EMD 算法的改進(jìn)及在信號(hào)去噪中的應(yīng)用

劉佳昕，周風(fēng)波

（邵陽學(xué)院，湖南邵陽，42200）

0 引言

近年來，EMD 信號(hào)分解算法已成為國內(nèi)外眾多學(xué)科關(guān)注的焦點(diǎn)，在電氣、化學(xué)、通信等領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用。信號(hào)是每個(gè)信息傳遞的載體，其在傳輸?shù)倪^程中極易受到外界的干擾，在這種情況下，要從原始信號(hào)中獲取有用信號(hào)就必須綜合利用各種手段。因此，對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理進(jìn)行研究具有重要意義。在非平穩(wěn)狀態(tài)下，常用的時(shí)域－頻域分析技術(shù)包括短時(shí)傅里葉變換和小波變換等方法。

鑒于小波變換在信號(hào)局部上缺乏自適應(yīng)能力，N.E Huang 在1998 年首次針對(duì)非平穩(wěn)和非線性的信號(hào)處理問題，提出了一種利用振蕩劇烈程度來反映極值點(diǎn)信息的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法，在信號(hào)去噪處理中具有廣泛應(yīng)用；HHT 變換是一種新興的時(shí)頻分析技術(shù)，專門用于處理非線性和非平穩(wěn)信號(hào)。其基本原理是利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解來對(duì)原始信號(hào)做進(jìn)一步分解和重構(gòu)，從而獲得所需的信息。該技術(shù)融合了小波變換的多分辨率的特點(diǎn)，克服了小波變換過程中小波基函數(shù)選擇困難的問題，因此它也適用于非平穩(wěn)信號(hào)的濾波和降噪處理[1]。

目前，我國對(duì)信號(hào)降噪的研究已經(jīng)進(jìn)入了一個(gè)較為成熟的階段。2005 年，萬建等對(duì)含噪語音信號(hào)進(jìn)行了經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EMD）的尺度濾波特征分析，并采用軟閾值法對(duì)具有寬頻帶隨機(jī)噪聲的語音信號(hào)進(jìn)行閾值處理，并設(shè)計(jì)了一種有效地抑制噪聲的方法[2]。與此同時(shí)，張維強(qiáng)等學(xué)者根據(jù)希爾伯特-黃變換理論，提出了一種新的HHT 變換去噪方法，該方法通過對(duì)原始IMF 的預(yù)處理來實(shí)現(xiàn)對(duì)語音信號(hào)的增強(qiáng)[3]。

本文提出改進(jìn)的EMD 信號(hào)去噪算法，以加噪的脈沖正弦信號(hào)為研究對(duì)象，以幾何平均算法為突破口，循序漸進(jìn)，先是設(shè)定由三個(gè)正弦波組成的復(fù)合信號(hào)，對(duì)其進(jìn)行傳統(tǒng)的EMD 算法分解和改進(jìn)后的EMD 算法分解得出相關(guān)結(jié)論；在此基礎(chǔ)上，采用不斷改變信噪比的方法，獲得有效信號(hào)的最佳分解方案，并通過對(duì)本征模態(tài)函數(shù)和殘差函數(shù)圖像的分析，研究其在信號(hào)降噪方面的應(yīng)用。

1 改進(jìn)EMD 的去噪算法

■1.1 本征模態(tài)函數(shù)IMF

本征模態(tài)函數(shù)必須滿足以下幾項(xiàng)基本條件[4～5]：

（1）在數(shù)據(jù)的可接受范圍內(nèi)，極值點(diǎn)數(shù)目相等或差別不超過1；

（2）由局部極大和極小兩個(gè)極值構(gòu)成的包絡(luò)線平均值應(yīng)該是零；

（3）純振蕩函數(shù)的平均值為0。

■1.2 標(biāo)準(zhǔn)EMD 的基本原理

EMD 是利用信號(hào)極值點(diǎn)信息，將函數(shù)分解為若干個(gè)本征模態(tài)及單調(diào)的殘差的過程。

具體的EMD 算法過程[6]：

（1）針對(duì)原始函數(shù)x(t) ，找到極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)；

（2）分別用樣條曲線連接極值點(diǎn)，標(biāo)記好極大值包絡(luò)線xmax(t) 及極小值包絡(luò)線xmin(t) ，對(duì)兩條包絡(luò)線進(jìn)行平均取值，得到平均線函數(shù)：

（3）將原始函數(shù)x(t) 減去平均函數(shù)m1(t) ，得到新的函數(shù)h1(t) ：

（4）用新函數(shù)h1(t) 替換原始信號(hào)中的函數(shù)x(t) ，重復(fù)步驟(3)多次，獲得第K 次篩選的數(shù)值：

注意：判斷h1k(t)是否為IMF 分量的標(biāo)準(zhǔn)是通過比較連續(xù)兩次篩選結(jié)果之間的SD值（即標(biāo)準(zhǔn)差）來確定的。

