基于譜元法的Rayleigh波頻散特征計算與模態(tài)疊加耦合機理研究

楊 博,張 萌,夏江海,龍友明,吳 憂

(1. 重慶交通大學 土木工程學院, 重慶 400074; 2. 浙江大學 地球科學學院, 浙江 杭州 310027; 3. 重慶交通大學 交通土建工程材料國家地方聯(lián)合工程實驗室, 重慶 400074)

0 引言

成層結構中Rayleigh波(R波)頻散曲線的正演計算是應用R波進行工程勘探的基本前提[1-2],代表性的有Thomson-Haskell法[3-4]、Schwab-Knopoff法[5]、δ矩陣法[6]和Abo-Zena法[7]等。在這些基礎上,CHEN[8]通過定義反射與透射波傳遞系數,建立了基于廣義反射-透射系數的R波頻散曲線正演算法。袁臘梅等[9]通過無量綱化處理,進一步提高了廣義反射-透射系數法的計算效率和穩(wěn)定性。凡友華等[10-11]通過采用3個五階矩陣的乘積作為傳遞矩陣,建立了快速矢量傳遞算法,同時探討了R波頻散方程高頻近似分解和多模式激發(fā)數目。對于“上軟下硬”的規(guī)則成層結構,大量研究表明:R波中的基階模態(tài)能量占主導地位,此時R波頻散特征就是其基階頻散曲線[12],而對于“上硬下軟”、或含“硬夾層”和含“軟夾層”的非規(guī)則復雜成層結構,R波頻散方程變?yōu)閺蛿捣匠蘙13],相應頻散特征則是多階模態(tài)在特定頻帶共同作用的結果。對此,張碧星等[14]通過構建不同激振源下R波多模態(tài)相應的位移計算方法,以此解譯非規(guī)則復雜成層結構中R波頻散曲線出現的“之”字形回折現象。楊天春等[15]通過對比規(guī)則成層結構與含“硬夾層”和含“軟夾層”中R波譜比特征,建議實際勘探過程中須考慮R波高階模態(tài)的影響。由此可見,探索復雜成層結構中R波多階模態(tài)疊加耦合機理對其應用于工程勘探技術精細化提升具有重要理論意義。

譜元法(spectral element method, SEM)是一種可用于分析結構振動響應的半解析方法[16-17]。其基于波動方程,通過積分變換推導應力與位移各分量在頻域-波數域的解析式,在此基礎上,結合有限元思想建立結構各單元的動力剛度矩陣[18],按邊界條件組裝總體剛度矩陣從而計算結構的動力響應[19],具有計算精度高和速度快等優(yōu)點。顏可珍等[20]基于SEM計算了半無限土基和雙層土基中R波基階與一階模態(tài)的頻散曲線。為此,本研究通過理論分析和對比計算,基于SEM建立R波可考慮高階模態(tài)頻散曲線的計算方法。同時,結合沖擊振源特點,通過SEM計算R波多階模態(tài)頻散曲線的位移響應,進一步揭示復雜成層結構中R波多階模態(tài)之間的疊加耦合頻散特征。

1 基于SEM的R波頻散方程

1.1 模型定義

本研究以軸對稱條件下的彈性層狀半無限結構作為研究對象,其每層結構介質視為均勻、各向同性的彈性體,各層沿水平方向無限且分界面相互平行,層間位移與應力完全連續(xù),最下一層為厚度無限的彈性半無限體,如圖1(a)所示。其中,r為水平徑向;z為深度方向;θ為切向;E為介質的彈性模量;υ為泊松比;ρ為介質的密度;h為層厚度;N為總層數; 所有符號的下標數字及m為層序號,取1～N。

圖1 構造及單元模型Fig.1 Configuration and element models

對于圖1(a)中1～N-1層有限厚層結構,可視為雙節(jié)點單元,如圖1(b)所示,考慮有限厚度底部界面反射波的影響,其單元剛度矩陣S2-node可寫為[21]

(1)

式中:μ為剪切模量;l、g和K為

(2)

式中:ω為角頻率;k為圓波數;VP和VS為介質的橫波速度和縱波速度。其中,VP和VS與E、ρ及υ的關系為

(3)

對于圖1(a)中第N層半無限體,可視為單節(jié)點單元,如圖1(c)所示,由于無限深處不存在反射波,其單元剛度矩陣S1-node可以表示為

(4)

1.2 剛度矩陣的組裝

相鄰m層與m+1層單元在分界面zm上節(jié)點力與位移完全連續(xù)的可表達為

(5)

根據式(5),則完全連續(xù)相鄰2個雙節(jié)點單元的S2-node組裝方式為

(6)

