重探物體的穩度

李亞磊 楊 浩 張思奧 孔令鑫 馬帥奇 孫澤浩

(海軍航空大學基礎學院理化教研室,山東 煙臺 264001)

2023年全國大學生物理實驗大賽命題類題目1“不倒的桿”要求研究物體/裝置的平衡原理,并制作一個能夠幫助桿在風力等作用下穩定不倒的實驗研究裝置.桿件是最簡單的剛體,研究其平衡問題具有簡單、普適且實用的特點.如何提高桿件等剛體在風力等外部作用影響下的穩定性具有理論與現實意義.然而,目前人們對于物體的平衡穩定性與穩度的定義有不同的看法,[1-6]文獻[1]認為應當用使物體傾倒所需要的功來描述穩度大小,也有觀點認為可以用翻倒剛體所需的最小力矩與物重的比值來定義穩度,還有人認為應該以物體向某方向傾倒的最大傾斜角的正切函數值來定量描述物體穩度.[2]研究發現,上述對于物體穩度的定義多是從能量角度出發,并且都沒有考慮地面摩擦力的影響.這些定義理論性較強且過于理想化,難以直接用來對桿件的穩定性進行實驗研究.因此在本文中,筆者給出了一種剛體穩度的新的定義.新定義簡潔明了并且更加符合生活實際情況.首先從理論出發,研究了剛體的平衡原理.給出了從一維到三維桿件的平衡條件以及影響其穩定性的因素.第二部分使用軟件Algodoo進行仿真模擬,驗證了二維理論中剛體穩度的影響因素.第三節以市面上常見的手機三角支架桿件為研究對象,測量了其尺寸、質量、摩擦因數等參數,并用第一部分的理論計算了其穩度,利用定滑輪和鉤碼模擬提供外力,實驗驗證了三維剛體的穩度與其重心高度無關.文章的最后給出了總結.

1 物體穩度的影響因素

從題目要求出發,研究桿在風力等作用下的穩定性.人們通常將物體在支撐面上保持平衡不易傾倒的能力稱為穩度.生活經驗和實驗探究表明,當物體受到外界擾動后,物體可能會繞其與支撐面的接觸點或接觸線發生轉動,這個點或線人們稱為易傾點或易傾線.[1]當物體轉動至重錘線超過易傾線時,此時即使撤去外界擾動,物體也會由于重力矩的作用發生傾倒.基于此,人們提出利用物體離開平衡位置到即將傾倒的臨界狀態時所需要的功來表示穩度.并且進一步得出初始平衡狀態重力勢能越小、傾倒臨界狀態重力勢能越大,物體的穩定性越好.這也就是生活經驗中常說的重心越低越穩定的理由.然而稍加分析不難發現,從能量的角度出發研究物體的穩定性存在不合理之處:一是由于常見物體的質量分布不均勻,難以確定其重心,從而也無法確定其重力勢能;二是外界擾動的形式復雜多樣,幾乎不可能確定其做功的情況.生活中更加常見的現象是,外界對物體施加一個恒力,當力的大小超過某個值時,物體就會發生傾倒.例如研究非固定式的晾衣桿或廣告牌在室外有風情況下的穩定性,可以將風力近似看作是分布均勻的恒力,風力的大小與風速有關.當風速超過某個值時,晾衣桿或廣告牌就會發生傾倒.再例如手機三角支架受到人的誤碰擾動發生傾倒的過程,由于擾動過程在時間和空間上都十分短暫,所以該過程支架受到人的推力也可視為恒力.因此不難理解,物體保持平衡時所能承受外力的值越大,物體的穩定性越好.接下來我們從一維剛體到三維剛體,逐步分析影響其穩度的因素有哪些.

由理論力學知識可知剛體平衡時必須滿足下列平衡方程:

F=0,M=0.

(1)

即作用在剛體上諸外力的矢量和為0且諸外力對任一點的力矩的矢量和也為0.

首先研究一維情況.我們定義一維理想桿件為不計橫向分布、僅有縱向長度的質量分布均勻的一維剛體.對于豎立在水平粗糙地面上的一維理想桿件來說,設其受到的水平風力等效作用點在桿的頂端,其受到重力、支持力、摩擦力和風力作用,如圖1(a)圖所示.

圖1 一維和二維桿件的平衡受力

由平衡方程合外力為0的條件可得

N=G,F風=f.

