木板的運動是簡諧運動嗎

王偉民 于方超

(1. 安徽省太和縣宮集鎮中心學校,安徽 太和 236652; 2. 廣東省佛山市順德區倫教中學,廣東 佛山 528308)

1 一個有趣的運動現象

能夠繞軸自由轉動的兩個相同的圓柱體A和B,它們的軸分別固定在兩個水平的平行位置,如圖1所示(圖1看到的是兩個圓柱體的橫截面,其側面向畫面的里面延伸,所以看不到其側面了),用一根皮帶繞成“∞”字型連接兩個圓柱體,并將皮帶拉緊.這樣,當一個圓柱體快速轉動時,會帶動另一個圓柱體按相反的方向快速轉動.將其中的一個圓柱體再用一根皮帶與電動機的輪子相連(圖中沒有畫出),給電動機通電之后,兩個圓柱體就會沿不同的方向快速轉動.改變電動機輪子的轉動方向,可以改變兩個圓柱體的轉動方向.

圖1 木板在兩個反向轉動輪子上左右運動圖示

將一塊長木板(長度大于兩個圓柱體軸心之間的距離)放在兩個圓柱體上,調整兩個圓柱體的轉動方向和長木板相對圓柱體的位置,會發現,當左邊的圓柱體A按逆時針方向轉動、右邊的圓柱體B按順時針方向轉動時,如圖1(甲)所示,除非長木板CD的重心恰好在兩個圓柱體的正中間位置,木板可以相對兩個圓柱體的軸心保持靜止不動的狀態,其他情況,只要木板重心位置偏離兩個圓柱體的中間位置,木板放上之后都會向遠離兩個圓柱體中間位置的方向運動,直至最終離開圓柱體.這種現象的成因也容易理解——當長木板的重心剛好位于兩個圓柱體的正中間位置時,兩個圓柱體對木板的壓力相等,都等于木板重力的一半,由于A和B是相同的圓柱體,所以,兩個圓柱體側面與木板之間的動摩擦因數相同,因此,兩個圓柱體對木板滑動摩擦力的大小相同,方向相反,并作用在同一條水平直線上,是一對平衡力,在這對水平平衡力的作用下,靜止的木板會一直保持靜止狀態.當木板重心偏離兩個圓柱體中間位置時,例如,木板重心在兩個圓柱體中間位置的左邊,則圓柱體A對木板豎直向上的壓力大于圓柱體B對木板豎直向上的壓力,所以,圓柱體A對木板向左的摩擦力大于圓柱體B對木板向右的摩擦力(以下均按圓柱體轉動很快,木板相對圓柱體都是滑動的情形進行的討論.如果圓柱體轉動得比較慢,兩個圓柱體對木板的兩個摩擦力可能都是滑動摩擦力,也可能其中一個是滑動摩擦力,而另一個是靜摩擦力),所以,木板所受兩個圓柱體對其滑動摩擦力的合力方向向左,木板會相對圓柱體軸心向左加速運動,直至最終離開圓柱體.

如果左邊的圓柱體A按順時針方向轉動,右邊的圓柱體B按逆時針方向轉動,如圖1(乙)所示,把長木板放到兩個圓柱體上面之后,若木板重心剛好在兩個圓柱體的正中間位置,則木板相對兩個圓柱體的軸心保持靜止狀態.當然,這依然是因為木板受到兩個圓柱體對其方向相反的兩個滑動摩擦力是一對平衡力.若木板放上之后,其重心偏離兩個圓柱體的中間位置,則我們會看到一個非常有趣的物理現象——長木板在兩個圓柱體上面不停地左右來回運動,如同秋千在吊繩下來回擺動的現象.我們不禁要問,此時木板的左右運動是簡諧運動嗎?

2 對一般情形下木板的運動問題進行分析

可以發現,上述現象給出的物理情景很特殊——水平木板在受到兩個反向轉動的輪子對其方向相反的水平外力作用下的運動.為使推理的結論更具一般性,我們不妨研究一般情形下木板的受力振動規律.