同理,第N層半無限體單節(jié)點單元S1-node與第N-1層雙節(jié)點單元的S2-node組裝方式為

(7)

1.3 頻散方程的構建

根據式(6)和式(7),按層間接觸狀態(tài)拼裝N層介質結構的總體剛度矩陣Sglobal,則所有節(jié)點位移與節(jié)點力的關系可表達為

(8)

det(Sglobal)=0

(9)

同時,令Sglobal中的圓波數k表示為

(10)

式中:VR為R波的相速度;f為自然頻率。

將式(10)代入式(9)即得到基于SEM的R波理論頻散方程。這樣在式(9)中只要輸入各層的彈性模量E、密度泊松比ρ、泊松比υ和厚度h,就可以得到VR隨f變化的R波理論頻散曲線。

2 頻散曲線對比計算

為了研究SEM計算R波頻散曲線的可靠性,以文獻[20,22]中的彈性半無限體和“上軟下硬”2種規(guī)則土層為計算模型,參數如表1中1號和2號模型。其中,第八列為第五至第七列按式(3)計算得到的相應土層材料的VS。

表1 成層模型的力學參數Table 1 Mechanic parameters of regular layered soil models

據此,將1號和2號模型相應參數代入基于SEM的R波頻散方程式(9)中,利用二分法求根計算相應的R波理論頻散曲線并與快速矢量傳遞法相應結果進行對比,如圖2所示。

由圖2(a)可知:對于1號模型半無限體而言,R波不會發(fā)生頻散現象,SEM計算得到的VR在各個頻率上都為241.9 m/s,與按解析式(11)計算的VR等于242.0 m/s之間的相對誤差為0.03%;對于2號模型“上軟下硬”的規(guī)則地層,SEM計算各階模態(tài)的VR結果如圖2(b)所示。除基階外,其余一至七階模態(tài)的VR均存在截止頻率,計算結果與快速矢量傳遞法相應的結果高度吻合,相對誤差均在0.05%以下,具有很高的計算精度,如式(11)所示:

(11)

3 模態(tài)疊加耦合機理分析

對于“上硬下軟”、含“軟夾層”和含“硬夾層”這三類復雜成層結構,具體參數[22]采用表1中的3號、4號、5號模型。其中,“上硬下軟”結構以工程中常見的路面結構[24]為例,通過速度-應力有限差分方法[25]模擬豎向沖擊點源作用下60道不同徑向距離r對應的豎向振動記錄。其中,激勵采用Ricker子波,其歸一化的振幅S(f)如式(12)所示,在模擬過程中為了使高頻帶能夠獲得較完整的頻散信息,則最小波長λmin不得超過各模型表層h,同時為了保證在最大頻率fmax處激勵振幅S(f)衰減不小于0.01即-40 dB,則fm須滿足式(13)。據此,結合表1中的3號、4號、5號模型具體參數,本研究將模型3號的fm取為2600 Hz[24],4號和5號模型的fm取為20 Hz,結果如圖3所示。在此基礎上運用相位移法[26]提取相應R波頻散能量團與SEM計算的各階頻散曲線對比,以模型3號為例,結果如圖4(a)所示,此時R波頻散特征能量團不再以單一模態(tài)的頻散曲線表征,而是多階模態(tài)疊加耦合共同作用的結果。為了確定疊加耦合后的頻散特征,以往研究根據R波為沿表面?zhèn)鞑ツ芰繛橹鞯囊环N波導,按式(14)計算各階模態(tài)頻散曲線對應的頻域位移[15],以各頻率表面位移能量占優(yōu)模態(tài)的VR作為R波各模態(tài)疊加耦合后的頻散特征,表達式為

圖3 速度-應力有限差分模擬結果Fig.3 Simulation results of speed-stress finite difference method

(12)

(13)

式中:fm為Ricker子波主頻;VS1為表層橫波大小。

(14)

然而,式(14)是一個將R波響應當成平面波處理的積分漸進式,其求解過程中須考慮各階模態(tài)VR所對應的極點和相應留數,因此十分復雜,且只有當r取較大時才有較好的精度。為此,本研究另從表面振動位移能量分解的角度出發(fā),通過分析R波各模態(tài)VR對表面振動能量的貢獻,建立一種確定復雜成層結構中R波多模態(tài)疊加耦合機理的半解析新方法。首先定義軸對稱坐標下一個表面作用半徑為a的豎向沖擊荷載p(t,r)作為激勵,具體表達為

(15)

式中:Q為豎向力大小;δ(t)為狄拉克脈沖函數。

相應p(t,r)的Fourier與0階Hankel積分變換式為

(16)

當a趨于0,則激勵為集中力,通過取極限和L’Hopital’s法則進一步可表達為

(17)

