考慮光壓力和熱載荷的太陽(yáng)帆薄膜力學(xué)行為分析

陳金鐸，史愛(ài)明，樊世超

（1.西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，西安 710072；2.北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京 100094）

0 引言

太陽(yáng)帆利用帆面反射太陽(yáng)光獲取光壓力，實(shí)現(xiàn)光壓加速。為提高帆面光壓-引力比，太陽(yáng)帆薄膜厚度低至10 μm 量級(jí)，導(dǎo)致薄膜穩(wěn)定性降低。Dowell 構(gòu)建了太陽(yáng)帆膜在光壓力作用下的運(yùn)動(dòng)方程，通過(guò)類比壁板氣動(dòng)彈性控制方程，指出光壓力誘導(dǎo)薄膜顫振［1］。

根據(jù)Dowell［1］與Macneal［2］推導(dǎo)，作用于薄膜的光壓力分為切向光壓力和法向光壓力，前者與薄膜形變呈線性關(guān)系，后者獨(dú)立于薄膜形變。Dowell 在其論文中指出，對(duì)于線性結(jié)構(gòu)模型，法向光壓力不影響薄膜顫振邊界，但未考慮法向光壓力對(duì)薄膜力學(xué)行為影響。Chen 等［3］沿用線性結(jié)構(gòu)模型描述薄膜形變，通過(guò)光壓力的電磁波模型，指出光壓力與薄膜厚度耦合，因此薄膜的光壓彈性問(wèn)題與壁板氣動(dòng)彈性問(wèn)題存在差異。相關(guān)太陽(yáng)帆薄膜力學(xué)行為研究也通?；诰€性結(jié)構(gòu)模型描述薄膜形變［4-5］。在Chen 等［3］論文中指出，法向光壓力導(dǎo)致薄膜形成大幅值靜變形。線性結(jié)構(gòu)模型不能考慮薄膜大變形導(dǎo)致的幾何非線性。利用von Kármán 大變形理論描述壁板形變時(shí)，作用于壁板的靜壓差顯著增大壁板顫振的臨界動(dòng)壓［3，6-7］。類比氣動(dòng)彈性壁板非線性動(dòng)力學(xué)方程，作用于薄膜的法向光壓力在數(shù)學(xué)形式上等價(jià)于施加在壁板的靜壓差。因此，使用von Kármán大變形理論描述薄膜形變時(shí)，法向光壓力是影響薄膜力學(xué)行為的關(guān)鍵物理量。

光輻射熱是航天器普遍面臨的問(wèn)題。受日蝕影響，近地軌道航天器所受太陽(yáng)輻射呈現(xiàn)周期性變化［8-13］，航天器由陰影區(qū)進(jìn)入光照區(qū)時(shí)，作用于航天器的光輻射熱載荷會(huì)激發(fā)太陽(yáng)翼［12］、太陽(yáng)帆支桿［10］等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。此外，深空探測(cè)太陽(yáng)帆需接近太陽(yáng)獲取更大光壓力［14］，在此過(guò)程中，太陽(yáng)帆所受太陽(yáng)輻射逐漸增大形成光輻射熱載荷，導(dǎo)致薄膜穩(wěn)定性降低［15-18］，并影響薄膜非線性振動(dòng)特性。

本文基于von Kármán 大變形理論描述薄膜結(jié)構(gòu)，耦合光壓力與熱載荷，考察太陽(yáng)帆薄膜的力學(xué)行為特性。

1 模型構(gòu)建

1.1 光壓模型

考慮圖1 所示薄膜模型，x，z分別表示沿薄膜長(zhǎng)度方向和厚度方向的坐標(biāo)，薄膜長(zhǎng)為a，厚度為h。薄膜兩端夾緊于兩側(cè)支桿［3，4，19］。薄膜橫向位移記為w，作用于薄膜的光壓力包含與薄膜形變相關(guān)的切向光壓力

