數(shù)學(xué)“反證法”理論的分析及其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

陳悅 趙臨龍

摘? 要：反證法作為中學(xué)數(shù)學(xué)中一種常見的證明方法，常應(yīng)用于解決難以直接證明的題目，它可以十分高效地給出問題的答案，并且對(duì)于學(xué)生的邏輯思維能力以及學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性的提高有很大的幫助，也能夠推動(dòng)數(shù)學(xué)教育的發(fā)展。本文介紹了反證法的相關(guān)概念、邏輯原理以及分類。分析了反證法理論在目前中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，旨在幫助學(xué)生提高對(duì)反證法理論的認(rèn)知及更好的運(yùn)用這種方法處理問題。

關(guān)鍵詞：反證法；逆向思維；中學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)；實(shí)例

1研究背景

隨著新課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)證明題型作為其重點(diǎn)之一，在中考和高考中占據(jù)非常大的比例。

所謂數(shù)學(xué)證明，就是在一個(gè)特定的公理或定理系統(tǒng)中，根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)或者規(guī)則，由定理推出命題的過程。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，應(yīng)用數(shù)學(xué)證明方法解決一些問題的過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神，增強(qiáng)他們對(duì)未知事物的求知欲。

于中學(xué)生而言，數(shù)學(xué)證明題型不僅復(fù)雜而且具有一定的抽象性。在面對(duì)不同的類型，需要采用的方法也往往不相同，常見的證明方法有綜合法、反證法、分析法、類比法、歸納法等[1]。其中反證法作為數(shù)學(xué)中極其常見的證明方法之一，對(duì)于解題有著巨大的作用。它不但是一種方法，還是一種獨(dú)特的思維方式。

一般來說，通常應(yīng)用于從正面難以解答的問題當(dāng)中，也就是“逆證”，這是通過得出與題目相矛盾的結(jié)論（即反論題）的錯(cuò)誤來確立原命題的真實(shí)性的證明方法。其具體論證過程如下：首先提出命題假設(shè)，然后對(duì)命題的結(jié)論進(jìn)行否定（也就是反設(shè)），然后再根據(jù)推演的規(guī)則進(jìn)行合情推理從而得出相應(yīng)的結(jié)果，以此來證明出反論題的錯(cuò)誤。最后再依據(jù)排中律（見后面具體內(nèi)容），即反論題為假，則說明原命題是真的，從而完成原命題的證明。

由于反證法具有獨(dú)特的解題方法和思維特點(diǎn)，對(duì)于解題有很大的幫助。對(duì)于中學(xué)生來說，面對(duì)問題，大部分學(xué)生總是局限于固有的思維模式，習(xí)慣于從正面出發(fā)，從所給問題的已知條件推出結(jié)論。然而對(duì)于一些復(fù)雜難解的問題，從正面出發(fā)尋求問題的答案往往比較困難，這就需要從問題的反面入手，去分析問題、解決問題，這樣就會(huì)使得復(fù)雜的問題簡單化，從而得到正確的結(jié)論。因而熟知和掌握反證法的思維方式對(duì)于中學(xué)生的學(xué)習(xí)和成長起著至關(guān)緊要的地位。

2.反證法的來源

2.1.古希臘的反證法

反證法最早起源于古希臘，由于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的影響，倡導(dǎo)“一切事物都是整數(shù)”，其數(shù)學(xué)知識(shí)都是真實(shí)和確切的[2]。但是由于第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的爆發(fā)，隨著 的發(fā)現(xiàn)，使希臘人重新審視了他們自己的數(shù)學(xué)，從此以后他們對(duì)于以數(shù)作為基礎(chǔ)的幾何做出了摒棄的選擇。把計(jì)算當(dāng)做幾何證明之后的應(yīng)用，他們更加注重演繹和證明，指出了“不要近似”，也就是需要達(dá)到“明確的形式證明以及公理的使用”。

