指向生活實(shí)踐情境的近三年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題回顧與展望

南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院(210023) 曹雨花

鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(224002) 段志貴

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》(以下簡稱《課標(biāo)》)中明確提出,學(xué)生已儲(chǔ)備的數(shù)學(xué)認(rèn)知和社會(huì)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)尤為重要.相較于導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等模塊的測(cè)評(píng),概率與統(tǒng)計(jì)試題具有明顯的情境特征.它們大多以生活實(shí)踐情境為背景,要求學(xué)生能夠從復(fù)雜的問題情境中抽象出數(shù)學(xué)問題,并建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決,最終將數(shù)學(xué)問題的解還原為現(xiàn)實(shí)問題的解釋或決策.近年來,許多學(xué)者從問題情境、綜合難度、知識(shí)考查、統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、關(guān)鍵能力等維度對(duì)高考概率與統(tǒng)計(jì)試題進(jìn)行了研究[1][2][3],雖然都考慮了情境維度,但尚未能對(duì)生活實(shí)踐情境進(jìn)行更深入全面的分析.本研究基于近三年全國高考數(shù)學(xué)新高考卷、全國卷和地方卷(包括北京卷、上海卷、天津卷、浙江卷,以下簡稱“地方卷”),對(duì)面向生活實(shí)踐情境的高考概率與統(tǒng)計(jì)試題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,以更充分地把握生活實(shí)踐情境下的高考數(shù)學(xué)命題規(guī)律,探索高考數(shù)學(xué)命題趨勢(shì).

1 生活實(shí)踐情境與高考數(shù)學(xué)試題取材

近幾年來高考數(shù)學(xué)試題不僅考查學(xué)生對(duì)基本數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理的應(yīng)用以及簡單的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算,更加注重?cái)?shù)學(xué)與社會(huì)生活的聯(lián)系,體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用性和社會(huì)價(jià)值,生活實(shí)踐情境成為實(shí)現(xiàn)高考“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”的綜合考查載體.高考概率與統(tǒng)計(jì)試題的設(shè)計(jì),正如專家所說,正在一步步走向“豐富試題背景”,在試題考查中“讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活,數(shù)學(xué)能夠回歸生活,從而養(yǎng)成應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的習(xí)慣”[4].

1.1 高考數(shù)學(xué)試題中的情境創(chuàng)設(shè)

《課標(biāo)》在“學(xué)業(yè)水平考試與高考命題建議”中明確提出:在命題中,選擇合適的問題情境是考查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體.《中國高考評(píng)價(jià)體系》也指出要培養(yǎng)的“學(xué)科素養(yǎng)”就是在面對(duì)生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索情境時(shí),能夠在正確的思想價(jià)值觀念指導(dǎo)下,合理運(yùn)用科學(xué)的思維方法,有效整合學(xué)科相關(guān)知識(shí),運(yùn)用學(xué)科相關(guān)能力,高質(zhì)量地認(rèn)識(shí)問題、分析問題、解決問題的綜合品質(zhì).

近年來高考數(shù)學(xué)試題中生活實(shí)踐情境出現(xiàn)的頻率愈來愈高,尤其側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用,將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)踐聯(lián)系的能力.相關(guān)研究表明,引領(lǐng)學(xué)生解決的數(shù)學(xué)問題越貼近他們的生活實(shí)踐,越能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性與主體性,也更能幫助他們理解和掌握抽象的數(shù)學(xué)知識(shí).高考數(shù)學(xué)試題通過創(chuàng)設(shè)生活實(shí)踐情境,將學(xué)科問題直接融入到學(xué)生熟悉的日常生活情境中,讓學(xué)生通過不斷地提取、梳理和加工相關(guān)信息,綜合運(yùn)用知識(shí)技能來分析和解決學(xué)科問題.試題中的生活實(shí)踐情境大多選取貼近時(shí)代、貼近社會(huì)、貼近生活的素材,讓學(xué)生體會(huì)到理論知識(shí)在日常實(shí)踐活動(dòng)中應(yīng)用價(jià)值的同時(shí),培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用理論知識(shí)和實(shí)踐能力的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),對(duì)學(xué)生素質(zhì)的全面發(fā)展具有積極意義.

