基于神經網絡的彈性力學位移計算方法研究

蔡振榮

（桂林電子科技大學 建筑與交通工程學院，廣西 桂林）

引言

解決彈性力學問題的傳統方法包括有限差分法、有限單元法等。這些方法通常需要借助網格離散求解問題，以插值的方式逼近偏微分方程的真實解，網格越精細，解的精確度越高，然而也導致了更高的計算代價和更大的存儲空間需求。此外，建模水平、邊界條件以及載荷工況的模擬真實性等因素會影響精確度，使得在高維度情況下計算代價巨大。實際問題往往非常復雜，特別是多個物理場共同作用時，數學模型受多個變量共同影響，傳統數值計算方法在通用性方面面臨巨大挑戰。

為了克服這些挑戰，使用神經網絡求解偏微分方程的方法為力學問題的求解指明了一條非常重要的思路。神經網絡是一種強大的擬合工具，非常適合用于復雜問題的描述。神經網絡作為一種機器學習方法被廣泛應用于偏微分方程的求解[1-2]，使力學問題從最底層的控制方程求解成為可能。神經網絡是模仿生物神經網絡行為特征，進行分布式并行信息處理的算法數學模型。萬能逼近原理[3]證明訓練充分的神經網絡能表達任意函數，為神經網絡求解偏微分方程奠定了可靠的理論依據。結合損失函數中使用物理驅動約束的形式，將求解偏微分方程的數值問題轉換為無約束最小化問題。PINN 在損失函數加入物理信息約束，引入離散格式構造，將邊界條件和物理定律納入模型，使訓練后的模型更符合實際效果。

本文將主要對神經網絡方法求解彈性力學問題進行有效性研究。以二維彈性力學問題的求解過程為例，通過神經網絡方法解彈性偏微分方程組實現解決彈性力學問題的過程。并結合彈性偏微分方程組解的特性，通過位移預測的方式實現求解過程。通過探究網絡結構、超參數等問題對計算過程的影響，尋找一種能夠快速、有效解決彈性力學問題的思路，同時也能為神經網絡對力學問題的智能化求解奠定方法基礎。

1 方法原理

網絡模型在訓練過程中，模型參數和權重完成自動學習和調整。大量的數據能夠使網絡在迭代訓練后掌握數據的特性，因此神經網絡可以反映數據內部分布特性與規律，并對未來的結果有較為準確的預測能力。但在物理問題中，往往涉及多個變量函數的偏導數之間的復雜關系。一般的數據學習很難全面地反映問題真實的規律與特性。因此，借助物理驅動的方法控制網絡的學習過程將更加有效。物理驅動能夠結合深度神經網絡的學習方式，并適應物理系統行為，以便更好地模擬、控制物理學問題的現象與規律。損失函數用于衡量模型的預測輸出與真實標簽之間的差距或誤差，并作為優化算法的指導，通過最小化代價函數，使神經網絡可以調整其參數，以改善預測結果。均方誤差是一種用于度量模型預測值與實際觀測值之間的差距或誤差的損失函數。通常用于回歸問題中，用于評估模型的性能。

神經網絡求解彈性力學偏微分方程的思路和框架見圖1。

圖1 神經網絡方法計算原理流程

ε 表示可接受誤差的最大值；I 代表方程的邊界條件。u 是原方程的數值解;是神經網絡擬合原方程的近似解。MSEf就代表了每數據集f 中每個點計算差值的平方項；MSEu為內部上各點計算近似解與邊界條件差值的平方項。

每次訓練都會生成兩組隨機的測試集，將測試集的點輸入神經網絡后計算模型參數（w，b；θ）值，可以得到由神經網絡對應的數值解。對使用自動微分技術計算其偏導數代回原方程，通過計算均方差值得到MSEf，同理在邊界點處可以計算得到差值MSEu，定義總損失函數MSE 為兩個殘差之和。當MSE＞ε，表明誤差值過大還需繼續訓練，將生成新的數據再次循環整個訓練流程；當MSE＜ε，則說明誤差范圍已經達到目標水平，神經網絡的近似解，能夠無限接近原方程的真實解，訓練結束。網絡訓練完成后，對于任意給定的點，可以計算得到對應的近似解。

2 模型計算及驗證

2.1 彈性力學偏微分方程組

方程組包括平衡方程、幾何方程及物理方程。

討論二維情形下的偏微分方程。構建二維彈性力學模型，選取二維空間中尺寸為1×2 的長方形平面板壓縮實驗為例開展模擬研究。假設該問題按平面應變考慮，建立的二維彈性模型見圖2。邊界條件為：下邊界在X和Y 方向上均固定；上邊界在Y 方向施加位移荷載v=-0.2，X方向固定；左右邊界自由。模型按準靜態計算，不考慮重力。

圖2 平面模型

根據對基本方程整理，將方程組中的應力、應變利用位移表示。將公式進行整理合并可得到位移表示的平衡方程，如公式（2）所示。

按照位移法的求解原理，將原方程組的應力、應變都使用位移表示，位移成為唯一的待求解。

2.2 有限元分析

由方程組沒有解析解，該結果可以作為本文所探討問題的參考解。

使用有限元計算軟件，構建固體力學模型，設置長為2 m、寬為1 m 的平面線彈性材料模型，定義線彈性材料系數Lamé 常數（或體模量）λ=1 和切變模量（或剪切模量）μ=0.5，材料密度ρ=1。在上邊界施加指定位移，X 方向設置為0，Y 方向設置為-0.2；下邊界X方向、Y 方向設置位移均為0；左右邊界自由無約束。在區域內劃分四邊形網格，定義最大單元大小0.05。有限元計算結果見圖3。

圖3 有限元計算結果

2.3 神經網絡分析

多任務神經網絡可以表述多任務的問題，與方程組的結構具有一定的相似性，訓練兩個網絡分布表述位移u、位移v。因此設計一種類似的結構，將多輸出問題轉化為一種接近多任務問題的神經網絡。模型的輸出由兩個神經網絡所表述，輸出的變量具有獨立性，可以避免在同一個網絡時的相互干擾。通過簡化單個神經網絡模型的規模，可以降低訓練成本與提升擬合能力。

在超參數的設計上，考慮到方程組的求解有一定的復雜性，通過相對較大的訓練周期保證網絡得到足夠的訓練。此處使用超參數中間隱藏層數為4，每一層神經元的個數為50。使用Pytorch 實現算例，通過Adam 優化器優化參數，得到的逼近解的圖像及迭代曲線圖。當epoch=1.5×106時，計算得到的結果見圖4。迭代損失曲線見圖5。

圖4 計算結果圖像

通過對比，神經網絡模型的求解結果與有限元的結果基本一致，圖像趨勢與有限元結果基本一致，最小化損失函數的誤差范圍控制在在0.000 1～0.000 05之間。

結束語

本文根據現有數值方法在求解彈性力學偏微分方程中存在的關鍵問題與不足，結合神經網絡模型的計算能力，構建了一種多任務神經網絡的求解模型。該模型可以應用在彈性力學的求解問題中。借助二維算例驗證了神經網絡方法求解的有效性，通過對神經網絡求解算法進行優化，能夠得到合理的計算結果。