考慮SSI效應的升降作業平臺慣容減振優化設計

王 玨,張 瑩,黃 愫,葉會然,單 柯

(1. 河海大學 機電工程學院,江蘇 常州 213022; 2. 河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室,江蘇 南京 210098;3. 上汽大眾汽車有限公司,上海 310000)

0 引言

升降式作業平臺作為一種移動性強的多功能升降機械設備,工人作業或機器振動產生的干擾會使作業平臺發生振動,從而嚴重影響作業工人的穩定舒適度及安全性,也會造成操作精度的降低。因此,對作業平臺進行減振設計、提高其動力穩定性具有非常重要的意義[1-3]。當升降平臺在野外工地、河灘等環境中高空作業時,作業平臺支腿底盤的明置基礎與軟土地基發生動力相互作用,從而改變野外作業平臺系統的動力特性,因此,土與結構相互作用(soil-structure interaction, SSI)效應在野外升降作業平臺的減振設計中不容忽視[4-8]。

動力吸振器(dynamic vibration absorber,DVA)可以通過消耗外部激勵作用在結構上產生的能量,來實現對主結構的被動控制。DEN HARTOG[9]最早提出了彈簧-質量-阻尼(tuned mass damper, TMD)減振系統,并提出了H∞準則下計算最優剛度比和阻尼比的固定點理論,這個理論已得到廣泛應用。WARBURTON[10]提出了隨機白噪聲激勵下TMD減振結構基于H2優化的設計參數解析解。TMD雖然獲得了不錯的減振效果,但是為達到較好的減振效果,一般需要較大的附加質量,再加上質量塊的單端點特性,使得其在結構中的安裝受到限制[11]。與傳統的質量塊不同,2002年被提出用于F1賽車減振的慣容器[12]是一種雙端點機械元件,它將對質量塊的直線運動轉化為慣容器中飛輪的旋轉運動,從而用很小的質量實現了千倍級參振質量的動力特性,因而在減振設計中受到了關注。IKAGO等[13]基于定點理論提出了含有慣容減振系統的單自由度結構H∞優化參數優化方法;HU等[14]對3種典型的慣容系統:串聯型慣容系統(serial inertial system, SIS)、混聯1型慣容系統(SPIS-1)、混聯2型慣容系統(SPIS-2)進行了研究,基于固定點理論和極值理論分別推導了單自由度主結構在H∞和H2優化準則下的最優剛度比和阻尼比的解析解。李壯壯等[15]、隋鵬等[16]又基于固定點理論提出了多種不同類型慣容減振系統用于單自由度的主結構在基于H∞優化下的最優剛度比和阻尼比。由此可見,慣容減振系統為工程減振提供了更大的發展空間[17-19]。

上述研究的慣容減振主結構均被簡化為不含阻尼的質量-彈簧模型,但當主結構含有不可忽略的阻尼時,不同阻尼比條件下頻響函數的固定點不再存在,此時難以得到減振系統的參數優化解析解[20]。潘超等[21]、ZHANG等[22]建立了含阻尼的單自由度以及多自由度的慣容減振模型,采用了數值優化法提出了隨機地震下減震系統基于H2優化的設計參數,為解決復雜慣容減振系統的參數優化提供了新思路;CHEN等[23]、ZHAO等[24]建立了考慮SSI效應的含阻尼主系統慣容減振模型,求解了地震激勵下主結構在H2優化準則下的設計參數數值解,進而論證了SSI效應的重要性。上述文獻主要是針對來自底部地震激勵下的結構減振,因此并不需要考慮簡諧激勵下的H∞優化。此外,底部加速度激勵與由機械荷載產生的直接作用在主系統上的動力激振減振問題并不完全等價[1],有必要進一步研究分析。

本文提出了考慮SSI效應下含有3種不同慣容減振系統(SIS, SPIS-1,SPIS-2)的升降作業平臺動力學模型,推導了作業平臺在簡諧激勵下的振幅放大因子以及在隨機激勵下的響應均方值的表達式。利用遺傳算法(genetic algorithm, GA)求解了含慣容減振系統的作業平臺針對簡諧激勵的H∞和隨機激勵的H2優化準則下的最優剛度比和阻尼比,評價了SSI效應對減振效果的影響。給出了適用于野外升降作業平臺的慣容減振系統最優參數解的經驗公式,為升降作業平臺的減振研發與應用提供了理論參考。