圖1 薄膜光壓載荷和熱載荷模型Fig.1 Solar pressure load and thermal load model applied on membrane

以及與薄膜形變無(wú)關(guān)的法向光壓力

式中：S0表示入射太陽(yáng)輻射通量；R表示薄膜反射率；γ表示太陽(yáng)輻射入射角；c表示光速。作用于薄膜總光壓力為切向光壓力與法向光壓力的矢量和，其中太陽(yáng)帆依靠法向光壓力實(shí)現(xiàn)光壓推進(jìn)。

1.2 光熱模型

除反射太陽(yáng)輻射外，太陽(yáng)帆薄膜會(huì)吸收部分太陽(yáng)輻射，進(jìn)而加熱薄膜形成熱載荷。薄膜在吸收太陽(yáng)輻射同時(shí)向外進(jìn)行熱輻射，如圖1（b）所示。薄膜溫度可基于熱量平衡條件導(dǎo)出。薄膜對(duì)太陽(yáng)輻射吸收率記為A，可得薄膜吸收輻射通量為qin=S0Acosγ。薄膜向外熱輻射滿足Stefan-Boltzmann 定律q=?σT4，其中?為熱輻射系數(shù)，σ和T分別為Stefan-Boltzmann 常數(shù)和薄膜溫度，且有σ=5.67×10-8W·m-2·K-4。太陽(yáng)帆薄膜通常在薄膜基底上增加金屬鍍層以增大薄膜反射率［20］，如圖1（b）所示，因此設(shè)薄膜鍍層與基底具有不同的熱輻射系數(shù)，計(jì)算中取?c=0.81，?s=0.86，下標(biāo)c 和s 分別表示薄膜鍍層和基底。

設(shè)薄膜溫度沿薄膜表面均勻分布。由于太陽(yáng)帆薄膜很小的薄膜厚度（10 μm 量級(jí)［1，3-4］），因此設(shè)薄膜溫度沿薄膜厚度同樣均勻分布。根據(jù)熱量平衡條件，吸收的太陽(yáng)輻射通量等于薄膜向外輻射通量［21］，即

由式（3）可得在熱量平衡條件下，薄膜溫度為

由上式可知，太陽(yáng)輻射通量變化導(dǎo)致薄膜溫度改變。記薄膜溫度增量為ΔT，則由溫度變化引起的面內(nèi)熱應(yīng)力為

式中：E為薄膜彈性模量；α為薄膜熱膨脹系數(shù)；ν為泊松比。

1.3 運(yùn)動(dòng)方程

基于von Kármán壁板理論構(gòu)建薄膜運(yùn)動(dòng)方程

將式（1），（2），（5），（7）代入式（6），并無(wú)量綱化可得

為滿足兩端固支邊界條件，設(shè)薄膜無(wú)量綱橫向位移

式中：m為模態(tài)數(shù)；Γ為模態(tài)振幅。

將式（10）代入式（8），利用Galerkin法可得

利用龍格-庫(kù)塔時(shí)間推進(jìn)算法求解上式。

2 模態(tài)收斂性分析

薄膜運(yùn)動(dòng)方程式（8）與氣動(dòng)彈性問(wèn)題中壁板運(yùn)動(dòng)方程滿足相似數(shù)學(xué)形式，對(duì)常見(jiàn)氣動(dòng)彈性問(wèn)題，6階近似Galerkin 方法能夠得到較高精度結(jié)果［6］。針對(duì)本文太陽(yáng)帆薄膜光壓彈性問(wèn)題，根據(jù)式（9）中無(wú)量綱熱應(yīng)力NˉxT和無(wú)量綱法向光壓力Pˉn可知，很小的薄膜厚度導(dǎo)致作用于薄膜的無(wú)量綱載荷量級(jí)很大，為分辨薄膜力學(xué)行為特性，需考察Galerkin 方法模態(tài)數(shù)對(duì)薄膜力學(xué)行為的影響。

