測(cè)量電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)中“等效替代”的正確理解及應(yīng)用

李旭斌

“測(cè)量電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻”是電路中的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，同學(xué)們可能會(huì)對(duì)以下問(wèn)題產(chǎn)生疑惑：什么是等效電源？ 等效的依據(jù)是什么？ 電流表相對(duì)電源的內(nèi)、外接法對(duì)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的測(cè)量帶來(lái)怎樣的影響？ 如何從理論上進(jìn)行分析？ 新、舊電池對(duì)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的測(cè)量帶來(lái)怎樣的影響？ 我們是選擇新電池還是舊電池進(jìn)行實(shí)驗(yàn)？ 當(dāng)缺少電壓表或電流表時(shí)，如何根據(jù)伏阻法、安阻法的特性圖像獲得電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻相關(guān)信息？ 下面針對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)分析．

１ 等效電源的選取依據(jù)

伏安法測(cè)量電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的原理是閉合電路歐姆定律E＝U ＋I(xiàn)r，通過(guò)測(cè)量電源兩端的電壓（路端電壓）U 、通過(guò)電源的電流I，便可得到電源的電動(dòng)勢(shì)E 和內(nèi)阻r，電路圖有兩種，如圖１所示．

圖１所示兩種電路接法的區(qū)別主要是電流表所處的位置不同，甲圖中電流表相對(duì)電源外接，同學(xué)們可以想到將電源和電壓表視為等效電源，實(shí)驗(yàn)中實(shí)際測(cè)量的是等效電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻，但這么判斷的依據(jù)是什么呢？ 如圖１Ｇ甲所示，電壓表所測(cè)量的電源路端電壓U 是準(zhǔn)確的，但電流表測(cè)量的電流I 并不是通過(guò)電源的電流．考慮到電壓表不是理想電表，電壓表內(nèi)阻存在分流，因此電流表測(cè)得的電流值比實(shí)際通過(guò)電源的電流偏小，從而產(chǎn)生系統(tǒng)誤差．如果將電源和電壓表視為整體，電流表測(cè)量通過(guò)該整體的電流是準(zhǔn)確的，這樣獲得的路端電壓和電流數(shù)據(jù)都是準(zhǔn)確的，這個(gè)整體就是等效電源，實(shí)驗(yàn)測(cè)量的就是該等效電源的相關(guān)量．

同理，圖１Ｇ乙中電流表的測(cè)量結(jié)果是準(zhǔn)確的，但由于電流表的分壓作用，電壓表的測(cè)量值小于電源兩端的電壓，產(chǎn)生系統(tǒng)誤差．如果將電源和電流表視為整體，電壓表測(cè)量該整體的路端電壓是準(zhǔn)確的，這樣獲得的路端電壓和電流數(shù)據(jù)都是準(zhǔn)確的，這個(gè)整體就是等效電源，實(shí)驗(yàn)測(cè)量的就是該等效電源的相關(guān)量．

２ 兩種接法對(duì)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻測(cè)量結(jié)果的影響

考慮到實(shí)驗(yàn)測(cè)量的是等效電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻，設(shè)等效電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻分別是E′和r′，電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻分別是E 和r，則E′和r′是測(cè)量值，E 和r是真實(shí)值，它們的區(qū)別體現(xiàn)了兩種接法對(duì)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻測(cè)量結(jié)果的影響．

根據(jù)前面的分析，所測(cè)的電源電動(dòng)勢(shì)就是電源的開(kāi)路電壓，圖１Ｇ甲和乙中的等效電源分別如圖３Ｇ甲和乙所示，當(dāng)兩個(gè)等效電源處于開(kāi)路狀態(tài)下，圖３Ｇ甲中的電源仍有電流通過(guò)，并未實(shí)現(xiàn)真正的開(kāi)路，電壓表實(shí)際測(cè)量的是路端電壓，因此有E′＜E;同理，圖３Ｇ乙中的電源沒(méi)有電流通過(guò)，實(shí)現(xiàn)了真正的開(kāi)路，等效電源兩端電勢(shì)差為實(shí)際電源電動(dòng)勢(shì)，因此有E′＝E．

在測(cè)量等效電源短路電流過(guò)程中，需要把等效電源進(jìn)行短接，圖３Ｇ甲中等效電源短接后，電壓表被短路，流過(guò)電源的電流為真實(shí)的短路電流，因此圖３Ｇ甲的短路電流測(cè)量值是準(zhǔn)確的;同理，圖３Ｇ乙中等效電源短接后，由于電流表存在內(nèi)阻，流過(guò)電源的電流比理論上的短路電流小，因此圖３Ｇ乙的短路電流測(cè)量結(jié)果偏小．

最后，根據(jù)UＧI 圖像中兩點(diǎn)確定一條直線，結(jié)合開(kāi)路電壓（電動(dòng)勢(shì)）測(cè)量值與真實(shí)值的關(guān)系，短路電流測(cè)量值與真實(shí)值的關(guān)系，便可確定兩種接法對(duì)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻測(cè)量結(jié)果的影響．

圖４中的實(shí)線代表電源的UＧI 圖像（真實(shí)圖像），虛線代表等效電源的UＧI 圖像（測(cè)量圖像）．當(dāng)電流表相對(duì)電源外接時(shí)，由E′＜E 得到電源電動(dòng)勢(shì)的測(cè)量值（等效電源的電動(dòng)勢(shì)）小于電源電動(dòng)勢(shì)的真實(shí)值，短路電流的測(cè)量值等于短路電流的真實(shí)值，由此得到圖４Ｇ甲的UＧI 圖像;當(dāng)電流表相對(duì)電源內(nèi)接時(shí)，由E′＝E 得到電源電動(dòng)勢(shì)的測(cè)量值（等效電源的電動(dòng)勢(shì)）等于電源電動(dòng)勢(shì)的真實(shí)值，短路電流真實(shí)值大于測(cè)量值（等效電源的短路電流），由此得到圖４Ｇ乙的UＧI圖像．