1 模型建立及分析

升降作業平臺設備如圖1(a)所示,將升降作業平臺及其下部基座部分等效為兩自由度系統,下部基座與上部平臺簡化為集中質量m1和m2;兩側升降剪叉機構簡化為彈簧k。升降平臺的支腿底盤與地基間的動力相互作用可采用振動阻抗來描述兩者交界面的力和位移間的關系,即剛度系數kf和阻尼系數cf。上部平臺受到頻率為ω,幅值為F的豎向簡諧激振Fsin(ωt)的作用,其中t為時間。為實現作業平臺的減振,上部平臺和下部基座之間分別連接含有慣容mi、彈簧kd和阻尼cd的3種不同組合形式的減振系統:串聯型慣容系統,如圖1(b)所示;混聯1型慣容系統,如圖1(c)所示;混聯2型慣容系統,如圖1(d)所示。各節點自由度用位移xn(n=0,1,2,3)表示。其中,x1為基座的位移,x2為升降平臺的位移,x0和x3為慣容減振系統中各節點的位移。

圖1 升降作業平臺及其3種考慮SSI效應的慣容減振力學模型Fig.1 Lifting platform and its three different dynamic vibration absorber mechanical models considering SSI effect

根據達朗貝爾原理,分別列出考慮SSI效應的3種含有不同慣容減振系統的升降作業平臺運動控制方程為

SIS系統:

(1a)

SPIS-1系統:

(1b)

SPIS-2系統:

(1c)

(2)

1.1 簡諧激勵下的平臺位移H∞范數

在簡諧激振力作用下,定義升降作業平臺位移幅值隨頻率變化的振幅放大因子Gi(λ),根據式(2)可進一步整理得到3種減振模型的振幅放大因子為

(3)

式(3)中的相關系數如下:

(4a)

(4b)

(4c)

1.2 隨機激勵下的平臺位移H2范數

在實際工程中,機器振動、工人作業產生的振動多為隨機激勵。因此本文進一步研究了隨機激勵下,3種含慣容減振系統的作業平臺位移響應的均方值。假設輸入的隨機激勵為高斯白噪聲,其功率譜密度為Sf(ω)=S0,則升降平臺的功率譜密度函數為

Sx,i(ω)=|Hi(ω)|2S0

(5)

進而得到升降平臺位移響應的均方值的表達式為

(6)

(7)

根據柯西留數定理,得到關于傳遞函數無窮積分的一般精確解形式為

(8)

式中,系數ai,m(m=0,1,…,6),bi,n(n=0,1,…,5)可由式(2)中的多項式系數Dm-i和Nn-i計算可得

(9)

(10)

1.3 慣容減振系統的參數優化

為分析SSI效應對升降作業平臺振動的影響,并確定慣容減振系統的最佳減振效果,應對圖1中3種減振系統中的剛度比β、阻尼比ξ2進行參數優化。在考慮SSI效應的慣容減振系統中,由于主系統存在阻尼效應,難以推導得到簡諧激勵下基于H∞優化準則與隨機激勵下基于H2優化準則的最優參數解析解。因此本文采用數值優化方法,優化目標函數和約束條件為

目標函數:

(11)

約束條件:

(12)

則上述問題即可轉化為一個單目標多參數的優化問題,本文選用遺傳算法(GA)對該優化問題進行數值求解,其思路如圖2所示。遺傳算法是一種通過模擬自然進化過程來尋找最優解的隨機搜索算法,其全局搜索能力強。該算法中的初始種群規模和終止迭代次數對計算精度有較大的影響,當種群太小或迭代次數過短時不能提供足夠的采樣點,造成早熟收斂,影響全局搜索效果;而種群太大或迭代次數過長則會導致收斂速度緩慢、浪費資源、降低算法穩健性。本文是僅含有2個優化參數的單目標優化問題,且目標函數隨設計參數的變化曲面平緩、峰值少、容易收斂。因此算例中設置初始種群數為50,最大迭代次數為200,當目標函數的誤差小于1×10-6時,輸出最優解。同時,為避免遺傳算法在設計參數的參數規定范圍內陷入局部最優解,也設置多個200以內的初始種群測試結果精度,通過循環計算確保了慣容減振系統最優參數的數值解是全局最優解。

