基于時(shí)間序列ARMA模型的拱橋施工變形預(yù)測(cè)

張 杰 李慶齡

（1.西華大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院，四川 成都 610039；2.巴中利偉建設(shè)工程有限公司成都分公司，四川 成都 610095）

0 引言

鋼管混凝土系桿拱橋具有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)體系，在施工過(guò)程中往往存在多種偏差和誤差。隨著橋梁施工進(jìn)程的推進(jìn)，這些偏差和誤差會(huì)導(dǎo)致主拱肋標(biāo)高偏離設(shè)計(jì)目標(biāo)，影響橋梁的內(nèi)力和線(xiàn)形，甚至造成合攏困難。因此，在鋼管混凝土系桿拱橋施工過(guò)程中，針對(duì)隨時(shí)間變化的施工數(shù)據(jù)進(jìn)行變形分析和預(yù)測(cè)，并對(duì)過(guò)大變形及時(shí)采取有效的控制措施，才能確保結(jié)構(gòu)的實(shí)際變形符合預(yù)期目標(biāo)[1]。

時(shí)間序列分析是一種重要的數(shù)學(xué)方法，用于處理相互關(guān)聯(lián)的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)集合，它可以對(duì)隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。時(shí)間序列數(shù)據(jù)具有獨(dú)特的特點(diǎn)，即它們隨時(shí)間的推移而變化，并能夠反映過(guò)去所有的因果關(guān)系[2]。因此，時(shí)間序列分析能夠揭示數(shù)據(jù)隨時(shí)間變化的規(guī)律，幫助建立可預(yù)測(cè)性模型，以指導(dǎo)決策和規(guī)劃。與傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分析方法不同，時(shí)間序列分析更注重時(shí)間的因素，將時(shí)間作為自變量，從而代替復(fù)雜的影響因素和數(shù)據(jù)缺失等問(wèn)題[3]。

在工程結(jié)構(gòu)監(jiān)測(cè)領(lǐng)域，時(shí)間序列分析的應(yīng)用較少，這是由于工程結(jié)構(gòu)本身的特點(diǎn)和監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的不確定性等因素所致。然而，在房屋結(jié)構(gòu)和隧道變形監(jiān)測(cè)中，時(shí)間序列分析已經(jīng)被廣泛應(yīng)用，并且在處理監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)方面具有顯著的優(yōu)越性[4]。時(shí)間序列分析可以有效地處理監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，用于橋梁施工監(jiān)測(cè)過(guò)程中的變形分析，并且具有很好的應(yīng)用前景。然而目前國(guó)內(nèi)在橋梁施工監(jiān)測(cè)過(guò)程中使用時(shí)間序列分析的研究仍然相對(duì)較少[5]。基于此，本文利用時(shí)間序列ARMA 模型對(duì)某特大橋主橋施工監(jiān)控過(guò)程中主拱肋控制點(diǎn)變形數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，以促進(jìn)該分析方法在橋梁施工監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用。

1 工程概況與施工變形監(jiān)測(cè)

1.1 工程概況

依托工程為一座飛燕式鋼管混凝土系桿拱橋。橋梁跨徑布置為（30m+120m+30m），橋梁總長(zhǎng)180m，橋?qū)?1.3m，設(shè)計(jì)汽車(chē)荷載為-A 級(jí)。該大橋的纜索吊裝布置如圖1所示。

圖1 某特大橋纜索吊裝布置圖

1.2 施工變形監(jiān)測(cè)

編制該大橋主橋施工監(jiān)控方案并采用全站儀及專(zhuān)用棱鏡對(duì)拱肋進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)。主拱肋變形測(cè)點(diǎn)根據(jù)拱肋分段情況和結(jié)構(gòu)變形情況進(jìn)行布置，每個(gè)拱肋分段布設(shè)一個(gè)監(jiān)測(cè)斷面。為避免梁段焊接影響，監(jiān)測(cè)斷面布置在距離梁段邊緣0.5m 處，共布置7個(gè)斷面；每個(gè)斷面各布置4 個(gè)測(cè)點(diǎn)，位于鋼管拱肋頂端，全橋共布置28個(gè)測(cè)點(diǎn)。

2 建立時(shí)間序列模型的基本思想

時(shí)間序列分析的核心理念是同一變量在不同時(shí)間點(diǎn)上的觀測(cè)值之間存在一定的關(guān)聯(lián)性。這種關(guān)聯(lián)性意味著過(guò)去的觀測(cè)值可以用來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的觀測(cè)值，雖然在新的時(shí)刻仍然可能出現(xiàn)不可預(yù)測(cè)的情況。因此，可以通過(guò)建立一個(gè)描述時(shí)間序列的模型，來(lái)研究和預(yù)測(cè)這個(gè)序列在未來(lái)的變化趨勢(shì)。具體地說(shuō)，若記Xt（t=…,-2,-1,0,1,2,…）是一個(gè)無(wú)限時(shí)間序列，那么時(shí)間序列模型就是一個(gè)用來(lái)描述這個(gè)序列的數(shù)學(xué)模型，如公式（1）所示。