1.2 高考數(shù)學(xué)試題中的情境分類

“無情境,不成題”.當(dāng)前高考特別強(qiáng)調(diào)試題情境的創(chuàng)設(shè).這里的試題情境,亦即問題情境,指的是以問題或任務(wù)為中心構(gòu)成的活動(dòng)場域.通過試題情境的創(chuàng)設(shè),考查學(xué)生把新信息和記憶中儲(chǔ)存的信息進(jìn)行相互關(guān)聯(lián)或重新組合,以尋找較復(fù)雜情境下面臨問題的解決方案.高考評(píng)價(jià)體系將情境視為實(shí)現(xiàn)“四層”考查內(nèi)容和“四翼”考查要求的載體,讓學(xué)生在真實(shí)背景下發(fā)揮核心價(jià)值的引領(lǐng)作用,運(yùn)用必備知識(shí)和關(guān)鍵能力去解決實(shí)際問題,全面綜合展現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng)水平.

基于知識(shí)應(yīng)用和產(chǎn)生方式的不同,《中國高考評(píng)價(jià)體系》將命題情境分為學(xué)習(xí)探索情境與生活實(shí)踐情境.有專家提出生活實(shí)踐情境通常包括日常生活、工業(yè)生產(chǎn)、國家發(fā)展、社會(huì)進(jìn)步等實(shí)際問題[5].也有學(xué)者則提出生活實(shí)踐情境是指選取的情境材料來自于日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)(包括衣食住行、醫(yī)療衛(wèi)生、文體娛樂、生產(chǎn)制造、經(jīng)濟(jì)發(fā)展等方面)[6].還有專家根據(jù)問題的來源不同,將生活實(shí)踐情境分為跨學(xué)科情境、生產(chǎn)實(shí)際情境、現(xiàn)實(shí)生活情境三類[7].綜合以上觀點(diǎn),本研究將高考概率與統(tǒng)計(jì)試題有關(guān)生活實(shí)踐情境劃分為兩類五種.一是社會(huì)生活類情境,主要涵蓋與人們?nèi)粘Ｉ盥?lián)系比較緊密的衣食住行、醫(yī)療衛(wèi)生、文體娛樂等三種背景;二是生產(chǎn)實(shí)踐類情境,主要包括關(guān)聯(lián)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的生產(chǎn)制造、經(jīng)濟(jì)發(fā)展兩種背景,如圖1 所示.

圖1 指向生活實(shí)踐情境的高考試題分析框架

2 高考概率與統(tǒng)計(jì)生活實(shí)踐情境類試題回顧

概率與統(tǒng)計(jì)作為中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)中較為重要的一部分,它是處理或然與必然問題的重要工具,已經(jīng)滲透到我們?nèi)粘Ｉ詈同F(xiàn)代社會(huì)工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的各個(gè)方面.隨著概率與統(tǒng)計(jì)的不斷推廣和實(shí)踐應(yīng)用,它在高考數(shù)學(xué)中的考查形式得到了拓展,各類知識(shí)點(diǎn)的考查都在更多地融入生活實(shí)踐情境.由此我們選取了近三年高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)這一內(nèi)容領(lǐng)域,進(jìn)行深入地統(tǒng)計(jì)與剖析.

2.1 近三年概率與統(tǒng)計(jì)試題基本樣態(tài)

2.1.1 試題題型與分值

近三年來新高考卷、全國卷和地方卷中有關(guān)生活實(shí)踐情境類概率與統(tǒng)計(jì)試題的題型與分值分布情況,如表1 所示.

表1 近三年高考概率與統(tǒng)計(jì)生活實(shí)踐情境類試題題型與分值統(tǒng)計(jì)

試卷中生活實(shí)踐情境類概率與統(tǒng)計(jì)試題的分值逐年增加,大多分布在單選題與主觀題部分,多選題與填空題較少涉及.從考查合計(jì)分值以及每年試卷平均分值來看,近三年生活實(shí)踐情境下的概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的考查愈來愈受到重視,2023 年試卷平均考查分值達(dá)17 分.在題型分布上,可以看到每年各類試卷都會(huì)設(shè)置單選題和解答題進(jìn)行考查,只有新高考卷設(shè)置了多選題,并在該題型中僅考查過一次.填空題的考查分值地方卷最高,此外地方卷中北京卷的題型設(shè)置仍只包括解答題,天津卷只設(shè)置單選題和填空題,浙江卷則僅設(shè)置填空題,并且在2023 年改革不再自主命題.上海卷在2023年打破以填空題為主要考查形式的傳統(tǒng),開始設(shè)置單選題和解答題.由此可見生活實(shí)踐情境越來越成為高考試題背景設(shè)置的重要載體.

