力對系統動態特性的影響。劉榮菊等人[4]建立了6自由度的齒輪非線性系統模型,研究了該系統的分岔特性和動態響應。杜文輝[5]在分析得到單自由度齒輪非線性系統存在多重解的基礎上,建立了多自由度含間隙的齒輪彎扭耦合振動動力學模型,重點研究了其分岔類型。章菊等人[6]在基于Hertz接觸理論和分形理論的基礎上,建立了減速器齒輪副非線性系統動力學模型,研究了系統出現混沌運動的條件。宋強等人[7]建立了兩檔變速器的斜齒輪副動力學模型,分析了其相圖與分岔圖特性。董長斌[8]建立了橢圓齒輪副非線性系統模型,揭示了結構參數變化對橢圓齒輪系統通過混沌道路的影響規律。張顥秦等人[9]研究了齒面摩擦對多自由度齒輪系統幅頻特性的影響。

綜上所述,齒輪非線性系統數學模型研究較多。在這些研究中,為求解方便,研究學者通常會對非線性因素函數進行擬合處理[10-13]。例如,一般采用傅里葉級數展開式對齒輪的時變嚙合剛度進行擬合,級數越大,擬合效果越好,但在求解中往往采用一階傅里葉級數展開式進行計算[14-16],這樣處理有利于模型的快速求解。針對時變嚙合剛度擬合階次的選取問題,萬志國等人[17]研究了不同傅里葉階次擬合的時變嚙合剛度對直齒輪系統動態特性的影響,為時變嚙合剛度擬合階次的選取提供了理論基礎。PARK C L[18]研究了不同軸承的時變嚙合剛度,并進行了一階展開,對比分析了齒輪在不同齒側間隙初始條件下的動態嚙合力的情況。

為避免模型因為包含多種間隙非線性函數而導致系統求解困難的問題,在求解包含多種間隙條件下的齒輪非線性系統時,研究學者通常會對間隙非線性函數進行階次擬合;但在這些研究中,沒有文獻研究間隙非線性擬合函數對系統動態響應的影響,特別是多種非線性因素疊加的強非線性系統,其采用擬合處理方法雖然能大大降低模型求解時間,避免求解程序進入死循環,但沒有文獻研究間隙非線性擬合函數對動態特性的影響。

因此,為建立更合理的齒輪系統模型,有必要研究間隙非線性擬合函數對系統動態特性的影響,使模型更接近真實系統。

筆者將斜齒輪系統作為研究對象,建立考慮齒側間隙的齒輪非線性系統模型,仿真分析不同齒側間隙擬合階次對齒輪系統動態響應的影響,并通過實驗獲得齒輪系統振動響應,根據仿真和實驗結果探究嚙合階次的選取問題。

1 齒輪副數學模型

斜齒輪非線性系統動力學模型如圖1所示。

圖1 斜齒輪非線性系統動力學模型

筆者采用集中質量法[19-20],用x、y、z三向的阻尼和剛度來模擬軸承接觸,其數學模型的表達式如下所示:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

式中:xi,yi,zi為齒輪中心沿徑向x,徑向y,軸向z方向的位移,i=1,2;θiy,θiz為扭轉與軸擺的角位移,i=1,2;Ri為基圓半徑,i=1,2;mi為齒輪質量,i=1,2;Ii為轉動慣量,i=1,2;cij為軸承支撐阻尼,i=1,2;j=x,y,z;kij為軸承支撐剛度,i=1,2;j=x,y,z;ciθy為齒輪扭擺阻尼,i=1,2;kiθy為齒輪扭擺剛度,i=1,2;T1為驅動扭矩;T2為負載轉矩。

Fx,Fy,Fz分別表示x,y,z方向的動態嚙合力,其數學表達式定義為:

(11)

(12)

(13)

式中:kmx,kmy,kmz為嚙合剛度沿x、y、z方向的剛度分量。

x3,y3,z3的數學表達式定義為:

x3=x1-x2-(y1+θ1zR1+y2-θ2zR2)tanαt-ex

(14)

y3=y1-y2+θ1zR1+θ2zR2-ey

(15)

z3=z1-z2-(y1+θ1zR1-y2+θ2zR2)tanβ-ez

(16)

式中:ex,ey,ez為傳遞誤差沿x、y、z方向的誤差分量。

取無量綱時間τ=t·ωn,得到無量綱化方程:

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

其中:

齒側間隙非線性函數經過無量綱處理后的表達式如下:

(27)

筆者對間隙非線性函數采用線性擬合的方法進行處理,其線性擬合函數表達式為:y=∑p(i)xi(i=0,1,2…n),其中,p(i)為擬合系數,n為擬合階次。

不同階次擬合的間隙非線性函數如圖2所示。

圖2 不同階次的間隙非線性函數

圖2中,間隙非線性函數擬合階次選取既要滿足[-1,1]之間的函數值與原函數值誤差較小,也要保證函數值在左右兩邊與原函數接近。

筆者選取間隙非線性擬合階次分別為4階和8階,首先是因為當間隙非線性函數取低階(階次小于4)和高階(階次等于9)時,在p<-3與p>3之間的函數值較原函數值誤差較大。其次,從全域來看,8階擬合效果遠比階次5～7階擬合效果好。

