傅科擺擺平面轉(zhuǎn)動(dòng)的平行移動(dòng)解釋

吳葛一

(清華大學(xué)錢學(xué)森力學(xué)班，北京 100084)

1851 年，傅科在巴黎先賢祠用傅科擺同時(shí)證明了地球自轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)非慣性系下科氏力的存在，被譽(yù)為“十大最美物理實(shí)驗(yàn)”。這個(gè)擺長(zhǎng)達(dá)67 m，相當(dāng)于現(xiàn)在的20 層樓高，單次擺動(dòng)周期16.4 s，每擺220 個(gè)周期用時(shí)1 h。每隔1 h，擺平面就順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)11°，如圖1 所示。

圖1 傅科擺擺平面的轉(zhuǎn)動(dòng)：(a)地面上觀察的擺平面轉(zhuǎn)動(dòng)；(b)太空中觀察的擺平面轉(zhuǎn)動(dòng)

在理論力學(xué)教材[1-2]中，利用質(zhì)點(diǎn)非慣性系中的運(yùn)動(dòng)微分方程，已經(jīng)證明擺平面的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω與擺所在緯度?0和地球自轉(zhuǎn)角速度ωe相關(guān)，有：ω=-ωesin?0。隨著微分幾何的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)擺平面的轉(zhuǎn)動(dòng)也可以用曲面上矢量的平行移動(dòng)等價(jià)地解釋[3]。但用平行移動(dòng)解釋擺平面轉(zhuǎn)動(dòng)的教育研究類文章[4-5]中，推導(dǎo)過(guò)程往往涉及聯(lián)絡(luò)、協(xié)變導(dǎo)數(shù)等微分幾何概念，并不易于力學(xué)讀者理解。本文提供一種只用矢量運(yùn)算和動(dòng)量定理的幾何解釋方法，有助于讀者在力學(xué)與幾何間建立聯(lián)系[6]。

1 曲面上平行移動(dòng)的定義

矢量的平行原本是一個(gè)平面上的概念。如圖2(a)所示，一個(gè)平面上兩點(diǎn)處的矢量如果方向一致，就稱它們平行。如圖2(b)所示，在兩個(gè)有夾角的平面上，矢量平行的定義如下：如果將兩個(gè)平面（連帶平面上的矢量）沿著面的交線轉(zhuǎn)至同一平面后，兩個(gè)矢量方向一致，就稱它們相互平行。然而，一般的空間曲面上沒(méi)有矢量，矢量只能定義在曲面上一點(diǎn)處的切平面上。如圖2(c)所示，曲面上矢量的平行，指的是在曲面A和B兩點(diǎn)處互成夾角的兩個(gè)切平面上，兩個(gè)矢量相互平行。……