基于改進群稀疏正則化的稀疏角度圖像重建

魏志晴,鄭文康,白艷萍,譚秀輝,程 蓉,胡紅萍,王 鵬

(中北大學 數學學院,山西 太原 030051)

0 引 言

傳統計算機斷層成像算法可分為解析法和迭代法。解析法由于投影數據等角度間隔缺失,重建圖像中會引入條紋狀偽影[1],且圖像細節嚴重模糊,重建圖像的噪聲較大,無法應用于實際診斷。迭代法可以將先驗信息融合到重建圖像過程當中,具有較好的重建效果。斷層成像中應用最廣泛的迭代算法是代數重建技術(Algebraic Reconstruction Technique,ART)、聯合代數重建技術(Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique,SART)和期望最大化(Expectation Maximization,EM)。稀疏角度背景下,一般選取迭代重建法進行圖像重建。近年來隨著壓縮感知理論的提出,基于稀疏先驗的正則化方法得到廣泛關注,目前已經成為主流[2]。其核心思想是利用重建圖像的稀疏先驗信息來提高CT圖像重建質量,在解決稀疏角度問題中獲得了較好的效果。主要包括基于局部平滑的方法、基于字典的正則化方法和基于非局部相似的方法。

基于局部平滑的方法,主要是利用全變分(Total Variation,TV)模型對圖像進行局部平滑。Candes等人[3]最先提出了TV正則化模型,此模型在圖像處理等領域可以有效抑制噪聲并保留圖像的邊緣、紋理等。Sidky等人[4]在Candes等人的研究成果上,設計了基于約束TV最小化的CT圖像重建模型,在稀疏角度采樣背景下獲得了較好的重建效果。但是TV正則化方法對于具有更多圖像紋理細節和復雜邊緣結構的圖像,會使得重建的圖像過度平滑,導致部分細節丟失。

基于字典的正則化方法,如離散余弦變換等,其單一基函數無法滿足圖像信號的自適應稀疏表示,因此在此基礎上出現了許多改進方法。Chen等人[2]提出了一種基于TV與字典學習方法的磁共振成像算法,在保持精細結構方面具有比較好的效果,進一步提高了重建圖像質量。Fan[5]提出了基于雙字典的稀疏角度MRI圖像重建方法,不僅提升了圖像質量,而且收斂速度更快。但字典正則項的選取對重建圖像的質量起到決定性作用,若選取不當,易造成某些特征被過度懲罰,不能保留微小的特征,使圖像細節模糊。

基于非局部相似方法主要是挖掘圖像在紋理等結構信息具有重復性的特性。Buades等人[6]提出了著名的非局部均值(Nonlocal Mean,NLM)濾波算法。Huang[7]將NLM算法應用在CT圖像ART算法的重建上,得到了較好的效果。崔樹輝[8]將BM3D (Block Matching and 3D collaborative filtering)加入到ART算法中,在稀疏角度情況下依舊取得了較高分辨率。Zhang[9]提出了群稀疏表示正則化(Group-Sparse Regularization,GSR)算法,具有良好的捕捉圖像奇異性的優良特性,且單幅圖像中的稀疏性和非局部相似性是同時存在的,可以很好地達到對稀疏角度下SART重建圖像去除偽影的目的。

為了在平滑圖像的同時保留不同層次的結構,Zhang等人[10]提出一種用于保持邊緣的濾波器,即滾動引導濾波(Rolling Guidance Filter,RGF)。裴佩佩等人[11]將RGF與卷積稀疏表示相結合,應用在圖像處理中,克服了邊緣模糊,保留了對比度和邊緣紋理信息。

受上述研究的啟發,該文提出了一種稀疏角度下基于滾動引導濾波和群稀疏表示正則化的SART重建算法,稱為SART-GSR-RGF。該算法首先對稀疏角度采樣下的圖像進行FBP重建,作為SART算法的初始圖像;然后采用SART算法進行重建,再經過群稀疏正則化處理;最后采用滾動引導濾波提升圖像的對比度,將所得圖像再次作為SART重建算法的輸入,繼續迭代重建,直到得到分辨率較高的圖像。這樣既利用了GSR的保護邊緣和平滑圖像的特點,又利用了RGF保留不同層次結構同時傳遞圖像特征的特點。經過實驗驗證,所提算法對于圖像分辨率的提升具有很大作用。