2 系統動態特性

筆者采用Runge-Kutta數值積分法,對齒輪系統無量綱模型進行求解,求解的齒輪系統模型參數如表1所示。

表1 齒輪系統參數

2.1 幅頻響應曲線(x向)

在不考慮傳遞誤差的情況下,筆者取時變嚙合剛度為一階傅里葉級數展開式。

齒輪系統x方向的幅值和頻率比響應曲線如圖3所示。

圖3 齒輪系統x方向的幅值-頻率比響應曲線

由圖3可得,齒輪系統的固有頻率比在0.17附近,8階擬合與無擬合的非線性函數的固有頻率比基本一致,4階擬合非線性所引起的固有頻率比值略小,在ω/ωn=0.86,0.11附近出現諧波共振,其頻率比大小與時變嚙合剛度有關。在固有頻率比附近,4階擬合非線性函數導致的幅值變化很大,與8階次擬合非線性函數所引起的共振幅值差別很大。

2.2 擬合階次的影響(x向)

筆者接下來對齒輪系統進行仿真分析。

齒輪系統x方向的時域和頻域圖如圖4所示。

圖4 齒輪系統x方向的時域和頻域圖

圖4(a)中,在頻率比較低時,齒輪嚙合時間充分,其波形圖基本一致。在穩態響應時間內,齒輪處于正常的常嚙合狀態,系統完全處在第Ⅰ級剛度范圍。非線性函數擬合階次的不同并沒有改變齒輪的嚙合動態過程,8階擬合非線性函數動態響應曲線(后續簡稱8階擬合響應曲線)與無擬合狀態下的動態響應函數曲線的波形基本相同,而4階擬合非線性函數的動態響應曲線(后續簡稱4階擬合響應曲線)相比之較低,其主要嚙合無量綱頻率處于齒輪嚙合基頻(f=0.009 1)以及嚙合基頻的整數倍。

圖4(b)～圖4(d)中,8階擬合非線性函數的動態響應曲線與無擬合狀態下的動態響應函數曲線的波形基本相同,4階擬合非線性函數的動態相應曲線與另外兩條響應曲線差距較大;但是由于頻率比的增大,4階間隙非線性函數值在無擬合間隙函數p=1附近的誤差較大,其作用于系統具體表現為:當頻率增加時,將提前改變齒面接觸狀態,提前將系統進入到單邊沖擊的狀態,且其所引起的共振振幅接近1倍于無擬合和8階擬合的共振振幅。由圖4(a)～圖4(d)的頻域圖可得:不同階次下的嚙合頻率差距不大。

以上結果表明:在齒輪系統x向的動態響應方面,8階擬合響應曲線與4階嚙合響應曲線響應重合度不高。8階擬合響應曲線與無擬合響應曲線重合度基本一致。4階擬合的間隙非線性函數在頻率比增大的情況下,會提前改變齒面接觸狀態,且共振振幅增大1倍。間隙非線性擬合函數對嚙合頻率的影響很小。

2.3 幅頻響應曲線(y向)

齒輪系統y方向的幅值和頻率比響應曲線如圖5所示。

圖5 齒輪系統y方向的幅值-頻率比響應曲線

由圖5可得:齒輪系統的固有頻率比在0.17附近;在固有頻率比附近,4階擬合非線性函數導致的幅值變化很大,與8階次擬合非線性函數所引起的共振幅值差別很大。

2.4 擬合階次的影響(y向)

隨著頻率比的增大,齒輪系統y1向波形圖如圖6所示。

圖6 齒輪系統y方向的時域和頻域圖

由圖6可得:4階擬合響應曲線在頻率比較低的情況下的響應波形基本重合,在頻率比增大的情況下,波形曲線變化接近一致,但振動更劇烈,其齒輪嚙合狀態在固有頻率前始終處于第Ⅱ級剛度范圍。無論頻率比為多大,4階擬合響應曲線嚙合基頻處的能量都大于另外兩條響應曲線嚙合基頻處的能量,4階擬合響應將提前進入共振狀態,此時齒輪進入單邊沖擊狀態,占主導的嚙合頻率為嚙合基頻(f=0.027 3),基頻處的幅值很大。

以上結果表明:在齒輪系統y向的動態響應方面,與8階擬合動態響應曲線相比,4階擬合動態響應曲線x向重合度較高,同樣存在提前進入單邊沖擊的嚙合狀態現象,且嚙合基頻處在全局時刻的能量始終更大。

由齒輪系統在x、y向的動態響應可得到:4階擬合動態響應振動在接近固有頻率比附近更為劇烈,振幅分別增大1倍和1/3倍。這很大程度上是因為在振動量增大時,4階擬合動態響應曲線的斜率比8階擬合動態響應曲線的斜率要大。隨著頻率比的增大,振動量增大。

2.5 幅頻響應曲線(z向)