2.1.2 考查知識(shí)點(diǎn)分布

近三年來有關(guān)新高考卷、全國卷和地方卷中的生活實(shí)踐情境類概率與統(tǒng)計(jì)試題考查知識(shí)點(diǎn)分布,我們結(jié)合題型進(jìn)行統(tǒng)計(jì),如表2 所示.

從表2 中的考查知識(shí)來看,分布比較均勻.在近三年高考中概率和統(tǒng)計(jì)均有涉及,考查的內(nèi)容沒有太大變化,基本上以基礎(chǔ)知識(shí)為主,此外也有一些結(jié)合其他模塊知識(shí)的綜合考查,重要內(nèi)容年年考,次要內(nèi)容輪流考.“概率”部分主要考查獨(dú)立事件、古典概型、離散型隨機(jī)變量的分布列及期望等知識(shí)點(diǎn);“統(tǒng)計(jì)”部分則主要考查統(tǒng)計(jì)圖、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、樣本估計(jì)總體以及獨(dú)立性檢驗(yàn)等;此外還有不少對(duì)排列組合的考查.而對(duì)主、客觀題的考點(diǎn)分布進(jìn)行比較,可以發(fā)現(xiàn)客觀題重點(diǎn)考查古典概型、排列組合、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征等基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn),主觀題考查的知識(shí)點(diǎn)主要是離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、獨(dú)立事件、獨(dú)立性檢驗(yàn)等,對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的考查愈加深入,注重考查學(xué)科知識(shí)的融合性.

2.1.3 試題情境來源

表2 近三年高考概率與統(tǒng)計(jì)生活實(shí)踐情境類試題考查知識(shí)點(diǎn)分布

對(duì)近三年指向生活實(shí)踐情境的概率與統(tǒng)計(jì)試題情境來源進(jìn)行統(tǒng)計(jì),如表3 所示.

表3 近三年高考概率與統(tǒng)計(jì)生活實(shí)踐情境類試題情境來源

基于對(duì)近三年高考試題生活實(shí)踐情境背景的分析,不難發(fā)現(xiàn)相關(guān)素材涉及生活實(shí)踐的各個(gè)方面,以學(xué)生比較熟悉的實(shí)際應(yīng)用性問題為重要載體.主要選取日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)(包括衣食住行、醫(yī)療衛(wèi)生、文體娛樂、生產(chǎn)制造、經(jīng)濟(jì)發(fā)展等方面)為背景,其中以學(xué)生學(xué)習(xí)生活中接觸最為密切的文體娛樂活動(dòng)占比最大,充分結(jié)合高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),設(shè)計(jì)指向生活實(shí)踐情境的試題,涉及到的概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)范圍較為寬泛.主要考查學(xué)生將生活實(shí)踐背景抽象為統(tǒng)計(jì)語言,由此去分析和解決問題,這也充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值.

2.2 近三年概率與統(tǒng)計(jì)試題情境解析

依據(jù)生活實(shí)踐情境下試題情境來源的不同,我們對(duì)近三年概率與統(tǒng)計(jì)典型試題的相關(guān)情境進(jìn)行分析.

2.2.1 衣食住行類情境

不難發(fā)現(xiàn),衣食住行類情境大多是以增加生活便利、維護(hù)生存環(huán)境的實(shí)際問題作為背景.

例1(2022 年高考全國甲卷(理科)第2 題)某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果,隨機(jī)抽取10 位社區(qū)居民,讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷,這10 位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖:

則().

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于講座后正確率的中位數(shù)

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于講座前正確率的平均數(shù)

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

分析大力推行垃圾分類制度,關(guān)系到我國人民生活環(huán)境的改善,是推動(dòng)形成綠色生活方式的一場革命.本題以普及垃圾分類知識(shí)的公益講座為背景,考查散點(diǎn)圖與數(shù)據(jù)的數(shù)字特征等知識(shí),有助于學(xué)生形成正確的垃圾分類觀念,提升保護(hù)環(huán)境、降低垃圾處理成本的素質(zhì)和意識(shí).從散點(diǎn)圖中講座前后居民回答正確率的明顯提升可以看出,知識(shí)普及類的培訓(xùn)講座能夠明顯改善居民對(duì)垃圾分類知識(shí)的掌握情況,從而提升居民環(huán)境保護(hù)意識(shí),從數(shù)學(xué)視角驗(yàn)證了舉辦公益講座的社會(huì)價(jià)值.