1 理論依據

1.1 FBP重建和SART重建

FBP(Filtered Back-Projection)重建算法的依據是中心切片定理[12]。即空域進行投影得到的一維傅里葉變換,是空域進行二維傅里葉變換的一個切片。通過取遍所有投影值,再進行傅里葉反變換得到空間域分布的圖像,就可以得到二維函數。FBP公式表示如下[13]：

(1)

上述公式表明,重建圖像f(x,y)在某一位置的值,是通過該點的所有濾波投影采樣的疊加。流程可以簡化為圖1。

圖1 FBP重建示意圖

SART算法[14]是CT圖像重建中的一類迭代重建算法,在ART和SIRT算法的基礎上,進行一次更新只用到了一個投影采樣角度下的投影數據,也即該投影角度下所對應的系統方程。在修正某個像素值之前,需要計算一下經過像素的所有射線的誤差,以對像素進行修正,并進行加權和歸一化處理,再把上述的結果更新到該像素上去。重復此過程,直至滿足收斂條件。算法公式為：

(2)

圖2 SART算法示意圖

其中灰色區域部分即為SART、SIRT和ART算法步驟中變化的部分。就圖像重建處理時間而言,解析法比迭代算法具有更好的性能。就降噪和有限數據而言,迭代法優于解析法,因此該文先用FBP對平行透射數據進行成像,之后作為SART迭代重建圖像的初值。

1.2 基于群的SR建模

圖像處理的稀疏表示(Sparse Representations,SR)就是將圖像信號變換到另一個變換域中,絕大部分變換系數的絕對值很小,所得到的變換向量是稀疏的或者近似稀疏的,可以將其作為圖像的簡潔表達。SR模型可以表示為：

(3)

其中,x表示觀測到的信號向量,D是字典,α表示信號的系數,λ是正則化參數,‖·‖0表示l0范數。SR的目標是為訓練好的D尋找一個稀疏向量α來表示x。為了更好地用α表示x,必須選擇一個有效的字典D。已經提出了一些近似算法來交替優化D和α,如MOD,k-SVD和在線學習。

1.3 滾動引導濾波

滾動引導濾波器具有尺度感知和邊緣恢復的優良特性[15],能夠保留圖像邊緣,有效避免模糊現象。RGF首先對物體的尺度進行了篩選,小尺度圖像信息主要指的是細節、紋理、小物體和一些噪聲。大尺度圖像信息主要指的是邊界、顏色過渡和變化不明顯的區域。小尺度的邊緣被平滑掉,僅僅保留了大尺度物體的邊緣。大多數邊緣保持濾波器沒有考慮到在濾波器設計中融入尺度,不能很好地實現小結構與大結構之間的分離。因此,RGF對于雙邊濾波和非線性擴散濾波具有很大優勢,可以用來解決偽影噪聲問題。

2 SART-GSR-RGF算法

受群稀疏正則化圖像重建[16]研究的啟發,該文提出一種基于群稀疏性正則化與滾動引導濾波算法相結合的SART-GSR-RGF重建方法。

圖3 相似群構造示意圖

GSR算法對每個相似群fGk尋找合適的稀疏字典DG,在確定稀疏字典后,

(4)

其中,αG稱為結構GSR,在GSR算法中把αG作為正則項,則求解GSR的無約束優化模型為：

(5)

此正則化模型利用文獻[9]來求解。

最后,利用具有尺度感知和邊緣恢復的優良特性的RGF進行處理,先要進行小結構去除。

當用小尺度的高斯濾波去除小結構的邊緣時,會使得圖像邊緣被嚴重模糊。相反,當經過相同方式用同樣尺度的高斯濾波去除大結構的邊緣時,只是達到了模糊的效果,仍能復原出為視覺所能接受的圖像。利用加權平均的形式來表示高斯濾波器算子,可得到：