(18)

式中 |Uz|為各階模態(tài)VR對表面位移即能量的貢獻。

按式(18)求解各階模態(tài)VR對應的|Uz|,歸一化后得到各階模態(tài)頻散曲線對表面豎向位移貢獻大小,如圖4(b)所示。據此,以各頻率對應表面豎向位移貢獻最大相應模態(tài)的VR作為該結構中R波多階模態(tài)疊加耦合的結果,如圖4(a)中黑圈符號所示。結果表明,按此方法確定疊加耦合后的頻散特征與波場數值仿真的能量團幅值能非常好地吻合在一起,不難看出基于SEM通過計算|Uz|以此確定R波多階模態(tài)疊加耦合后的頻散特征,不僅計算結果合理,與式(14)相比,形式較為簡單且物理意義明確。

圖4 3號路面結構模型中的R波頻散特征Fig.4 Dispersion characteristics of Rayleigh wave in No.3 pavement structure model

同理,將4號含“軟夾層”和5號含“硬夾層”結構模型按式(18)計算R波各階模態(tài)|Uz|,并以此確定各階模態(tài)疊加耦合后的頻散特征,如圖5所示,結果表明:路面結構和含“軟夾層”成層結構中R波各階模態(tài)對應的|Uz|在f較小的低頻帶以基階模態(tài)絕對占優(yōu),相應頻散特征以基階模態(tài)的相速度VR表征,隨著頻率f增大,高頻帶的R波頻散特征將取決于高階模態(tài)對應的相速度VR;而含“硬夾層”成層結構中R波各階模態(tài)對位移的貢獻在高頻帶和低頻帶均以R波基階模態(tài)為主,相應頻散特征以基階模態(tài)的VR表征,但在8～10 Hz范圍的位移以一階模態(tài)貢獻為主,相應頻散特征以一階模態(tài)的VR表征。同時,圖6結果表明,基于SEM確定疊加耦合后的頻散特征與速度-應力有限差分方法仿真能量幅值對應的頻散特征之間具有較好的一致性,平均相對誤差在2.57%以下。并且,從以上結果不難看出三類復雜成層結構的R波多階模態(tài)疊加耦合后的頻散特征在高頻帶均收斂并接近于表面層結構的VS。因此,在計算過程中,僅需考慮基階直至高頻帶VR收斂于表層結構VS的高階模態(tài)即可。

圖5 含“軟夾層”和含“硬夾層”成層結構中R波各階模態(tài)疊加結果Fig.5 Modal superposition results of Rayleigh wave in soft-interlayer and hard-interlayer soil layered structures

圖6 基于SEM計算結果與有限差分仿真比對Fig.6 Comparison of results calculated by SEM with finite difference numerical simulation

將圖4～圖6中疊加后的頻散特征曲線通過半波長理論轉換為VR與探深的關系,如圖7所示。結果顯示,3號、4號、5號模型復雜成層結構模型沿深度的頻散特征均會出現“之”字形回折現象,這些可為利用R波頻散特征的拐點進行結構分層提供理論參考。

圖7 基于SEM疊加頻散曲線沿深度特征Fig.7 Depth characteristics of stacked dispersion curve based on SEM

4 結論

本研究基于SEM建立了一種R波的頻散曲線計算方法,并揭示了復雜成層結構中R波多階模態(tài)之間的疊加耦合機理,主要結論如下:

1)本研究視軸對稱條件下層狀半無限結構中的有限厚度層為雙節(jié)點單元,半無限體視為單節(jié)點單元,以此構建各層結構的單元剛度矩陣,并結合層間接觸邊界條件,建立了基于SEM的R波理論頻散方程。

2)針對彈性半無限體和“上軟下硬”規(guī)則成層結構,通過SEM計算R波多階頻散曲線和快速矢量傳遞解析算法對比發(fā)現所有結果與解析法計算相應結果之間的相對誤差在0.05%以下,具有較高的精度。

3)針對“上硬下軟”的路面結構、含“軟夾層”和含“硬夾層”的復雜成層結構,通過SEM求解各階模態(tài)VR對豎向位移的貢獻值,建立了一種確定R波各模態(tài)耦合疊加耦合頻散特征的新方法,并通過速度-應力有限差分數值仿真計算予以驗證。

4)基于SEM計算疊加耦合后的頻散特征曲線,通過半波長理論轉換為VR與探深的關系發(fā)現,“上硬下軟”的路面結構、含“軟夾層”和含“硬夾層”的復雜成層結構沿深度的頻散特征均會出現“之”字形回折現象,可為利用R波頻散特征的拐點進行結構分層分析提供參考。