2.2.2 醫(yī)療衛(wèi)生類情境

以醫(yī)療衛(wèi)生為背景的試題,大多選用疾病與流行病調(diào)查、臨床試驗(yàn)等與我們身體健康息息相關(guān)的實(shí)際問題.

例2(2023 年新高考ⅠⅠ卷第19 題)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,經(jīng)過大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布,以事件發(fā)生的頓率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí),求臨界值c和誤診率q(c);

(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c),當(dāng)時(shí)c ∈[95,105],求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.

分析本題以某種疾病患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)設(shè)置情境,屬于醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)中的重點(diǎn)研究問題之一,試題對(duì)頻率分布直方圖、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征等概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)與函數(shù)等其他領(lǐng)域的知識(shí)進(jìn)行了交互性考查.考查學(xué)生利用生活實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)確定臨界值,從而制定合理的檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)在醫(yī)療衛(wèi)生方面的應(yīng)用性.考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).題目考查的知識(shí)點(diǎn)屬于“應(yīng)知應(yīng)會(huì)”的基礎(chǔ)內(nèi)容,運(yùn)算過程和運(yùn)算量也較為簡單合理,以現(xiàn)實(shí)背景、簡單問題考查學(xué)生的思維品質(zhì),體現(xiàn)新時(shí)代高考改革取向.

2.2.3 文體娛樂類情境

近三年以文體娛樂活動(dòng)為背景的概率與統(tǒng)計(jì)試題相對(duì)較多,考查的問題貼合生活實(shí)際,與學(xué)生的認(rèn)知水平相契合,學(xué)生能夠以知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去挖掘現(xiàn)實(shí)問題中的數(shù)學(xué)本質(zhì),提升數(shù)學(xué)思維.

例3(2023 年新高考Ⅰ卷第21 題)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下: 若命中則此人繼續(xù)籃,若末命中則換為對(duì)方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選,第1 次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2 次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

(3)已知: 若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,···,n,則記前n次(即從第1 次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y,求E(Y).

分析近三年來以體育比賽為背景的概率與統(tǒng)計(jì)試題常考常新.這類試題貼近生活實(shí)際,情境易于理解,能夠聚焦于概率與統(tǒng)計(jì)本質(zhì)的考查,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)解決日常生活問題的必要性與應(yīng)用價(jià)值,有助于指導(dǎo)學(xué)生的生活實(shí)踐活動(dòng).本題綜合考查了全概率公式、相互獨(dú)立事件、數(shù)列遞推關(guān)系以及兩點(diǎn)分布等知識(shí),考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)不同內(nèi)容領(lǐng)域知識(shí)的能力.

2.2.4 生產(chǎn)制造類情境

近三年以生產(chǎn)制造作為命題情境的高考試題,一般難度不大,多以對(duì)比分析為背景.

例4(2023 年高考全國乙卷(理科)第17 題)某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng),進(jìn)行10 次配對(duì)試驗(yàn),每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品,隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理,另一個(gè)用乙工藝處理,測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi,yi(i=1,2,···,10).試驗(yàn)結(jié)果如下:

記zi=xi-yi(i=1,2,···,10),記z1,z2,···,z10的樣本平均數(shù)為樣本方差為s2.

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高.

分析工藝效果的提升對(duì)產(chǎn)品生產(chǎn)至關(guān)重要,通過抽樣選取產(chǎn)品樣本去判斷不同工藝處理手段對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量提升的效果,需要運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)和工具,尤其是概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí).本題以兩種工藝處理下橡膠伸縮率的提升為背景,主要考查數(shù)據(jù)的數(shù)字特征和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想,考查學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)與靈活運(yùn)用統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)分析、解決問題的能力.此外可以明顯看出該題參考了2021 年高考乙卷理科的第17 題,難度或命題模式極為相近.