如圖2所示,將木板CD放在兩個軸心位置固定水平平行且快速旋轉的圓柱體A和B上(旋轉方向如圖所示,為簡化作圖,我們用線段CD來替代木板,并認為其重心在木板的底面),木板與水平面的夾角為α,木板與兩個圓柱體相切,切點之間的線段長度MN=L,木板重力為G,與圓柱體A、B之間的動摩擦因數分別為μ1、μ2.先確定木板受到平衡力時的位置,假設木板受到平衡力時,圓柱體A和木板的切點M到木板重心O的距離為MO=a,分別以N、M為支點根據杠桿原理,可得

圖2 木板傾斜受力平衡圖示

N1L=G(L-a)cosα,N2L=Gacosα.

因此A、B兩個圓柱體對木板的滑動摩擦力大小分別為

木板CD平衡時,它在CD方向上所受的合力為0,故有

F1=F2+Gsinα,即

解得

可整理為

(μ1cosα-sinα)L=a(μ1+μ2)cosα.

圖3 木板傾斜狀況時受力示意圖

木板所受兩個圓柱體滑動摩擦力的大小分別是

因此,在木板所在直線的方向上,木板所受各力合力大小為(方向指向平衡位置)

F=F1-F2-Gsinα=

當然,我們這里的討論,是把木板作為沒有厚度的線段來進行分析,相當于把木板重心平移到其下表面而進行的定量推理,而實際的木板肯定有一定的厚度,其重心一定不在木板的底面上,那么,上面我們總結的木板做簡諧運動的規律在實際情形下還成立嗎?

如圖4(甲)所示,木板的重心本來在其內部的O點,如果我們將其向下平移到木板的下表面,如圖4(乙)所示,顯然,木板重力的作用線(是直線)相對M、N這兩點的位置沒有發生任何變化,而我們上面的定量推理,凡是涉及木板重力的問題,只用到了M、N兩點相對木板重力作用線的距離,所以,木板重心不要說平移到下表面,即使上下平移到空間內的其他任意點,也不影響我們結論的正確性.

圖4 木板重心上下平移示意圖

3 木板的運動周期

對于木板在兩個水平圓柱體上左右振動的現象,如果給出相關的必要條件,根據簡諧運動的周期公式,可以求出木板的振動周期或頻率.

例1.如圖5所示,兩個可以繞軸快速轉動的圓柱體A和B,截面半徑都是50 cm,將它們緊壓在一起,并保持軸線水平平行,按圖示方向快速轉動時(A順時針方向轉動,B逆時針方向轉動),將一個長度大于1 m的長木板輕輕放在兩個圓柱體上面,會發現木板在兩個圓柱體上不停地左右運動,已知A、B兩木板與圓柱體之間的動摩擦因數分別為μ1=0.25和μ2=0.15,試求木板左右振動的運動周期?(結果可以保留無理數,取g=10 m/s2)

圖5 木板在兩個側面相切圓柱體上運動圖示

解析:與圖1所示的問題相比,例1給出的物理問題不是用皮帶連接兩個圓柱體,而是將兩個圓柱體緊緊壓在一起轉動.雖然形式上不一樣,但二者提供的運動方式效果是相同的,都可以使得兩個圓柱體按相反的方向轉動,所以,例1給出的物理問題中,木板在兩個圓柱體上方的左右運動依然是簡諧運動,我們仍然可以運用上述推理出的木板受力公式進行相關計算.

依題意可知,木板所受兩個圓柱體摩擦力的作用點,是圓柱體的側面圓與木板的兩個切點,兩切點之間的長度為L=1 m,木板水平,說明木板與水平面的夾角為α=0,設木板的質量為m,則木板左右運動的運動周期為

即木板在兩個圓柱體上左右運動的周期是πs.

4 結語

需要說明的是,以上分析總結木板的振動規律,僅僅是形式上的簡諧運動,跟彈簧振子的簡諧運動還有本質的區別——彈簧振子在振動過程中,不僅形式上是簡諧運動,而且在振動過程中彈簧和小球組成系統的機械能守恒.而上述木板在振動過程中,兩邊對木板施加滑動摩擦力的兩個圓柱體,一個對木板做正功的同時,另一個在對木板做負功,系統的機械能不守恒,系統消耗外界機械能的同時,以摩擦做功的方式轉化成了內能.