在此背景下，反證法這一概念慢慢被各種著作所提出。以下命題最初是由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid of Alexandria，約前公元330～約前275）在他的不朽著作《幾何原本》里給出的一個(gè)反證法，證明了“素?cái)?shù)有無窮多個(gè)”；歐多克斯（Eudoxus，約公元前400～約347年）利用反正法證明了“兩個(gè)多邊形的面積之比等于所對(duì)應(yīng)的線段之比的平方”、“最優(yōu)化原理”、“上帝并非全能”等問題。除此之外，匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞（Georgo Polya，1887～1985）在他的書《怎樣解題》中提出間接證明的數(shù)學(xué)方法是解決問題并發(fā)現(xiàn)問題的強(qiáng)有力的工具；英國數(shù)學(xué)家戈弗雷·哈羅德·哈代（Godfrey Harold Hardy，1877～1947）在他的作品《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》中曾提出反證法是“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”[3]，由此可見反證法對(duì)于我們解決問題有著非常重要的作用。

2.2中國古代的反證法

在中國古代的數(shù)學(xué)歷史進(jìn)程中，由于對(duì)數(shù)學(xué)的演繹及其論證不是很重視，而且中國傳統(tǒng)邏輯學(xué)并不是很完備，所以盡管人們對(duì)于邏輯推理法已經(jīng)有了一定程度的認(rèn)識(shí)，但是仍舊不是很完善，只是運(yùn)用了歸謬以及反駁。

墨子作為使用和總結(jié)歸謬法的創(chuàng)始者，其所含的邏輯力量，對(duì)其他百家學(xué)者有著深遠(yuǎn)的影響。此后孟子，莊子也都是運(yùn)用歸謬法的高手，他們等人都經(jīng)常利用歸謬法來推斷敵人言行中的荒謬之處，從而破壞敵人的詭辯。比如墨子談到“學(xué)之益也，說在誹者”其是通過證明“學(xué)習(xí)無益”的命題為假，以此才說明“學(xué)習(xí)有益”的命題為真。這就是反證法的一個(gè)例子[4]。又譬如魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其著作《九章算術(shù)注》中所利用的證偽法，推翻某些假命題，某些公式也運(yùn)用了反駁且是正確的，是符合邏輯推理的。

3.反證法的理論

3.1反證法的原理

反證法是從命題的反面出發(fā)，通過否定結(jié)論作出假設(shè)，利用原命題的已知條件以及一些真理、定理等來推理得出假設(shè)的謬誤之處，從而說明原命題為真。即如果原命題“若則”，則假設(shè)“若，則非”，證明得到“若，則非”為假，從而得出“若則”為真。

其邏輯依據(jù)是利用了亞里士多德的形式邏輯當(dāng)中的基本的思維規(guī)律，即“矛盾律”和“排中律”產(chǎn)生的。

（1）矛盾律

矛盾律又稱不矛盾律，是傳統(tǒng)邏輯的基本規(guī)律之一，是指人們處于相同的思維過程當(dāng)中，對(duì)于兩個(gè)矛盾或者反對(duì)的論斷并不能同時(shí)承認(rèn)他們兩個(gè)都是真命題，其中至少存在一個(gè)是假命題，假如違背了矛盾律的要求，則會(huì)導(dǎo)致前后思維的不統(tǒng)一，會(huì)產(chǎn)生自相矛盾的結(jié)果。其公式經(jīng)常被表示為必不非（一定不是非）或者“不即又非（不能即是又不是）”譬如這兩個(gè)命題：“我的矛可以刺穿世間所有的盾”；“我的盾可以抵擋世間所有的矛”。這兩個(gè)互相矛盾的判斷，兩者不能同時(shí)為真。

（2）排中律

排中律也是傳統(tǒng)形式邏輯的基本規(guī)律之一，是指在相同的邏輯思維當(dāng)中，對(duì)于兩個(gè)命題不可以同時(shí)都為假，其中必然有一個(gè)是真的。其公式經(jīng)常表示為“或者非”。如果違背了排中律，就會(huì)使得命題不明確，既不是真的，又不是假的，會(huì)使得命題模棱兩可。譬如“有些罪案是故意的”；“有些罪犯不是故意的”這兩個(gè)命題不可以同時(shí)加以否定。