2.2.5 經(jīng)濟(jì)發(fā)展類情境

對(duì)于表3 中以經(jīng)濟(jì)發(fā)展為背景的試題,可以發(fā)現(xiàn)素材十分廣泛,不僅包括經(jīng)濟(jì)發(fā)展現(xiàn)狀,更是常常選取經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展下國家舉辦的各種重大活動(dòng).

例5(2021 年高考全國甲卷(理科)第2 題)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況,對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖:

根據(jù)此頻率分布直方圖,下面結(jié)論中不正確的是().

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5 萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5 萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5 萬元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶,其家庭年收入介于4.5 萬元至8.5 萬元之間

分析本題以我國全面建成小康社會(huì),獲得脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)的全面勝利為背景,給出某地農(nóng)戶家庭收入情況調(diào)查數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖.引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注我國社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展現(xiàn)狀,關(guān)心脫貧問題,增強(qiáng)對(duì)國家不斷發(fā)展進(jìn)步,人民日益獲得美好幸福生活的認(rèn)同感和信念感,樹立為社會(huì)主義事業(yè)、民族振興、人民幸福做貢獻(xiàn)的責(zé)任意識(shí).本題考查利用樣本的頻率分布直方圖估計(jì)總體的頻率分布和平均值,要求對(duì)圖形中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和計(jì)算,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)以及數(shù)形結(jié)合的思想,引導(dǎo)學(xué)生在國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題,應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí).

3 生活實(shí)踐情境下的概率與統(tǒng)計(jì)試題特點(diǎn)

基于上述回顧與分析,我們總結(jié)出近三年指向生活實(shí)踐情境的概率與統(tǒng)計(jì)試題有以下三個(gè)特點(diǎn).

3.1 生活化素材立意

不難發(fā)現(xiàn),近三年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題多選取緊貼學(xué)生生活實(shí)際的生活化素材,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.譬如選擇題中2023 年高考全國乙卷理科第7 題、2022 新高考ⅠⅠ卷第5題等以課外讀物選讀、文藝匯演等情境考查經(jīng)典的排列組合問題,解答題中2022 年高考北京卷第18 題、2021 年新高考Ⅰ卷第18 題等重視離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)融入校運(yùn)動(dòng)會(huì)、知識(shí)競賽這類與學(xué)生學(xué)校生活密切相關(guān)的情境.總體來看,試題中生活化素材的選取都具有廣泛的教育意義,指向?qū)W生德智體美勞全面發(fā)展與素養(yǎng)提升,引導(dǎo)學(xué)生形成正確的人生觀、價(jià)值觀與世界觀.考查學(xué)生從生活化背景中提取數(shù)學(xué)問題,并對(duì)問題進(jìn)行建模和推理轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng),體現(xiàn)高考概率與統(tǒng)計(jì)試題設(shè)計(jì)生活化的趨勢(shì).

3.2 真實(shí)性問題解決

近三年的概率與統(tǒng)計(jì)試題密切聯(lián)系學(xué)生生活實(shí)踐中的各種真實(shí)性問題,考查學(xué)生將生活實(shí)踐情境中的真實(shí)性問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決的關(guān)鍵能力,充分引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注生活實(shí)際,理解數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值,培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的創(chuàng)造力和思考力.比如2021 年新高考Ⅰ卷第18 題,以與學(xué)生實(shí)際生活聯(lián)系比較密切的知識(shí)競賽為背景,要求學(xué)生計(jì)算出相應(yīng)的概率及數(shù)學(xué)期望,并判斷“先答哪一類題”累計(jì)積分的期望最大,可見高考對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)的考查并非只停留在計(jì)算的層面,更強(qiáng)調(diào)能夠利用計(jì)算結(jié)果為決策提出關(guān)鍵性的依據(jù)驗(yàn)證,從而為解決真實(shí)性問題提供較為科學(xué)的決策建議.