綜上，電流表相對(duì)電源外接構(gòu)成電壓表與電源并聯(lián)的等效電源，其電動(dòng)勢(shì)測(cè)量結(jié)果偏小，即E′＜E，根據(jù)圖像斜率的絕對(duì)值代表內(nèi)阻，可知內(nèi)阻測(cè)量結(jié)果偏小，即r′＜r;電流表相對(duì)電源內(nèi)接構(gòu)成電流表與電源串聯(lián)的等效電源，其電動(dòng)勢(shì)測(cè)量結(jié)果準(zhǔn)確，即E′＝E，內(nèi)阻測(cè)量結(jié)果偏大，即r′＞r．

例１ （２０２０年北京卷）用圖５所示的甲、乙兩種方法測(cè)量某電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻（約為１Ω）．其中R 為電阻箱，電流表的內(nèi)電阻約為０．１Ω，電壓表的內(nèi)電阻約為３kΩ．

（１）利用圖５Ｇ甲實(shí)驗(yàn)電路測(cè)電源的電動(dòng)勢(shì)E 和內(nèi)電阻r，所測(cè)量的實(shí)際是圖６中虛線框所示“等效電源”的電動(dòng)勢(shì)E′和內(nèi)電阻r′．若電流表內(nèi)電阻用RA 表示，請(qǐng)你用E、r 和RA 表示出E′、r′，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由____．

（２）某同學(xué)利用圖像分析甲、乙兩種方法中由電表內(nèi)電阻引起的實(shí)驗(yàn)誤差．在下面選項(xiàng)中，實(shí)線是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（圖５Ｇ甲：U ＝IR，圖５Ｇ乙：I＝UR）描點(diǎn)作圖得到的UＧI 圖像;虛線是該電源的路端電壓U 隨電流I 變化的UＧI 圖像（沒(méi)有電表內(nèi)電阻影響的理想情況）．

下列選項(xiàng)中，對(duì)應(yīng)圖５Ｇ甲電路分析的UＧI 圖像是____;對(duì)應(yīng)圖５Ｇ乙電路分析的UＧI 圖像是____．

（３）綜合上述分析，為了減小由電表內(nèi)電阻引起的實(shí)驗(yàn)誤差，本實(shí)驗(yàn)應(yīng)選擇圖５中的____．

（１）等效電源的開(kāi)路電壓就是電源的電動(dòng)勢(shì)，因此E′＝E;等效電源的等效內(nèi)阻滿足r′＝RA＋r，因此r′＞r．

（２）圖５Ｇ甲電路對(duì)應(yīng)的等效電源開(kāi)路電壓（電動(dòng)勢(shì)測(cè)量值）就是電源電動(dòng)勢(shì)，因此E′＝E，等效電源的短路電流小于電源短路電流，因此選C;圖５Ｇ乙對(duì)應(yīng)的等效電源開(kāi)路電壓（電動(dòng)勢(shì)測(cè)量值）小于電源電動(dòng)勢(shì)，因此E′＜E，等效電源的短路電流就是電源的短路電流，因此選A．

６ 小結(jié)

伏安法測(cè)量電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的難點(diǎn)是分析導(dǎo)致系統(tǒng)誤差的原因，其關(guān)鍵在于找“等效電源”．對(duì)于電流表相對(duì)電源外接的情形，電壓表測(cè)量結(jié)果準(zhǔn)確而電流表測(cè)量結(jié)果偏小，由此電壓表的分流導(dǎo)致了系統(tǒng)誤差，若將電源與電壓表視為等效電源，則電壓表和電流表的測(cè)量結(jié)果均準(zhǔn)確，由此實(shí)驗(yàn)測(cè)得的伏安圖像是等效電源的UＧI 圖像，等效電源的開(kāi)路電壓為電源的路端電壓，等效電源的總電阻小于電源內(nèi)阻，由此實(shí)驗(yàn)測(cè)得的電源電動(dòng)勢(shì)小于電源真實(shí)電動(dòng)勢(shì)，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的電源內(nèi)阻要小于電源真實(shí)內(nèi)阻．

對(duì)于電流表相對(duì)電源內(nèi)接的情形，電流表測(cè)量結(jié)果是準(zhǔn)確的，而電壓表測(cè)量結(jié)果偏小，由此電流表的分壓導(dǎo)致了系統(tǒng)誤差，若將電源與電流表視為等效電源，則電壓表和電流表測(cè)量結(jié)果均準(zhǔn)確，由此實(shí)驗(yàn)測(cè)得的伏安圖像是等效電源的UＧI 圖像，等效電源的開(kāi)路電壓等于電源的電動(dòng)勢(shì)，等效電源的總電阻大于電源內(nèi)阻，由此實(shí)驗(yàn)測(cè)得的電源電動(dòng)勢(shì)等于電源真實(shí)電動(dòng)勢(shì)，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的電源內(nèi)阻大于電源真實(shí)內(nèi)阻．

在拓展應(yīng)用方面，同學(xué)們應(yīng)善于使用戴維寧定理將復(fù)雜的二端有源網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)恒壓源，或使用諾頓定理將復(fù)雜的二端有源網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)恒流源，以簡(jiǎn)化問(wèn)題的分析．