3.2反證法的分類

在通常情況下，反正法經(jīng)常被我們分為兩大類。

第一類為歸謬反證，歸謬證明是反證法證明的核心部分，依據(jù)反證法的邏輯原理，如果原命題的反面僅有一種情形，那么只需要將這一種情形駁倒，就可以實(shí)現(xiàn)反證的目的，這就是所謂的歸謬反證[5]。

第二類為窮舉反證，就是假如原命題的反面不僅僅只有一種情況，那么就需要將其逐個(gè)駁倒，才能間接證明原命題的成立，這就是所謂的窮舉反證[5]。

需要注意的是要正確識(shí)別歸謬法與類比法，雖然歸謬法與類比法的論證模式幾乎相同，但論證的過程并不完全相同。相比于歸謬法，類比法的推理過程比較容易，直接通過個(gè)別導(dǎo)出個(gè)別。

4.反證法的應(yīng)用

反證法作為一種常見的數(shù)學(xué)證明方法，經(jīng)常應(yīng)用于從正面難以得到結(jié)論的題型，使用反證法就會(huì)使得問題變得清晰明了，快速地給出問題的答案。

4.1“否定性”命題

假如命題的結(jié)論是以“沒有”、“不能”、“不是”、“無”、“不存在”、“不可能”、“不能表示為”等詞語的形式表現(xiàn)，其運(yùn)用直接證明的方法難以進(jìn)行下去，則通過反證法用來證明可以使命題變得簡單。

例1? 證明函數(shù)不是周期函數(shù)。

分析：此題含有詞語“不是”，屬于否定性命題。題目看似簡單，但從正面入手比較復(fù)雜，而利用反證法通過將“不是”反設(shè)成“是”，會(huì)使解題思路簡單明了。

證明：假設(shè)是周期函數(shù)，且是的周期。

則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有，

即，

取，得，

∴? ? ? ?①

又取，有，

∴? ? ?②

將①帶入②得，與產(chǎn)生矛盾。

∴不是周期函數(shù)。

小結(jié)：關(guān)于否定性命題，如果直接從正面出發(fā)進(jìn)行證明會(huì)比較困難，則需要從逆向思維入手進(jìn)行反設(shè)證明會(huì)更加高效。對(duì)于原命題中的“不可能”反設(shè)成“可能”；“不是”反設(shè)成“是”；“無”反設(shè)成“有”；“沒有”反設(shè)成“有”；“不存在”反設(shè)成“存在”等等。

4. 2“唯一性”命題

對(duì)于唯一性命題的結(jié)論通常含有“唯一”，“只有”，“有且僅有”等詞語的形式表現(xiàn)，其運(yùn)用直接證明的方法總是比較困難，通常利用反證法。

例2? 有且僅有一個(gè)根。

分析：此題中含有詞語“有且僅有”，屬于“唯一性”命題，對(duì)命題的結(jié)論進(jìn)行反設(shè)時(shí)需要考慮“有根”和“至少有兩種根”這兩種情況，而根所對(duì)應(yīng)就是零點(diǎn)問題，再進(jìn)行求解。

證明：令，可以知道在上是增函數(shù)。

假設(shè)在上沒有零點(diǎn)或者至少有兩個(gè)零點(diǎn)。

若在上沒有零點(diǎn)，而，則根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可以得到在之間有一個(gè)零點(diǎn)，這與假設(shè)矛盾。

（2）若在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)這兩個(gè)零點(diǎn)為，（）。

根據(jù)假設(shè)可知，則根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可以得到，這與假設(shè)矛盾。

綜上所述，假設(shè)錯(cuò)誤，即在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即原命題成立。

小結(jié)：對(duì)于唯一性命題，需要具體問題具體分析，根據(jù)題設(shè)進(jìn)行分析，做出正確的假設(shè)，在進(jìn)行推理論證。例2證明“有且僅有一個(gè)根”需要假設(shè)成“存在兩個(gè)根”，而對(duì)于一些已知不明顯的題目，則需要根據(jù)題目進(jìn)行分析寫出已知求證。