(6)

其次進行邊緣恢復。在雙邊濾波器基礎上將Ft作為引導圖像,迭代過程如式7所示：

(7)

算法1：SART-GSR-RGF

重復

SART重建：

forp=1,2,…,P

ifp=1

up=SART(u0,ω)

else

up=SART(up-1,ω)

end if

end for

ifup<0

up=0,u=up

GSR正則化：

fort=0,1,…,T

updateft+1,et+1=ft+1-bt

for eachfGk

end for

end for

u0=RGF(DG*αG)

滿足條件時停止

3 實驗結果

本節將對提出算法的重建性能進行驗證,測試平臺如下：64位Intel Core i7-10700處理器,主機頻率2.90 GHz,8G運行內存的Windows10操作系統,數學軟件為Matlab R2021a。實驗所用模型為Shepp-Logan。在比較不同算法的重建性能之前,首先利用所提算法進行消融實驗,即對SART算法、SART-GSR算法SART-RGF算法以及所提算法進行對比分析。同時驗證了在不同稀疏角度下各算法的性能,觀察重建效果。圖4和圖5展示了在256個換能器背景下32角度和64角度時不同算法的重建效果;圖6和圖7展示了在512換能器背景下32角度和64角度時不同算法的重建效果,相對應地也展示了同一放大部分的重建結果。

圖4 256換能器32角度下圖像重建效果比較

圖5 256換能器64角度下圖像重建效果比較

圖6 512換能器32角度下圖像重建效果比較

圖7 512換能器64角度下圖像重建效果比較

通過圖4至圖7可以看出,所提算法具有較好的重建效果,但僅通過視覺效果進行評估算法的重建效果時,評估結果具有一定的主觀性。為了更客觀地評價所提算法的有效性,使用具體的評價指標進行評價。選擇PSNR[17],MSE以及FSIM進行客觀評價,其中圖8、圖10和圖12展示了256換能器設置下32/64稀疏角度的20次迭代過程中的PSNR值、MSE值和FSIM值的比較結果及趨勢;圖9、圖11和圖13展示了512換能器設置下32/64稀疏角度的20次迭代過程中的PSNR值、MSE值和FSIM值的比較結果及趨勢。

圖8 256換能器圖像重建效果PSNR比較

圖9 512換能器圖像重建效果PSNR比較

圖10 256換能器圖像重建效果MSE比較

圖11 512換能器圖像重建效果MSE比較

圖12 256換能器圖像重建效果FSIM比較

圖13 512換能器圖像重建效果FSIM比較

根據圖8至圖13可以很清晰地看到,所提算法SART-GSR-RGF具有最高的PSNR值和FSIM值,以及最低的MSE值。其中PSNR值越大,意味著圖像重建后的保真效果越好,圖像越清晰;FSIM值越高,意味著當前所測試的圖像越接近參考圖像;MSE值越小,意味著與原始重建圖像相差越低,具有較好的重建性能。并且從圖中可以看到,所提算法在迭代開始前期就已經達到了比較好的性能,說明所提算法具有很好的收斂性能,即算法收斂速度快。

為比較各類方法的優劣性,驗證所提算法的有效性,表1給出了SART算法、TV-POCS算法、SART-NLM算法以及SART-GSR-RGF算法的PSNR,RMSE以及FSIM的數據。結果表明,所提算法在重建結果上均優于其他4個對比算法。

表1 不同算法重建性能比較

4 結束語

該文提出了一種稀疏角度下基于滾動引導濾波和群稀疏表示正則化的SART重建算法,稱為SART-GSR-RGF。由于群稀疏正則化在去掉偽影的同時,可能將邊緣或細節過度平滑,使得對比度降低,無法獲得符合人類視覺效果的高分辨率圖像,因此利用滾動引導濾波進行一定的對比度提升,再次作為SART的輸入進行迭代。經過算法的分析以及實驗的驗證表明,所提算法具有良好的重建效果。接下來,將對此算法進行進一步研究,以期獲得三維頭骨模型的較高質量的重建。