在前面的論述中我們曾提到，冷橋現(xiàn)象的長期存在，會(huì)導(dǎo)致建筑使用過程中出現(xiàn)墻體霉變，以及墻皮脫落的情況。更嚴(yán)重的情況下，會(huì)導(dǎo)致整個(gè)建筑的結(jié)構(gòu)被破壞，因此這也很容易致使建筑使用壽命嚴(yán)重縮短。

在實(shí)際使用中，hk(t)=0通常難以滿足，可用如下替代[7]：

滿足范圍：0.2～0.3

（5）從原始函數(shù)x(t)中減去C1(t)，即殘差r1(t)：

至此完成整個(gè)分解過程。

■1.3 改進(jìn)EMD 算法的基本原理

為了解決EMD 分解中出現(xiàn)的模態(tài)混疊和噪聲干擾等問題，我們提出了針對(duì)EMD 的改進(jìn)方法。該方法是在不改變原系統(tǒng)固有頻率和阻尼的前提下對(duì)各固有模態(tài)函數(shù)做一次獨(dú)立分量分析，并通過分離后得到新的本征模態(tài)函數(shù)。從相關(guān)文獻(xiàn)中，我們可以明確這是一種基于高斯白噪聲疊加的多次經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法，它主要依賴于高斯白噪聲在頻率上均勻分布的統(tǒng)計(jì)屬性[8]。本文在此基礎(chǔ)上引入了一個(gè)新概念——“均值”概念。在進(jìn)行算法分解等操作時(shí)，首要任務(wù)是將初始信號(hào)復(fù)制成若干部分，為了調(diào)整信號(hào)的極值點(diǎn)特性，我們在每一個(gè)信號(hào)里都加入了具有一致振幅的隨機(jī)白噪聲；同時(shí)，為提高算法的穩(wěn)定性，引入了基于自適應(yīng)濾波和小波包分析的方法。緊接著，對(duì)修改后的信號(hào)進(jìn)行EMD 處理，從而得到對(duì)應(yīng)的IMF；最后，通過對(duì)多次經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EMD）產(chǎn)生的相關(guān)IMF 進(jìn)行整體平均處理，成功地消除了添加的白噪聲，從而有效地抑制了模態(tài)混疊的發(fā)生。

改進(jìn)后的EMD 算法過程如下[9～10]：

（1）設(shè)置分解次數(shù)N；

（2）將一個(gè)具有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的白噪音ni(t)融入原始資料x(t)中，產(chǎn)生一個(gè)新信號(hào)：

（3）對(duì)新信號(hào)xi(t)進(jìn)行EMD 分解，得到本征模態(tài)函數(shù)和殘差；如此反復(fù)進(jìn)行步驟(2)、(3)N 次，即可獲得N 個(gè)分解后的IMF；

（4）依據(jù)不相關(guān)序列的統(tǒng)計(jì)平均值為0 的定理，對(duì)EEMD 分解出來的本征模態(tài)函數(shù)IMF進(jìn)行集合平均運(yùn)算，可得到以下公式：

改進(jìn)后的EMD 算法流程圖如圖1 所示。

圖1 改進(jìn)的EMD 算法流程圖

2 仿真分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

■2.1 基于改進(jìn)EMD 算法的信號(hào)降噪

為了驗(yàn)證改進(jìn)的EMD 算法的正弦信號(hào)去噪效果，采用了MATLAB 軟件對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行仿真處理，將不同算法分解情況下的噪聲效果圖進(jìn)行對(duì)比，得出結(jié)論。設(shè)定原始信號(hào)是一個(gè)復(fù)合信號(hào)，由三個(gè)正弦波組成，頻率分別為10Hz、4Hz 和20Hz，采樣率為60Hz，信號(hào)的時(shí)長為1 分鐘。顯示其波形和頻譜圖對(duì)照，圖2 是未增加噪聲時(shí)的圖像。

圖2 正弦信號(hào)的波形及頻譜圖

通過對(duì)原始信號(hào)應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition,EMD）算法，利用極值點(diǎn)的特性進(jìn)行分解，可以得出正弦信號(hào)整個(gè)本征模態(tài)函數(shù)IMFs 和由EMD 算法分解的部分和的圖像（見圖3）。最后對(duì)代碼進(jìn)行改進(jìn)，我們得到了一系列本征模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Functions,IMF）和一個(gè)殘差信號(hào)（見圖4）。另外我們發(fā)現(xiàn)，每個(gè)IMF 都充分表現(xiàn)了原始信號(hào)在不同時(shí)間尺度和頻率上的局部變化。每個(gè)IMF 的波形都是一種振蕩信號(hào)，其幅度隨時(shí)間變化。殘差信號(hào)是原始信號(hào)減去所有IMF 的和得到的，它代表了未被IMF 捕捉到的信號(hào)成分。由圖可知，殘差信號(hào)在零附近波動(dòng)，振幅比較小，說明IMF 能夠較好地描述原始信號(hào)的大部分特征。