在本文計(jì)算中，取E=9.67×109N/m2，α=5×10-6K-1，ν=0.33，cˉd=0.1，R=0.9，A=0.1，h=25 μm，a=10 m，S0=1 360 W/m2。圖2（a）給出薄膜靜變形幅值隨模態(tài)數(shù)變化關(guān)系。當(dāng)模態(tài)數(shù)N=2 時(shí)，薄膜在相同條件下進(jìn)行動(dòng)力學(xué)振動(dòng)而非靜變形，因此圖中最低模態(tài)為4 階。由圖2（a）可知，在分析薄膜靜變形時(shí)，4階模態(tài)計(jì)算結(jié)果即可分辨薄膜靜變形特征。

圖2 模態(tài)數(shù)對(duì)薄膜力學(xué)行為的影響Fig.2 Modal numbers effects on the membrane behaviors

為考察模態(tài)數(shù)對(duì)薄膜振動(dòng)特性影響，圖2（b）給出當(dāng)光輻射通量差ΔS=7.5 W/m2時(shí)，薄膜在無(wú)量綱時(shí)間［99.99，100］區(qū)間內(nèi)振幅均值隨模態(tài)數(shù)的變化規(guī)律。如下文所述，法向光壓力抑制薄膜振動(dòng)，因此計(jì)算圖2（b）中薄膜振動(dòng)特性時(shí)，略去法向光壓力。在本文分析范圍內(nèi)，當(dāng)模態(tài)數(shù)由14階增大至16階后，薄膜振幅均值出現(xiàn)陡降，并隨模態(tài)數(shù)進(jìn)一步增大保持穩(wěn)定。因此本文分析薄膜動(dòng)力學(xué)響應(yīng)時(shí)，至少需要取16階模態(tài)才能分辨出動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特征。綜合靜力學(xué)變形與動(dòng)力學(xué)響應(yīng)研究需要，以下算例均采用16階模態(tài)進(jìn)行計(jì)算。

3 光壓作用下薄膜力學(xué)行為

3.1 切向光壓作用下薄膜行為特性

本節(jié)僅考察切向光壓力作用下薄膜力學(xué)行為特性，忽略式（8）中法向光壓力與熱應(yīng)力。由于薄膜運(yùn)動(dòng)方程式（8）與氣動(dòng)力作用下壁板運(yùn)動(dòng)方程具有相似數(shù)學(xué)形式，因此本文算例中太陽(yáng)帆薄膜與壁板具有相似的穩(wěn)定性邊界特征。當(dāng)作用于壁板的氣動(dòng)力大于臨界動(dòng)壓時(shí)，壁板進(jìn)入動(dòng)力學(xué)顫振。類似地，當(dāng)作用于薄膜的法向光壓力大于臨界值時(shí)，薄膜呈現(xiàn)動(dòng)力學(xué)顫振現(xiàn)象。圖3 給出太陽(yáng)輻射入射角γ=60°，支桿張力為0 時(shí)薄膜振幅的時(shí)間響應(yīng)，此時(shí)薄膜在切向光壓力作用下發(fā)生顫振。

圖3 切向光壓力作用下薄膜動(dòng)力學(xué)顫振Fig.3 Membrane flutter under the tangent solar pressure

3.2 考慮法向光壓的薄膜行為特性

法向光壓在數(shù)學(xué)形式上等價(jià)于氣動(dòng)彈性問(wèn)題中壁板所受靜壓差。根據(jù)氣動(dòng)彈性理論，在von Kármán 大變形結(jié)構(gòu)模型中，靜壓差會(huì)抑制壁板顫振［6-7］。本節(jié)考察法向光壓力對(duì)薄膜行為特性影響。