圖2 遺傳算法的流程圖Fig.2 Flowchart of genetic algorithm

2 算例分析

為了研究不同地基條件下,慣容減振系統對升降作業平臺的減振效果,以下算例根據GB 50011—2010《建筑抗震設計規范》[25],取中硬土、中軟土以及軟弱土3種地基條件下的土體基本參數,如表1所示。升降作業平臺的計算參數取值為:m1=8000 kg,m2=3000 kg,A0=1.5 m2,k=0.8×108N/m。數值優化中,根據實際工程中常關注的參數范圍取值為[0,1]。

表1 3種地基土的基本參數及振動阻抗系數Table 1 Basic parameters and impedance of three foundation soils

2.1 考慮SSI效應的減振系統參數設計

簡諧激勵下基于H∞范數的優化目標是使升降作業平臺的最大振幅放大因子最小,采用GA數值優化算法,取慣質比為0.05、0.25、0.5時,分別對3種慣容減振系統在中硬土、中軟土和軟弱土3種不同土體條件下的設計參數進行數值優化,如表2所示。由表可知,位于3種地基表面的各慣容減振系統在不同慣質比下的最優剛度比和阻尼比存在較小差異,說明SSI效應對慣容減振系統的最優設計參數影響較小。因此,可將簡諧激勵下的慣容減振系統最優設計參數通過最小二乘法擬合成一個多項式經驗公式。經驗公式與基于遺傳算法的數值解的對比如圖3所示,可見兩者具有較高的一致性,其經驗公式可為升降作業平臺減振優化設計的工程實際提供參考。

表2 簡諧激勵下考慮SSI效應的各減振模型的擬合公式Table 2 Fitting formula of the vibration reduction models considering SSI effect under harmonic excitation

圖3 簡諧激勵下考慮SSI效應的I-DVA模型參數設計經驗公式與數值解的對比Fig.3 Comparison of empirical formula and analytical solution for I-DVA models under harmonic excitation considering SSI effect

隨機激勵下基于H2范數的優化目標是使升降作業平臺的位移均方值最小。對考慮SSI效應的各慣容減振模型在不同慣質比下的最優設計參數進行數值優化,如表3所示。由表可知,考慮SSI效應的各慣容減振系統的最優設計參數值存在差異,但是非常小。因此,隨機激勵下置于不同土體條件的各減振模型的最優設計參數同樣可以通過最小二乘法近似擬合成同一多項式用于實際工程。對SPIS-2系統,其主結構位移均方值隨剛度比β和阻尼比ξ2變化的三維曲面和等高線圖如圖4所示。由圖可知,位移均方值在剛度比取值區間內呈單調遞減趨勢,剛度比取1時位移均方值取得最小。如需剛度比不趨向于區間上限,則可以加入成本控制、性能需求、耗能增效等其他約束條件進一步優化。將擬合得到的經驗公式和考慮SSI效應的各減振模型的數值解進行對比,如圖5所示。由圖可知,本文擬合的經驗公式與考慮SSI效應的數值解幾乎完全重合,對實際工程具有一定的指導意義。

表3 隨機激勵下考慮SSI效應的各模型的擬合公式Table 3 Fitting formula of the models considering SSI effect under random excitation

圖5 隨機激勵下考慮SSI效應的I-DVA模型參數設計經驗公式與數值解的對比Fig.5 Comparison of empirical formula and analytical solution for I-DVA models under random excitation considering SSI effect

2.2 簡諧激勵下升降平臺的減振效果對比

簡諧激勵下,為評價本文選取的3種慣容減振結構的減振效果,選擇中軟土情況下的3種慣容減振系統與傳統的動力吸振器(TMD)進行對比,得到3種減振模型在最優設計參數下,其振幅放大因子曲線如圖6所示。由圖6可知:對于同一減振模型,其振幅放大因子隨著慣質比的增大而降低,減振效果隨之增強;對于不同減振模型,通過將圖6(a)和(b)中的曲線與圖6(b)中的紅點線對比可知,SIS系統和SPIS-1系統與TMD系統對主結構振幅的減振程度相當,但是SIS和SPIS-1可以使用很小的質量實現TMD所需的同等參振質量;而圖6(c)中的曲線明顯低于圖6(b)中的紅點線,說明SPIS-2系統相較于TMD系統能有效地降低主結構振幅,實現更好的減振性能。同一慣質比下,SPIS-2系統的振幅放大因子與SPIS-1和SIS系統相比更低,減振效果更明顯。