3.3 跨學(xué)科交叉融合

近三年的高考試題除了對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的單獨(dú)考查以及與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合考查,也很關(guān)注跨學(xué)科知識(shí)點(diǎn)的交叉融合.如2022 全國乙卷第10 題與2023 天津卷第7 題,分別將概率統(tǒng)計(jì)與不等式、函數(shù)知識(shí)融入下棋比賽與花萼種群的情境進(jìn)行交互考查,2023 新高考Ⅰ卷第21 題在體育比賽背景中進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列知識(shí)的融合考查.對(duì)試題進(jìn)一步分析還能發(fā)現(xiàn),概率與統(tǒng)計(jì)的跨學(xué)科試題大多是與物理、生物的結(jié)合,例如2023 新高考Ⅱ卷第12 題多選題以信號(hào)傳輸為背景,與物理知識(shí)進(jìn)行交互,2021 新高考Ⅱ卷第21 題與微生物繁殖的生物知識(shí)進(jìn)行融合,都需要學(xué)生結(jié)合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)及思想方法去分析和解決問題.這些試題重視優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)、培養(yǎng)核心素養(yǎng),體現(xiàn)了對(duì)知識(shí)交互、能力復(fù)合、素養(yǎng)全面的綜合性考查要求.

4 指向生活實(shí)踐情境的概率與統(tǒng)計(jì)試題展望

依據(jù)對(duì)試題的統(tǒng)計(jì)與特點(diǎn)總結(jié),不難預(yù)測(cè)未來高考概率與統(tǒng)計(jì)模塊將進(jìn)一步加強(qiáng)生活實(shí)踐情境試題的命制,并呈現(xiàn)以下趨勢(shì).

4.1 豐富情境背景,關(guān)注科技發(fā)展

當(dāng)前跨學(xué)科學(xué)習(xí)倍受重視,高考數(shù)學(xué)中的概率與統(tǒng)計(jì)跨學(xué)科試題一樣也可能越來越受到關(guān)注.生活實(shí)踐情境作為數(shù)學(xué)試題命制的重要背景,其應(yīng)用性較為廣泛,遍布人文社會(huì)科學(xué)類和工程技術(shù)科學(xué)類.概率與統(tǒng)計(jì)試題理應(yīng)打破數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的界限,豐富跨學(xué)科情境,深入挖掘其在不同學(xué)科中的應(yīng)用價(jià)值.不難預(yù)見,未來指向生活實(shí)踐情境的高考概率與統(tǒng)計(jì)試題的命制將會(huì)更加注重科技背景的融入.通過聚焦科技發(fā)展與中華民族復(fù)興、與社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展以及日常生活的關(guān)聯(lián),引領(lǐng)學(xué)生在提升數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的同時(shí),著意提升適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的科學(xué)意識(shí)和科學(xué)品質(zhì).

以科技發(fā)展為背景的試題,并非遠(yuǎn)離生活實(shí)踐中的情境.事實(shí)上,我們身邊有大量的科技背景可以作為試題命制的素材.可以將不少國家科技創(chuàng)新成果,譬如國產(chǎn)手機(jī)芯片在5G技術(shù)上的新突破,或是智能機(jī)器人在我們生活各個(gè)方面的應(yīng)用等貼近學(xué)生生活的情境,作為背景融入數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)等跨學(xué)科情境的概率與統(tǒng)計(jì)試題中,讓學(xué)生更加真切地感受數(shù)學(xué)在科技發(fā)展中的作用.未來數(shù)學(xué)與多門學(xué)科的融合不僅能夠使跨學(xué)科試題的學(xué)科分布更趨均衡,而且能使試題的知識(shí)分布更廣.

4.2 貼近真實(shí)問題,激活基礎(chǔ)知識(shí)

數(shù)學(xué)來源于生活,又服務(wù)于生活.基于生活實(shí)踐情境的命題最基本的共識(shí)是所有的試題情境都必須真實(shí)可靠.對(duì)近三年高考試題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與分析,可以預(yù)見未來高考概率與統(tǒng)計(jì)的考查仍會(huì)以數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為核心,更加重視設(shè)置貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活的真實(shí)問題,與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平相適應(yīng),調(diào)動(dòng)學(xué)生解決問題的積極性和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)考查的實(shí)際應(yīng)用性,進(jìn)一步落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)和高考改革命題要求.