對(duì)比無(wú)量綱法向光壓力與無(wú)量綱切向光壓力

法向光壓與切向光壓比值與薄膜長(zhǎng)厚比為同一量級(jí)，太陽(yáng)帆薄膜厚度僅為10 μm 量級(jí)，長(zhǎng)度為10 m 量級(jí)，由式（12）可知，法向光壓約為切向光壓107倍。圖4 給出在相同支桿張力以及太陽(yáng)輻射入射角條件下，考慮法向光壓作用后薄膜振幅的時(shí)間響應(yīng)。對(duì)比圖3 所示算例，薄膜在法向光壓力作用下形成較大幅值靜變形，進(jìn)而增大薄膜面內(nèi)力，抑制薄膜顫振。

圖4 法向光壓作用下薄膜靜變形Fig.4 Membrane static deformation caused by normal solar pressure

根據(jù)式（2）可知，隨著入射角增大，法向光壓力降低，薄膜靜變形幅值減小。對(duì)一特殊情況：當(dāng)入射角達(dá)到90°時(shí)，法向光壓力為0，薄膜從靜變形轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)力學(xué)顫振如圖5 所示，此時(shí)切向光壓力達(dá)到最大，薄膜振幅也相應(yīng)增大。

圖5 γ=90°極限條件下太陽(yáng)帆顫振Fig.5 Membrane flutter under the limit condition γ=90°

由于太陽(yáng)帆需接受太陽(yáng)輻射產(chǎn)生有效的光壓推進(jìn)，一般情況下不會(huì)出現(xiàn)入射角等于90°的情況（此時(shí)太陽(yáng)光與薄膜平衡態(tài)表面平行），因此在正常運(yùn)行期間，可認(rèn)為太陽(yáng)帆在光壓作用下不發(fā)生顫振。

4 熱載荷耦合光壓薄膜行為特性

4.1 切向光壓作用下薄膜行為特性

圖6 給出僅考慮式（8）中切向光壓力與熱應(yīng)力作用時(shí)，薄膜隨太陽(yáng)輻射通量差ΔS變化分岔特性。如圖所示，隨著輻射通量差逐漸增大，薄膜首先在支桿張力作用下保持穩(wěn)定，當(dāng)輻射通量差突破臨界值ΔS=7.5 W/m2后，薄膜在熱載荷誘導(dǎo)下直接形成混沌運(yùn)動(dòng)，將該ΔS定義為進(jìn)入混沌的臨界通量差。圖7 給出此時(shí)薄膜混沌運(yùn)動(dòng)龐加萊截面圖、最大Lyapunov 指數(shù)（LLE）［16］。龐加萊截面圖基于薄膜特定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)取得，此處選取的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：辨識(shí)點(diǎn)（ξ=0.75）由負(fù)達(dá)到0 時(shí)，記錄參考點(diǎn)（ξ=0.5）處的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)龐加萊截面圖中一團(tuán)散點(diǎn)呈特定形態(tài)分布時(shí)，薄膜進(jìn)行混沌運(yùn)動(dòng)。此外，當(dāng)LLE 大于零時(shí)，表征動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)。如圖7 所示，龐加萊截面圖散點(diǎn)呈“花生米”狀分布；LLE收斂于正數(shù)。結(jié)合上述特征表明薄膜進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)。

圖6 切向光壓作用下薄膜隨光輻射通量差增大的分岔特性Fig.6 Membrane bifurcation diagram versus increasing thermal load considering tangent solar pressure

受薄膜小厚度影響，薄膜所受熱應(yīng)力對(duì)太陽(yáng)輻射通量差敏感，當(dāng)ΔS約為1 W/m2時(shí)，作用于薄膜的無(wú)量綱熱應(yīng)力達(dá)到106數(shù)量級(jí)。對(duì)比壁板氣動(dòng)彈性問(wèn)題，壁板由極限環(huán)運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)過(guò)程中-變化區(qū)間僅為102數(shù)量級(jí)，遠(yuǎn)小于作用于薄膜的無(wú)量綱熱應(yīng)力數(shù)量級(jí)。因此，圖6 中薄膜倍周期運(yùn)動(dòng)，準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)等運(yùn)動(dòng)區(qū)間被壓縮，難以觀測(cè)。當(dāng)ΔS超過(guò)進(jìn)入混沌的臨界通量差后，薄膜直接由靜穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)。