圖6 簡諧激勵下頻幅特性的比較Fig.6 Comparison of frequency and amplitude characteristics under harmonic excitation

為分析SSI效應對作業平臺幅頻特性的影響,取慣質比δ=0.2,得到不考慮SSI效應和考慮SSI效應(中硬土、中軟土、軟弱土)的3種慣容減振系統處于最優狀態下的幅頻特性曲線如圖7所示。由圖可知:SSI效應不會對幅頻特性的變化趨勢造成改變,依然可以使作業平臺的幅頻特性維持雙峰等高的特征。但是,SSI效應會明顯地降低幅頻曲線的共振峰值,且軟弱土條件下降低程度最明顯,這是由于地基在振動過程中也消耗了升降作業平臺傳遞下來的能量。

圖7 SSI效應對作業平臺的幅頻特性影響Fig.7 Influence of SSI effect on the frequency and secondary characteristics of the lifting platform

2.3 隨機激勵下升降平臺的減振效果對比

本算例討論SSI效應對隨機激勵下含有不同減振系統的升降作業平臺位移均方值的影響。計算中各減振系統的模型參數均為基于H2優化得到的最優設計參數。取慣質比δ=0.2,將本文3種慣容減振系統與傳統動力吸振器(TMD)的作業平臺位移均方值系數相比較,如表4所示。橫向對比可以看出:對于同一模型,SSI效應會使升降平臺位移均方值降低,且土體越軟,降低程度越大,因此考慮SSI效應是非常必要的。縱向對比可以看出:對于不同模型,SIS的位移均方值最大,其減振效果不及傳統的TMD,而SPIS-2的位移均方值最小,其減振效果顯著優于SPIS-1和TMD。因此,在隨機激勵下,SPIS-2系統可以取得更好的減振效果。

表4 本文I-DVA模型與傳統TMD模型的比較結果Table 4 Comparison results between the present I-DVA model and traditional TMD model

由升降作業平臺在簡諧和隨機激勵下的減振效果對比可知,相比SPIS-1和SIS系統,SPIS-2能更好地控制升降作業平臺的振動。造成這3種減振系統存在明顯差異的主要原因是:慣容元件表現出的負剛度特性能夠輔助與之共同作用的黏性阻尼器的運動,提高阻尼元件的耗能效率,產生阻尼放大效應。當慣容元件與阻尼器并聯用于減振結構時能產生比與阻尼器串聯時更大的阻尼放大效應,從而實現更好的減振效果。

3 結論

本文提出了考慮SSI效應的含3種不同慣容減振系統(SIS、SPIS-1、SPIS-2)的升降作業平臺動力學模型,推導了其在簡諧激勵下的振幅放大因子以及在隨機激勵下的響應均方值的解析表達式。利用遺傳算法分別求解了位于不同地基表面的作業平臺在H∞和H2優化準則下慣容減振系統的最優剛度比和最優阻尼比,并擬合成適用于工程的經驗公式。當升降作業平臺上激振力的作用形式滿足簡諧特性時建議采用基于H∞范數的優化公式對慣容減振系統進行設計,而當激振力的作用形式表現出隨機特性時建議采用基于H2范數的優化參數經驗公式。對最優狀態下的各減振系統進行減振效果對比分析,得出主要結論如下:

1)SPIS-2減振系統與傳統TMD系統、SIS系統以及SPIS-1系統相比,在簡諧激振力作用下不僅能更好地抑制升降作業平臺的共振峰值,且更大程度地拓寬作業平臺的減振頻帶范圍;在隨機激勵下,SPIS-2也能最大程度地降低作業平臺位移響應的均方值。

2)SSI效應對簡諧激勵和隨機激勵下作業平臺慣容減振系統的最優設計參數有一定的影響,但差異很小。因此,可將這些最優設計參數近似擬合成一個適用于工程減振設計的經驗公式。

3)SSI效應會降低作業平臺振幅放大因子的共振峰值和位移均方值,且地基土剪切波速越小,這種影響越顯著。