3 時(shí)間序列ARMA模型的建立及預(yù)測(cè)分析

3.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)是時(shí)間序列建模的必要前提之一，因?yàn)闀r(shí)間序列的平穩(wěn)性對(duì)建模至關(guān)重要。確保時(shí)間序列的平穩(wěn)性是為了確保模型的可靠性和準(zhǔn)確性。下文對(duì)最上游拱肋跨中4號(hào)斷面測(cè)點(diǎn)（簡(jiǎn)稱(chēng)D4測(cè)點(diǎn)）施工階段CS7-CS29 的變形數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。使用Eviews軟件計(jì)算序列r的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)，相關(guān)系數(shù)和趨勢(shì)見(jiàn)圖2所示。

圖2 序列r的自相關(guān)圖與偏相關(guān)圖

在本例中，只關(guān)注自相關(guān)函數(shù)，而Eviews提供了自相關(guān)函數(shù)(AC）和偏自相關(guān)函數(shù)(PAC)。使用自相關(guān)函數(shù)圖可以判斷序列的穩(wěn)定性：如果自相關(guān)系數(shù)快速趨近于0 并落入隨機(jī)區(qū)間，則時(shí)間序列是平穩(wěn)的；反之，如果趨勢(shì)緩慢或不斷遞增，且在第8 期后數(shù)據(jù)符號(hào)改變，則表明序列r存在趨勢(shì)性，是非平穩(wěn)的。

經(jīng)過(guò)對(duì)序列r進(jìn)行ADF 單位根檢驗(yàn)，得到的p 值為0.9919，大于顯著性水平0.05。根據(jù)顯著性檢驗(yàn)結(jié)果，可以得出結(jié)論：序列r是非平穩(wěn)的。這意味著在時(shí)間序列建模中，如果直接使用序列r 進(jìn)行回歸分析，可能會(huì)遇到虛假回歸問(wèn)題。為了避免這個(gè)問(wèn)題，需要對(duì)序列r進(jìn)行處理，使其變?yōu)槠椒€(wěn)序列。常用的方法是進(jìn)行差分操作，通過(guò)計(jì)算相鄰觀測(cè)值之間的差異來(lái)獲得差分序列dr。差分序列dr消除了序列中的趨勢(shì)和季節(jié)性等非平穩(wěn)因素，使得序列變得平穩(wěn)。利用差分序列dr 進(jìn)行進(jìn)一步的時(shí)間序列建模分析，可以得到更可靠的結(jié)果，并避免虛假回歸問(wèn)題的影響。因此，在本例中，將對(duì)原始序列r 進(jìn)行一階差分操作，生成差分序列dr，然后利用差分序列dr 進(jìn)行時(shí)間序列建模分析，以獲得更準(zhǔn)確和可靠的結(jié)果。觀察序列dr的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)，相關(guān)系數(shù)和趨勢(shì)見(jiàn)圖3所示。

圖3 序列dr的偏自相關(guān)系數(shù)

根據(jù)觀察，從圖3 中可以發(fā)現(xiàn)差分序列dr 的自相關(guān)圖和偏相關(guān)圖都呈現(xiàn)明顯的截尾現(xiàn)象，這表明差分序列dr 滿(mǎn)足平穩(wěn)性的條件。為了進(jìn)一步驗(yàn)證這一點(diǎn)，對(duì)差分序列dr 進(jìn)行ADF 檢驗(yàn)。根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果的t 統(tǒng)計(jì)量，其實(shí)際p 值為0.0000，小于設(shè)定的顯著水平0.05。因此，經(jīng)過(guò)顯著性檢驗(yàn)，可以得出結(jié)論，序列dr 不存在單位根，表明該序列已經(jīng)處于平穩(wěn)狀態(tài)。

3.2 模式識(shí)別

根據(jù)樣本的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的截尾性質(zhì)，可以初步判斷序列為自回歸滑動(dòng)平均模型（ARMA）中的ARMA(1,2)模型。同時(shí)，需要考慮臨近的幾個(gè)模型，包括自回歸模型AR(1)和AR(2)，滑動(dòng)平均模型MA(1)和MA(2)，以及ARMA 混合模型ARMA(1,1)、ARMA(1,3)、ARMA(2,1)和ARMA(2,2)。

3.3 參數(shù)估計(jì)

本文中使用常用的最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，得出了各個(gè)模型的參數(shù)估計(jì)值，見(jiàn)表1所示。

表1 模型的參數(shù)估計(jì)值

3.4 模型定階

各階模型AIC 和BIC 準(zhǔn)則值，見(jiàn)表2。從表2 中可以看出：AIC 值較小的有ARMA(1,2)，ARMA(1,3)，ARMA(2,2)和MA(2)模型，SIC 值較小的也是ARMA(1,2)，ARMA(1,3)，ARMA(2,2)和MA(2)模型。根據(jù)HQ 準(zhǔn)則，ARMA(1,2)、ARMA(1,3)、ARMA(2,2)和MA(2)模型具有較小的HQ 值，因此被認(rèn)為是較為合適的模型。使用Eviews計(jì)算這些模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量結(jié)果見(jiàn)表3。