(2)

由于重力、支持力、摩擦力的作用線均過接觸點,它們對該點的力矩為0,故合外力矩僅由風力提供

M=F風l,

(3)

式中l為桿的長度.此即只要F風≠0,一維理想桿件就要受力矩作用發生轉動,從而無法保持平衡.若風力作用點不在桿的頂端,區別僅在于風力的力臂減小,但力矩仍不為0.這就是說一維桿件的穩定性為0,只要存在外界擾動桿件就會傾倒.這和文獻[2]的結論是一致的.

接下來考慮更加貼近實際的二維情況.對于高為h、寬為d、質量m分布均勻、質心與幾何中心重合的二維理想剛體,當h?d時可以認為該剛體是二維理想桿件.設桿在某一角度時處于平衡狀態,此時受力情況如圖1(b)所示(為方便示意,桿件的高寬比做了夸張處理).以桿件與地面的接觸點,也即易傾點為坐標原點O,水平向右為x軸正方向建立坐標系.與一維情況類似,支持力和摩擦力的力矩為0,而重力提供的垂直紙面向外的力矩克服風力施加的垂直紙面向內的力矩,以使桿件保持平衡.設風力作用點位置距離地面垂直高度為h′,重心與y軸的距離為d′.合外力矩為零的平衡條件給出

F風h′=Gd′.

(4)

若此時風力增大或作用高度變高使得F風h′>Gd′,桿件將失去平衡發生轉動,從而穩定性被破壞.

綜合以上分析可以得出,桿件所能抵抗的最大風力與風力作用高度成反比,與物體的重力和傾距成正比.一般來說,生活中的風力與所處高度和風速有關,高度越高、風速越大,風力越強.但是總可以利用理論計算和經驗公式,將風力等效為作用于桿件的某一點上.除此之外,對于其他類型的外界擾動也可以較容易地知道力的大小與作用高度.進一步地,物體的高度越高,外力可能的作用點也就越高,其提供的外力矩也就越大,也就越容易使物體發生傾倒.因此將位于水平面上物體的穩度定義為物體保持平衡不發生傾倒時物體頂部所能承受的最大外力,其大小等于物體的重力乘以物體傾距與高度的比值.需要強調的是該定義與文獻[2]用最大傾斜角的正切值定義的區別.首先,文獻[2]認為穩度不應當與物體重力有關.但是生活經驗告訴我們,一個裝滿水的杯子的穩定性顯然要比一個空杯子好.其次,文獻[2]對穩度的定義是傾距與重心高度的比值,其論據是在重心處施加外力可以使物體繞傾點發生勻速轉動,說明物體的穩定性被破壞.但從前述分析中可以看到,要使物體可以發生轉動,必須要施加一個大于Gd′的力矩,而這個力才是衡量物體穩定性是否被破壞的量.可以看到,我們給出的新定義與生活實際更加相符,并且簡潔明了,易于從實驗上獲得.值得注意的是,該定義下物體的穩度與且僅與物體的重力、高度和傾距有關,與物體的重心高度無關.將通過第二部分的仿真模擬和第三部分的實驗予以證實這一反直覺的結論.

對于真實的三維情況,以市面上常見的手機三角支架為例,對其進行了建模,分析了影響其穩度的因素.為方便表述,命名支架的主體部分長度為l,三條支撐腿的長度均為l1,主體部分和支撐腳的連接處到地面的垂直距離高度為h1,支架頂端距地面高度為l+h1.建模時忽略支架的手機座、調節伸縮旋鈕、連接結構等次要因素,將其簡化為如圖2(a)所示的4根一維理想桿件的組合體.

圖2 手機三角支架模型的平衡受力

(5)

圖3 風力沿x軸正向時的穩定性

綜上所述,與二維情況類似,三維桿件的穩度仍為重力乘以傾矩和高度的比值,與重心高度無關.并且還可以得出的結論是,物體的穩度具有方向性,原因是對于不同的易傾線有不同的傾距.這和文獻[2]的觀點也是相符的.

2 二維剛體的Algodoo仿真模擬

Algodoo是瑞典Algoryx Simulation AB公司開發的一款仿真實驗平臺.它可以提供簡單的二維情況下的力學與流體力學仿真模擬. 它的安裝包大小僅有41Mb,并且操作簡單易上手,仿真效果良好,非常適合物理教學.接下來我們以它為工具,研究二維剛體受水平風力時的穩定性問題.