4. 3“限定性”命題

所謂限定性命題，就是命題中出現(xiàn)譬如“至多”、“至少”、“最多有”、“最少有”、“不多于”、“大于（小于）”等詞語的形式表現(xiàn)。對(duì)于這類命題，反證法是最佳的解題方法，需要注意的是這類題目不太容易做出否定，所以要根據(jù)題目認(rèn)真思考做出合理的反設(shè)，在進(jìn)行解題。一些常見反設(shè)如下表 1。

例3? 設(shè)，，則與中至少有一個(gè)不小于2。

分析：此題含大于號(hào)，屬于限定性命題。除“正數(shù)”的限定條件外，關(guān)鍵在于“至少有一個(gè)”的限定。解題時(shí)可反設(shè)為“全都小于2”進(jìn)行推理，得出矛盾。

證明：假設(shè)且，

則有? ? ①

又∵，，

∴與①式矛盾。

因此假設(shè)不成立，故與中至少有一個(gè)不小于2。

小結(jié)：對(duì)于限定性命題也可稱為不等量命題，就是含有一些不等式的數(shù)學(xué)證明題目，這類命題經(jīng)常需要采用逆向思維可以簡單地得到問題的答案。例3中的所要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系并不明顯，所以由條件推出結(jié)論的條件不夠清晰，于是需要采用反證法。

4. 4基礎(chǔ)命題

所謂基礎(chǔ)命題，指的是數(shù)學(xué)證明中的基礎(chǔ)性問題，其含有一些定理、公理和一些所學(xué)知識(shí)的起步階段中的一些常識(shí)和某些基礎(chǔ)命題。在數(shù)學(xué)中，由于這類命題所給的已知條件并不多，且所能利用的公理并不多，所以難以從正面給出簡單高效的解題方式，因此可通過反正的方式進(jìn)行證明。

例4? 證明圓內(nèi)不是直徑的兩條弦不能互相平分。

圖 1

分析：此題題意簡單，從常規(guī)思維入手解題時(shí)所能借助的定理有限，屬于基本命題。可以從反面思考將“不能互相平分”，反設(shè)為“互相平分”。

證明：如圖1，假設(shè)所示的圓內(nèi)直徑與互相平分交于點(diǎn)。

∵在四邊形內(nèi)，對(duì)角線與互相平分交于點(diǎn)，

∴四邊形是平行四邊形。

又∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，

∴與互補(bǔ)。

又∵平行四邊形的對(duì)角相等，

∴，。

∴為直徑，則與假設(shè)產(chǎn)生矛盾。

故圓內(nèi)不是直徑的兩條弦不能互相平分。

小結(jié)：對(duì)于基本命題，由于推導(dǎo)過程中所能用的定理、公理等較少。選擇反證法是一個(gè)高效的方法。

5.結(jié)論

反證法作為一種間接證明的數(shù)學(xué)方法，是在某些題目從正面解答會(huì)變得困難甚至有可能解決不了的時(shí)，所采用的一種高效簡潔的方法。然而在日常的教學(xué)中，反證法教學(xué)也存在一定的難度。比如證明平行四邊形對(duì)角線互相平分。倘若利用反證法，存在著困難。而根據(jù)常規(guī)思路，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)，證明三角形全等，即可解題。所以在面對(duì)題目時(shí)，要結(jié)合實(shí)際情況，合理運(yùn)用反證法。

參考文獻(xiàn)：

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[5] 韓碩.反證法及其應(yīng)用的探討[J].經(jīng)貿(mào)實(shí)踐，2018（02）：335-336.

作者簡介：陳悅（2001— ），女，陜西咸陽人，安康學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2023屆畢業(yè)生，西安科技大學(xué)碩士研究生，研究方向：數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)應(yīng)用；趙臨龍（1960--），男，陜西西安人，安康學(xué)院二級(jí)教授，研究方向：數(shù)學(xué)教育.