表2 序列dr的各階模型定階準(zhǔn)則值

表3 各模型檢驗(yàn)量

模型的優(yōu)選主要依賴(lài)于以下幾個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的對(duì)比：決定系數(shù)R2，其數(shù)值范圍為0 至1，越接近1 則代表模型擬合的效果越佳。再者，赤池信息準(zhǔn)則(AIC)，其數(shù)值越小，表明模型的精度越高。另一項(xiàng)是施瓦茲貝葉斯信息準(zhǔn)則(SIC)，其數(shù)值越小則表明模型更為精確。最后，Durbin-Watson 統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)數(shù)值在1.8 到2.1 之間時(shí)，表示殘差序列呈現(xiàn)出正態(tài)分布且無(wú)相關(guān)性。

通過(guò)表3的比較可得：ARMA(2,2)模型雖然其AIC、SIC 信息量較小，但Prob 值≥0.05，即模型不顯著，不能拒絕原假設(shè)，因此不適用于本研究。ARMA(1,2)模型的擬合優(yōu)度R2最高，同時(shí)其AIC、SC 值也最小。綜合考慮，選擇采用ARMA(1,2)模型。

3.5 殘差檢驗(yàn)

3.5.1 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

對(duì)于ARMA(1,2)模型，自回歸部分特征根為：λ=[1]，絕對(duì)值|λ|=[1]；滑動(dòng)平均部分特征根為：v=[0.83-0.42i,0.83+0.42i]，絕對(duì)值 |v|=[0.9405,0.9405]；即 |λi|≤1,|vi|≤1(i= 1,2)，滿(mǎn)足平穩(wěn)可逆條件，因此，模型是平穩(wěn)可逆的。

3.5.2 正態(tài)性檢驗(yàn)

對(duì)于ARMA(1,2)模型，將估計(jì)的參數(shù)代入計(jì)算，從t=p+1=2開(kāi)始計(jì)算殘差序列at，同時(shí)將未知的a值和x值設(shè)為零，通過(guò)遞推方法求得模型的殘差。然后，使用Eviews 對(duì)殘差進(jìn)行LM 檢驗(yàn)，得到的LM 檢驗(yàn)結(jié)果為0.9876。根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果，P值大于0.05，說(shuō)明殘差序列呈正態(tài)分布。

3.5.3 白噪聲檢驗(yàn)

為了驗(yàn)證ARMA(1,2)模型的殘差是否具有白噪聲特性，選定滯后階數(shù)k=12，并計(jì)算了殘差的自相關(guān)函數(shù)（ACF）值以及Q 統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)Eviews 計(jì)算結(jié)果可得出，殘差序列的自相關(guān)函數(shù)值在Bartlett范圍內(nèi)，表明殘差序列之間相互獨(dú)立。滯后12階的Q 統(tǒng)計(jì)量的P 值均大于顯著性水平0.05，表示接受原假設(shè)，即殘差序列不相關(guān)或相互獨(dú)立。對(duì)殘差序列進(jìn)行ADF 單位根檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)t統(tǒng)計(jì)量絕對(duì)值大于1%、5%、10%三個(gè)顯著性水平的t值，且p值為0.0017，小于這三個(gè)顯著性水平。因此，可以拒絕原假設(shè)，并得出結(jié)論：殘差序列不存在單位根。綜上所述，當(dāng)假設(shè)序列DR 為ARMA(1,2)時(shí)，可以認(rèn)定其殘差序列可以視為白噪聲，即序列的隨機(jī)性已經(jīng)被成功捕捉。

3.6 預(yù)測(cè)分析

通過(guò)差分方程形式進(jìn)行向前一步預(yù)測(cè)，可以獲得ARMA(2,1)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，具體為：

代入已知數(shù)值和模型的參數(shù)估計(jì)值，可求出序列dr的預(yù)測(cè)值為：

得到序列的擬合數(shù)據(jù)以及預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)可見(jiàn)圖4的D4測(cè)點(diǎn)拱肋變形值預(yù)測(cè)效果比較圖。

圖4 D4號(hào)測(cè)點(diǎn)拱肋變形值預(yù)測(cè)效果比較圖

由圖4 可以看出用ARMA 模型進(jìn)行預(yù)測(cè)的最大擬合誤差為12.7mm，最大預(yù)測(cè)誤差為10.6mm。該模型預(yù)測(cè)效果較好，具有較高的精度。

4 結(jié)束語(yǔ)

（1）時(shí)間序列ARMA 模型可以精準(zhǔn)擬合與預(yù)測(cè)拱橋拱肋在建設(shè)過(guò)程中的變形值，使得鋼管混凝土拱橋的施工控制得到有效保障，鋼管混凝土拱橋的建設(shè)過(guò)程更加安全與高效。

（2）采用時(shí)間序列方法建模時(shí)，針對(duì)自回歸滑動(dòng)平均模型的參數(shù)估計(jì)特征，提出了參數(shù)估計(jì)的“兩步走”，即“先參數(shù)初估計(jì)，然后精確估計(jì)參數(shù)”。本文計(jì)算結(jié)果表明這樣處理可大大地改善參數(shù)的估計(jì)精度，提高模型的預(yù)測(cè)效果。