圖3 IMFs 和部分和的圖像

圖4 改進(jìn)后的EMD 對(duì)信號(hào)的分解

■2.2 深入研究EMD 的信號(hào)降噪效果

為了深入驗(yàn)證改進(jìn)后的EMD 算法的效果，本文以正弦信號(hào)為例，在時(shí)間為[0，0.21]、[0.62，0.8]兩個(gè)區(qū)間內(nèi)添加高斯脈沖信號(hào)，來模擬噪聲信號(hào)對(duì)原始信號(hào)的干擾，原始仿真信號(hào)見圖5。

圖5 模擬噪聲信號(hào)圖

利用標(biāo)準(zhǔn)EMD 算法對(duì)該信號(hào)進(jìn)行分解，如圖6 所示。

圖6 標(biāo)準(zhǔn)EMD 算法對(duì)合成新信號(hào)的分解圖

圖7 改進(jìn)后的EMD 分解結(jié)果圖

從圖6 可以看出IMF1、IMF2、IMF3 是信號(hào)中的低頻成分，其中IMF1 信號(hào)接近于原始信號(hào)，具有一個(gè)周期大致在0.25s 的正弦波形；IMF4 為中頻成分；IMF5 是信號(hào)中的高頻成分；殘差則代表了分解出IMFS 信號(hào)之外無法解釋的部分，其中部分頻段的干擾被消除。這些本征模態(tài)函數(shù)IMFS 和殘差表示了信號(hào)在不同頻率和振幅上的分解，后續(xù)獲得的IMF 的值都是依托于上一個(gè)IMF 分解出的圖像，具有模態(tài)混疊效應(yīng)，所以，該傳統(tǒng)的EMD 分解算法不再適用。

利用改進(jìn)后的EMD 算法對(duì)該信號(hào)進(jìn)行分解，可以看出原始信號(hào)是一個(gè)正弦波加高斯白噪聲生成的混合信號(hào)，信號(hào)在頻率為4kHz 的正弦波上具有周期變化，但其受噪聲的影響也比較大。殘差信號(hào)包括未被分解為IMFs 的部分，根據(jù)圖像7 可看出殘差信號(hào)中的高頻成分和噪聲部分。為了提高信號(hào)質(zhì)量的明細(xì)度和噪聲成分的分辨率，我們在代碼中首先采用將所有IMFs 和殘差進(jìn)行求和，進(jìn)一步重構(gòu)原始信號(hào)的方法；然后，使用重構(gòu)信號(hào)和原始信號(hào)之間的差異計(jì)算其信噪比（SNR）和均方誤差（MSE）。

根據(jù)MATLAB 仿真實(shí)驗(yàn)，我們對(duì)其重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行了計(jì)算，得到了信噪比（SNR）為-14.6385 dB 和均方誤差（MSE）為0.0017。這些數(shù)值揭示了重構(gòu)后的信號(hào)與原始信號(hào)的不同之處。在實(shí)際應(yīng)用過程中，可以根據(jù)需要選擇適當(dāng)大小的誤差范圍來判斷是否發(fā)生錯(cuò)誤。負(fù)的信噪比值表明重構(gòu)信號(hào)中的噪聲水平高于原始信號(hào)，而較小的均方誤差值表明重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)之間的差異相對(duì)較小。由于在每一次的運(yùn)行過程中加入的白噪聲可能會(huì)引起結(jié)果的輕微變動(dòng)，因此每一次的計(jì)算結(jié)果會(huì)有細(xì)微的差異。為了更好地分析和比較重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)之間的差別，需要對(duì)重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，以確定在一定條件下所定義的誤差限是否符合要求。盡管這些值應(yīng)該保持恒定，但在試驗(yàn)中仍然有一定的誤差。

3 結(jié)束語

改進(jìn)的EMD 算法是針對(duì)EMD 分解出現(xiàn)的模態(tài)混疊現(xiàn)象而改進(jìn)的一種噪聲輔助數(shù)據(jù)方法，相對(duì)于其他經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法，其具有更好的抗噪聲性能和更穩(wěn)定的分解結(jié)果。通過引入不相關(guān)序列的統(tǒng)計(jì)平均值為0 的定理，有效地處理非線性和非平穩(wěn)信號(hào)，判斷其實(shí)驗(yàn)誤差范圍，在信號(hào)去噪領(lǐng)域，具有廣泛應(yīng)用和巨大前景。