系統響應z方向的幅值和頻率比響應曲線如圖7所示。

圖7 齒輪系統z方向的幅值-頻率比響應曲線

由圖7可得:不同階次擬合幅值響應曲線差別很大。無擬合狀態與8階擬合的幅值響應曲線在低頻率比的情況下,其幅值基本為0。4階擬合幅值響應曲線與8階擬合幅值響應曲線出現共振的頻率基本接近。

對于彎-扭-軸-擺耦合的齒輪非線性系統模型,往往需要考慮齒輪的軸向振動,但無擬合狀態下的幅值響應曲線為0,不符合實際情況,在需要關注齒輪軸向振動且包含多種間隙非線性的場合下,若對齒側間隙做無擬合處理,一方面會造成計算困難,另一方面會造成其與實際系統差距較大。

2.6 擬合階次的有影響(z向)

齒輪系統z1方向的動態響應圖如圖8所示。

圖8 齒輪系統z方向的時域和頻域圖

由圖8可得:不同處理方式下的齒輪系統z方向動態響應差別很大。齒輪系統的嚙合方向為y向,z向并不是運動的主方向,齒輪系統在z方向的運動方式多表現為自由振動。

由于z向所引起的動態響應差別很大,在分析時,應選取接近實際齒輪系統z向動態響應的嚙合階次進行分析處理。

3 實驗及結果分析

從理論分析可知,間隙非線性函數在不同處理方式下對齒輪系統z方向的影響最大。因此,筆者采用了與理論參數一致的斜齒輪副進行實驗研究。

為方便檢測,筆者采用百分表對實驗中的齒側間隙進行簡易測量。這里假設齒輪振動對x、y、z三向到軸承座的衰減一致。

實驗中布置的加速度傳感器如圖9所示。

圖9 傳感器布置圖

實驗所選的傳感器型號為IEPE(CCLD)電壓加速度傳感器,頻率范圍為0.1 Hz～8 000 Hz;采集系統為丹麥B&K公司的PULSE振動噪聲測試系統。

測點1～6振動加速度均方根值如圖10所示。

圖10 測點1～6振動加速度度均方根值測量

由圖10可得:1～6測點隨著轉速增大振動加速度呈上升趨勢,且齒輪系統z方向振動加速度最小(測點2、5),這與理論分析是吻合的。隨著轉速的增加,齒輪系統z向振動加速度將顯著低于x和y向,但由于z向振動隨著轉速的增加也增大,因而對于高速運轉的齒輪系統,齒輪系統的z向振動將不可忽視。

z向無量綱加速度均方根值如圖11所示。

圖11 無量綱加速度度均方根值z

仿真得到齒輪系統z1、z2的值基本一致,實驗中的測點2、5分別為被動齒輪z向和主動齒輪z向的振動加速度,實際測量的z向振動加速度也十分接近。從仿真圖可知,在轉速更高時,由于4階擬合處理一定程度上彌補了其他非線性因素的影響,因而出現了更高的振動,但在低轉速下數值偏小。

為了更好地預測實際齒輪系統的振動情況,筆者將圖11各曲線進行1次線性擬合,得到各階擬合曲線的1次線性擬合對比圖,如圖12所示。

圖12 實驗與仿真對比圖

從圖12可知:由于齒輪系統各種復雜非線性因素的影響,實際齒輪振動將比仿真模型振動更為劇烈。

顯然,對齒側間隙做無擬合處理很難彌補其他非線性因素對齒輪系統動態特性的影響;采取8階嚙合非線性處理不僅可以降低模型的計算時間,也使其更接近于實際的齒輪系統。

4 結束語

針對齒側間隙非線性函數擬合階次的選取問題,筆者以斜齒輪傳動系統為例,對齒輪系統進行了理論建模、仿真分析,并對實際齒輪系統進行了實驗研究。

首先,筆者建立了考慮軸向振動的齒輪非線性系統模型;然后,采用了Runge-Kutta數值積分法對模型進行了仿真分析;最后,對齒輪系統進行了動態測試,并根據仿真和實驗結果進行了分析。

研究結果表明:

1)理論分析表明,針對考慮軸向振動的齒輪非線性系統模型,若對其齒側間隙做無擬合處理,一方面會造成計算困難,另一方面可能與實際系統差距較大。對擬合階次的選取以軸向振動作為首要考慮的依據;

2)4階擬合函數會提前改變齒面接觸狀態,且在x和y向的振幅分別增大1倍和1/3倍。根據仿真和實驗結果,在固有頻率附近,對齒側間隙進行4階擬合處理能夠最大程度彌補其他非線性因素帶來的影響。在其他頻率范圍,對齒側間隙進行8階擬合處理會更接近真實齒輪系統;

3)建立了斜齒輪副非線性系統模型,對齒側間隙進行了不同的處理,對比分析了不同處理方式對齒輪系統動態響應的影響,為間隙非線性函數的優化設置提供理論依據。

齒輪非線性系統具有多種復雜的非線性因素,這些非線性因素對齒輪系統動態特性有很大影響;因此,在后續工作中,筆者將對多種非線性因素擬合方法及其選取問題做進一步研究。