歐拉-伯努利直梁彎曲振動內力解的一種新形式1)

郝志偉 劉榮剛 陳再現

(哈爾濱工業大學海洋工程學院，山東威海 264209)

振動力學中關于彈性體彎曲振動問題求解多數教材都使用了求歐拉-伯努利直梁橫向彎曲振動響應的例子，求解基本過程為先基于達朗貝爾原理建立梁的彎曲振動微分方程，再利用分離變量法求出梁的固有頻率和固有模態函數，最后利用受迫振動模態疊加法給出了梁的位移響應[1-4]。得到位移響應后可分別利用梁的撓曲線近似微分方程和梁彎曲內力的微分關系就可以求出彎曲振動梁任意截面上的彎矩和剪力。

當前基礎力學課程安排都是先學習理論力學，其中包括處理動力學問題的達朗貝爾原理[5-6]，再學習材料力學以及其他力學課程。計算彎曲內力是工程力學和材料力學課程的重要內容[7-9]。學生學完理論力學、材料力學后遇到桿件在動載荷作用下的強度、剛度問題時，自然的想法是應用達朗貝爾原理將動力學問題視為靜力學問題求解內力而后進行強度、剛度分析。本文以振動力學中常用的歐拉-伯努利直梁受簡諧載荷作用下彎曲振動為例，在得到振動響應后，直接利用梁的撓曲線近似微分方程和梁彎曲內力的微分關系計算了彎曲動內力，另外還采用達朗貝爾原理列平衡方程的方法給出了彎曲動內力。兩種方法給出的彎曲動內力在形式上不完全一致，相比前者，后者給出了梁彎曲振動內力解的一種新形式，該形式的解由兩部分組成，一部分是簡諧力直接引起的內力，在集中力作用處剪力突變、彎矩是折點的規律與靜平衡時彎曲內力的特征一致，另一部分是慣性力引起的內力，該特征有助于學生理解動載荷下梁的彎曲內力以及慣性力的作用。……