4.2 考慮法向光壓的薄膜行為特性

同時(shí)考慮式（8）中切向光壓力、法向光壓力和面內(nèi)熱應(yīng)力。如上所述，在法向光壓力作用下，薄膜呈現(xiàn)靜變形。圖8進(jìn)一步對(duì)比有、無(wú)熱載荷條件下，薄膜靜變形幅值，其中太陽(yáng)輻射通量差ΔS=0 W/m2時(shí)，對(duì)應(yīng)熱載荷為0。由圖8 可知，隨著熱載荷增大，薄膜剛度減弱［22-23］，靜變形程度增大。

與切向光壓作用下薄膜行為特性類似，隨著熱載荷逐漸增大并超過(guò)進(jìn)入混沌的臨界通量差，薄膜在熱載荷誘導(dǎo)下由靜變形轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)。圖9給出當(dāng)ΔS進(jìn)一步增大至27.5 W/m2時(shí)，薄膜混沌運(yùn)動(dòng)龐加萊截面圖和LLE 收斂曲線。圖中龐加萊截面圖一團(tuán)散點(diǎn)呈橢圓狀分布，LLE 收斂于正數(shù)。結(jié)合上述特征表明薄膜進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)。綜上所述，即使存在法向光壓力抑制薄膜振動(dòng)，當(dāng)ΔS超過(guò)進(jìn)入混沌的臨界通量差后，薄膜轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)。與僅考慮切向光壓作用相比，計(jì)及法向光壓作用后，薄膜進(jìn)入混沌的臨界通量差有明顯增大。

圖9 考慮法向光壓作用下薄膜混沌運(yùn)動(dòng)（ΔS=27.5 W/m2，γ=60°）Fig.9 Membrane chaotic motion considering normal solar pressure（ΔS=27.5 W/m2，γ=60°）

5 結(jié)論

基于von Kármán 大撓度理論計(jì)及太陽(yáng)帆薄膜形變的幾何非線性，考察薄膜在切向光壓力、法向光壓力以及考慮熱載荷后薄膜的力學(xué)行為特性。主要結(jié)論如下：

1）僅考慮切向光壓力時(shí)，薄膜在切向光壓力作用下顫振。當(dāng)計(jì)及法向光壓力作用后，薄膜呈現(xiàn)靜變形；僅當(dāng)太陽(yáng)輻射入射角達(dá)到90°極限條件時(shí)，法向光壓力為0，此時(shí)薄膜呈現(xiàn)動(dòng)力學(xué)顫振。

2）存在臨界光輻射通量差，當(dāng)熱載荷大于臨界輻射通量差后，激發(fā)薄膜混沌運(yùn)動(dòng)。法向光壓力能夠增大進(jìn)入混沌的臨界通量差。

3）模態(tài)收斂數(shù)與薄膜行為特性相關(guān)。當(dāng)薄膜呈現(xiàn)靜變形時(shí)，4 階模態(tài)計(jì)算結(jié)果收斂；當(dāng)薄膜進(jìn)入動(dòng)力學(xué)混沌運(yùn)動(dòng)時(shí)，至少取16階模態(tài)才可分辨薄膜動(dòng)力學(xué)特性。

作用于太陽(yáng)帆薄膜的法向光壓力遠(yuǎn)大于切向光壓力，考慮法向光壓力抑制作用后，太陽(yáng)帆薄膜不會(huì)顫振。光輻射熱載荷激發(fā)薄膜混沌運(yùn)動(dòng)。文中光輻射熱載荷未與薄膜形變耦合，熱載荷耦合薄膜形變后的薄膜響應(yīng)需進(jìn)一步研究。