在試題情境的設(shè)計(jì)上,可以適度變化,關(guān)注真實(shí)問題,既可以選取貼近學(xué)生學(xué)習(xí)生活的背景,也可以從現(xiàn)代生活發(fā)展進(jìn)步的進(jìn)程中挖掘具有育人價(jià)值的真實(shí)問題;此外不僅可以選取數(shù)學(xué)背景下的真實(shí)問題,還可以從其他學(xué)科的真實(shí)問題中挖掘數(shù)學(xué)問題.命題時(shí)注意選取適宜的素材,呈現(xiàn)現(xiàn)實(shí)問題或是再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)或理論的來源背景,讓學(xué)生能夠立足真實(shí)問題,靈活運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)去分析和解決問題,發(fā)揮數(shù)學(xué)試題的育人價(jià)值和導(dǎo)向作用.

4.3 緊跟時(shí)代熱點(diǎn),引領(lǐng)核心價(jià)值

為誰培養(yǎng)人、培養(yǎng)什么樣的人以及如何培養(yǎng)人是高考數(shù)學(xué)命題必須遵循的一條準(zhǔn)則.事實(shí)上,生活實(shí)踐情境素材的呈現(xiàn),可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和正確的核心價(jià)值觀.未來概率與統(tǒng)計(jì)試題的命制應(yīng)當(dāng)重視密切聯(lián)系當(dāng)前重大時(shí)事熱點(diǎn),可以選取有積極導(dǎo)向的國家重大活動(dòng)作為背景材料,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)各種重大事件、社會(huì)焦點(diǎn)問題與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互關(guān)系,樹立正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀.

事實(shí)上,對(duì)于不同類型的概率與統(tǒng)計(jì)試題,都可以將各種社會(huì)熱點(diǎn)融入其中.比如,可以將一些國家盛大體育賽事舉辦地的旅游景點(diǎn)人流量作為熱點(diǎn)融入衣食住行為背景的情境,考查頻率分布直方圖、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征等知識(shí);可以將國產(chǎn)企業(yè)產(chǎn)品創(chuàng)新升級(jí)帶動(dòng)的消費(fèi)熱潮作為經(jīng)濟(jì)發(fā)展背景設(shè)計(jì)試題,考查離散型隨機(jī)變量分布列及期望等知識(shí),展現(xiàn)我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展新活力;可以以各類社會(huì)盛大文體娛樂活動(dòng)為背景,考查古典概型、排列組合、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí).像這樣將試題與現(xiàn)實(shí)熱點(diǎn)緊密結(jié)合,能夠讓學(xué)生深切體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值,更充分地激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,調(diào)動(dòng)他們學(xué)好數(shù)學(xué)的熱情.

4.4 滲透社會(huì)文化,導(dǎo)向綜合素養(yǎng)

鑒于高考數(shù)學(xué)其他知識(shí)領(lǐng)域(如數(shù)列、函數(shù)、幾何等方面)的試題中傳統(tǒng)文化背景的應(yīng)用較多,在未來高考概率與統(tǒng)計(jì)試題的命制中也應(yīng)同步跟進(jìn)傳統(tǒng)文化活動(dòng)的融入.諸如,“相同生日”問題、“高爾頓板”游戲等富有生活氣息的文化活動(dòng),未來都可能進(jìn)入高考試題作為背景資源.在概率與統(tǒng)計(jì)的社會(huì)文化試題設(shè)計(jì)中,可以選取不同類型的文化活動(dòng)情境作為背景以促進(jìn)學(xué)生文化素養(yǎng)的提升.

概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容與社會(huì)文化,尤其是與人們?nèi)粘＝煌⑸願(yuàn)蕵返任幕顒?dòng)之間存在著天然的聯(lián)系,為社會(huì)文化融入高考試題提供了相對(duì)容易的切入點(diǎn).因此,概率與統(tǒng)計(jì)試題的命制,應(yīng)加強(qiáng)以社會(huì)文化為載體,可以設(shè)置現(xiàn)代生活中具有積極意義的社會(huì)文化現(xiàn)象或活動(dòng)作為情境,促進(jìn)學(xué)生真切理解“數(shù)學(xué)源于生活,高于生活,并且最終服務(wù)于生活”,培養(yǎng)學(xué)生的人文素養(yǎng)和正確的價(jià)值取向;還可以設(shè)置一些數(shù)學(xué)史相關(guān)的傳統(tǒng)文化試題,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與實(shí)踐能力,并注意不同類型文化活動(dòng)背景設(shè)置的合理性,全方位多層次地考查學(xué)生的綜合素養(yǎng),落實(shí)立德樹人的培養(yǎng)目標(biāo).