首先研究上一節中提出的穩定性與摩擦因數之間的關系.Algodoo可以自定義二維材料的體積、密度、摩擦因數、彈性等參數,如圖4所示.制作一個高8 m、寬2 m、彈性為0的質量為1 kg的二維剛體.軟件提供的風力為分布在全空間水平向右的恒力,它的大小與空氣和物體的接觸面積(長度)D有關,與風速v的一次方和二次方有關.我們采用風力的默認公式

圖4 應用Algodoo對二維剛體的建模

F=D(0.01v+0.001v2),

(6)

式中的v的一次項和二次項系數可以根據實際情況進行手動調整.

由于風力作用在全空間上,可以將其等效作用在剛體的中點h′=4 m處.此外由于剛體質量分布均勻,故傾距d′=1 m.通過第一節的分析可以計算得出桿件的傾倒臨界摩擦因數μ=0.25,所能承受的最大風力為2.058 N,對應的最大風速為11.798 m/s.在仿真模擬中,設定風速大小為11.8 m/s,當摩擦因數大于0.25時,剛體發生傾倒;當摩擦因數小于0.25時,剛體只發生滑動而不會傾倒.分別改變剛體的高度、傾距、質量等參數,重復進行仿真實驗,得到的傾倒臨界摩擦因數和承受最大風速結果如表1所示.可以看到仿真實驗結果與理論符合得很好.

表1 不同參數二維剛體的仿真實驗結果

接下來探究二維剛體穩度與重心高度的關系.如圖5所示,制作4個2 m×1 m相同體積的剛體A、B、C、D,其質量分別為0.1 kg、0.2 kg、0.3 kg、0.4 kg.將其彼此黏附在一起,并設定摩擦因數為0.5,以保證大于傾倒臨界摩擦因數使其能傾倒.然后將其復制,按照D、C、B、A的順序由上到下排放.顯然后者的重心高度要高于前者.生活經驗告訴我們后者的穩定性要較前者差,應當更容易被風吹倒.但是按照我們第一部分的理論分析二者的穩度是一樣的.通過仿真實驗發現,二者在風速小于7.8 m/s時都處于穩定狀態,當風速大于7.8 m/s時同時發生傾倒.這與表1的結果是一致的.區別僅在于重心高的物體由于重力矩大,從而傾倒的速度更快.這一實驗結果是反直覺且有趣的.

圖5 二維剛體穩度與重心高度無關

綜上所述,使用Algodoo進行仿真模擬,驗證了二維剛體的傾倒臨界摩擦因數和穩度的影響因素.證實了二維剛體受恒定風力時的穩定性與剛體重心高度無關.

3 手機三角支架穩度的實驗測量

筆者購買了市面上常見的手機三角支架,實物如圖6所示.測量獲得其質量m=0.72 kg,支撐腿長度l1=32.28 cm,支架與瓷磚間的摩擦因數為0.27,主體部分長度l可根據需要在35.85～114.95 cm范圍內調節,支撐腿連接處距支架地面垂直距離可根據需要在9.49～32.28 cm范圍內調節.

圖6 手機三角支架實物

為測量三角支架的穩度,我們將細線的一端系于支架的頂端,另一端通過定滑輪與鉤碼相連,利用水平儀保證細線提供的拉力沿水平方向,則鉤碼重力可近似認為是支架所受外力.根據第一節所述方法與定義,我們對支架的穩度進行了理論計算和實驗測量,結果如表2所示.結果表明在誤差范圍內,實驗結果與理論符合得很好.

表2 手機三角支架的穩度理論值與實驗值對比

通過在支架的不同高度處固定配重可以調節重心,以驗證支架穩度與重心高度的關系,實驗結果如表3所示.

表3 手機三角支架的穩度與重心無關

由以上實驗結果可以為我們帶來啟示:如果想要提高三角支架或是其他類似桿件的穩定性,也就是提升抗風、抗擾動、抗傾倒的能力,通過降低其重心的方法是不可行的,只能通過增加其重力、增大其傾距、減小其高度的方法.

4 總結

本文重探了物體穩度的定量描述與影響因素,給出了穩度新的定義方法,即物體保持平衡時頂端所能承受的最大恒外力,其等于物體的重力乘傾距與高度的比值.新的定義相較于以往的穩度定義,物理意義更加清晰,更易從實驗獲得,與實際應用聯系更加緊密,更具理論與實踐意義.利用Algodoo仿真模擬與真實實驗,分別驗證了二維和三維剛體穩度理論的正確性.證實了物體的穩定性與重心高度無關.這打破了長久以來人們的認識誤區,為今后的物理教學與工程實踐提供了理論指導.