隱函數(shù)求導(dǎo)在極值點偏移問題中的應(yīng)用

廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 李文東

隱函數(shù)屬于高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容,在高中階段也沒有隱函數(shù)求導(dǎo)的法則和相關(guān)的知識,但是在一些多變量的問題中,變量之間是相互制約的,這個時候可以將一些變量看作某個變量的函數(shù),但是這個函數(shù)的解析式卻又無法直接解出,這個時候我們稱之為隱函數(shù)[1].此時我們可以利用隱函數(shù)的相關(guān)知識去思考和求解,有時能夠使問題得到簡化.關(guān)于隱函數(shù)求導(dǎo),其本質(zhì)就是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的法則,因此對于沒有學(xué)過高等數(shù)學(xué)的高中生來講也是完全可以理解和接受的.下面舉例說明隱函數(shù)求導(dǎo)在極值點偏移問題中的運用.

一、一道高考題解法的統(tǒng)一性引發(fā)的思考

2021 新高考全國Ⅰ卷第22 題是一道典型的極值點偏移問題,題目如下:

例1已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)a,b為兩個不相等的正數(shù),且blna-alnb=a-b,證明: 2＜＜e.

這是典型的極值點偏移問題,其一般的證法是構(gòu)造函數(shù),具體過程如下:

不妨設(shè)m ＜n.由(1)知0＜m ＜1,1＜n ＜e,先證m+n ＞2.要證:m+n ＞2?n ＞2-m ?f(n)＜f(2-m)?f(m)＜f(2-m)?f(m)-f(2-m)＜0.令g(x)=f(x)-f(2-x),x ∈(0,1),則

g′(x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)]≥-ln 1=0,所以g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,所以g(x)＜g(1)=0,即m+n ＞2.再證m+n ＜e.因為m(1-lnm)=n· (1-lnn)＞ m,所以需證n(1-lnn) +n ＜e.令h(x)=x(1-lnx)+x,x ∈(1,e),所以h′(x)=1-lnx ＞0,故h(x)在區(qū)間(1,e)內(nèi)單調(diào)遞增.所以h(x)＜h(e)=e.故h(n)＜e,即m+n ＜e.

綜合可知2＜＜e.

上述證明雖然屬于證明極值點偏移問題的通性通法,但是對于2＜m+n ＜e 的證明需要分兩次構(gòu)造函數(shù),過程稍顯重復(fù)和繁瑣,結(jié)合f(x)=x(1-lnx) 的圖象不難得到: 若設(shè)f(m)=f(n)=t(0＜t ＜1),當(dāng)t →0時,m+n →e,當(dāng)t →1 時,m+n →2,而且對任意的t ∈(0,1),存在唯一的m ∈(0,1),n ∈(1,e) 與之對應(yīng),因此m,n為t的函數(shù).這啟發(fā)我們將m+n看作t的函數(shù),研究該函數(shù)的單調(diào)性即可.具體求解過程如下: 設(shè)f(m)=f(n)=t(0＜m ＜1＜n ＜e),即m(1-lnm)=n(1-lnn)=t(0＜t ＜1),對任意的t ∈(0,1),存在唯一的m ∈(0,1),n ∈(1,e) 與之對應(yīng),因此m,n為t的函數(shù).對等式m(1-lnm)=t兩邊對變量t求導(dǎo)(這里把m看作t的函數(shù),運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則即可) 得:m′(1-lnm)-m′=1,故m′=-,同理n′=

上述借助隱函數(shù)求導(dǎo)的方法一次性解決了2＜m+n ＜e 的證明問題,這為我們解決極值點偏移問題提供了新的思路.無獨有偶,筆者旁聽了2023 年廣東省青年教師技能大賽的說題過程,也是一道極值點偏移問題,題目如下:

例2已知函數(shù)f(x)=lnx-ax有兩個零點x1,x2,且x1＜x2.

(1)求a的取值范圍;

(2)證明:隨著a的增大而減小;

(3)證明:x1x2＞e2.

解(1)f(x)=lnx-ax=0? a=,設(shè)g(x)=,由g′(x)=知g(x) 在(0,e) 上單調(diào)遞增,在(e,+∞) 上單調(diào)遞減.并且當(dāng)x ∈(0,1] 時,g(x) ≤0;當(dāng)x ∈(1,+∞) 時,g(x)＞0.由已知x1,x2滿足a=g(x1)=g(x2).由此可得0＜ a ＜且1＜x1＜e＜x2.

對于第二問,22 位省青賽選手有4 位完全沒有解出,還有11 位選手直接將x1,x2轉(zhuǎn)化為直線y=a和g(x)=的交點橫坐標(biāo),然后根據(jù)g(x)=的圖象得出結(jié)果(容易看到當(dāng)a增大時,x1增大,而x2減小),直接以數(shù)形結(jié)合代替證明,卻并未給出嚴(yán)格的證明.剩下7 位選手有些證明也比較復(fù)雜.有一種將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言的證明如下:

至于第三問,評委們向部分選手提出了更一般的問題:x1x2會是a的單調(diào)函數(shù)嗎? 為此我們繼續(xù)采用隱函數(shù)求導(dǎo)的方式求解.設(shè)φ(a)=x1x2,則

從而φ′(a)＜0,x1x2隨著a的增大而減小,從而x1x2＞e2.

二、隱函數(shù)求導(dǎo)解決極值點偏移問題方法舉例

例3 (2023 年廣東大灣區(qū)一模第22 題) 已知函數(shù)f(x)=

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)a,b是兩個不相等的正數(shù),且a+lnb=b+lna,證明:a+b+lnab ＞2.

例4(2021 年汕頭一模)已知函數(shù)f(x)=x-lnx-a有兩個相異零點為x1,x2(x1＜x2).

(1)求a的取值范圍;

評注本題欲證的結(jié)果中含有參數(shù)a,不太容易處理,參考答案的做法是用x1-lnx1=a將a替換后構(gòu)造函數(shù),比較復(fù)雜,這里采用隱函數(shù)求導(dǎo),將含參數(shù)的極值點偏移問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的極值點偏移問題,證法比參考答案要簡單一些.

仿照例4 的做法,隱函數(shù)求導(dǎo)還可以用在拐點偏移的問題上.

例5已知函數(shù)f(x)=xlnx-+(a-1)x(a ∈R).

(1)若f(x)有兩個極值點x1,x2,求a的取值范圍;

(2)在(1)的條件下,證明:f(x1)+f(x2)＞2a-3.

因為f′(x1)=lnx1-x1+a=0,故φ′(a)=x1,同理δ(a)=f(x2),則δ′(a)=x2,設(shè)h(a)=f(x1)+f(x2)-2a+3,則h′(a)=x1+x2-2＞0,即h(a)在(1,+∞)上遞增,從而h(a)＞h(1)=0.

從上述問題看出,對于一些比較復(fù)雜的多變量的問題,我們不妨從隱函數(shù)的角度去思考求解有時會更容易(當(dāng)然不是所有的極值點偏移問題采用這種方法都容易),這樣可以加深對函數(shù)概念的理解,提高學(xué)生的思維水平.