非線性準零剛度文物隔震系統動力特性分析

孫 剛,柏 文,戴君武,蔡糧鍇,趙守江

(1. 中國地震局工程力學研究所 地震工程與工程振動重點實驗室,黑龍江 哈爾濱 150080;2. 地震災害防治應急管理部重點實驗室,黑龍江 哈爾濱 150080; 3. 故宮博物院,北京 100009)

0 引言

文物是一個國家寶貴的歷史遺產和悠久文化的體現,保護意義重大。近幾十年來,地震活動頻繁,由于建筑結構和館藏文物的防震能力不足使文物遭受巨大損失。1995年,日本兵庫縣南部發生7.2級地震時,博物館和美術館的展示資料和收藏資料因展示箱和收藏架等移動而損毀[1]。2004年,日本新潟縣發生6.8級地震,十日町市博物館和長岡市立科學博物館陶器文物半數以上損壞[2]。 2007年,凱法利尼亞島地區發生5.9級地震,阿爾戈斯托利考博物館內的館藏文物因傾覆、滑動和撞擊而嚴重受損[3]。2008年,我國發生汶川8.0級地震,四川省內文博單位受損的可移動文物共計4379件(套)[4-6]。

國內外對浮放文物采用的傳統抗震方法主要為:純浮放、降低重心法、側支法、膠粘法、卡固法、栓線法和減震法[7]。隨著文保意識的不斷提高,國內外的研究學者對浮放文物隔震措施展開了一系列的研究和探索。YUSUKE等[2]采用防震膠粘墊用于文物抗震,并進行了振動臺試驗,試驗表明防震膠粘墊可以有效防止試件的掉落。BERTO等[8]改進用于建筑物的雙曲面滑塊隔震裝置,研發了用于輕小型物體的雙曲面滑塊隔震裝置,物體的振動周期只取決于曲面的等效半徑,與物體的質量無關。MYSLIMAJ等[9]對滾輪式文物隔震裝置進行了振動臺試驗研究,滾輪式文物隔震裝置可以有效降低對輸入加速度的傳遞。ONEM等[10]研發了滾珠式文物隔震裝置,對其進行了計算機模擬和振動臺試驗,證明其良好的隔震性能。

目前非線性隔振理論和應用愈發廣泛。非線性隔震系統包括阻尼非線性系統和剛度非線性系統。準零剛度隔震就是一種特殊的剛度非線性系統,能夠很好地解決線性系統隔震起始頻率和承載力之間的矛盾[11]。ALABUZHEV等[12]在1989 年首次引入準零剛度概念,討論了準零剛度理論在隔振裝置上的應用,并提出了多種準零剛度隔振器的設計方案。WINTERFLOOD等[13]提出了一種對稱扭桿彈簧隔振系統模型,其基本原理是利用2個對稱的扭桿彈簧系統產生的幾何非線性效應來實現長的共振周期。CARRELLA等[14-17]提出了由一個豎直放置的線性彈簧與2個斜向放置的線性彈簧并聯的準零剛度隔震裝置,研究了該裝置的靜力特性及其在平衡位置附近的隔振性能,當2個斜向放置的線性彈簧的放置角度為48°～57°范圍內時,該隔震裝置的力-位移曲線變化率最小。YANG等[18]研究了由一個豎直放置的線性彈簧與2個在軸向荷載作用下互相鉸接的水平桿并聯的準零剛度隔震系統的動力學特性和功率譜特性,并通過調整參數限制最大位移和消除共振項。劉興天等[19-20]、HUANG等[21]使用屈曲歐拉梁負剛度調節機構和線性隔振器并聯,設計了一種準零剛度隔振器,研究了激勵幅值、阻尼比和非線性項對系統頻響曲線和隔震性能的影響。徐道臨等[22-23]、余平奇[24]設計了一種非線性磁力準零剛度隔振器,其采用對稱布置的連桿永久磁鐵結構作為具有負剛度的磁力彈簧并聯線性正剛度彈簧。

本文通過引入與滑軌垂直且水平放置的線性彈簧構成非線性剛度系統,在平衡位置處對非線性剛度系統進行剛度調節,使系統在平衡位置及其附近位置擁有極低的動態剛度,從而降低了隔震系統的起始隔震頻率,新的非線性隔震系統相比線性隔震系統擁有更寬的隔震頻率范圍。

1 系統力學特性分析

1.1 設計原理

非線性準零剛度文物系統如圖1所示,由上下蓋板和中間層構成。

圖1 非線性準零剛度文物隔震系統Fig.1 Nonlinear quasi-zero-stiffness cultural relic isolation system

上下2個蓋板各固定一組導軌副,2組導軌副呈正交放置,每組導軌中間各有一根絲杠,絲杠兩端固定在蓋板上。中間層通過絲杠與上下蓋板連接,可沿絲杠和導軌副方向自由滑動。在垂直于絲杠方向,上下蓋板與中間層各由2根水平彈簧連接。在外激勵作用下,上蓋板即可隨著中間層沿著下蓋板上的絲杠與導軌副方向運動,也可沿著自身的絲杠與導軌副方向運動,實現上蓋板的雙向運動,該系統的恢復力由與導軌副正交放置的彈簧提供,阻尼力由旋轉阻尼器提供。該阻尼機構主要由絲杠、螺母和旋轉阻尼器構成,如圖2所示。阻尼機構產生的阻尼力為

圖2 阻尼機構Fig.2 Damping mechanism

(1)

式中:α為扭矩系數(N·mm·s);f為旋轉頻率(Hz);r為絲杠半徑(mm)。絲杠的螺旋線運動可簡化為直線運動和圓周運動的合成,得到不同位移時cotθ的值[25],從而得到阻尼力為

(2)

式中:x為系統的位移(mm);P0為中間導程(mm);P1為末端導程(mm);h為絲杠螺紋長度的一半(mm);v為線速度(mm/s)。

系統的阻尼系數為

(3)

通過改變旋轉阻尼器規格或絲杠導程可以調整阻尼力大小,實現系統的阻尼參數可變可調。

1.2 系統剛度特性分析

非線性準零剛度文物隔震系統可簡化為如圖3所示,質量為m的物體由2個剛度系數均為k,長度為L的彈簧鉸接連接且僅能沿著光滑螺紋桿方向移動,同時帶動螺紋桿轉動,通過調節端部旋轉阻尼器實現可調節阻尼。

圖3 隔震系統結構示意圖Fig.3 Strutural schematic diagram of isolation system

在外力作用下,隔震系統的恢復力與位移的關系為

(4)

式中:K為彈簧剛度(N/mm);x為滑塊位移(mm);l為彈簧長度(mm)。

隔震系統的剛度為

(5)

當x=0時,系統處于平衡狀態時,系統的剛度為0,即該系統為準零剛度系統。令彈簧的剛度K分別為5、10、15、20 N/mm,由式(4)和式(5)可得,隔震系統的恢復力-位移曲線和剛度特性曲線分別如圖4和圖5所示。

圖4 隔震系統恢復力-位移曲線Fig.4 Recovery force-displacement curves of isolation system圖5 隔震系統剛度特性曲線Fig.5 Stiffness characteristic curves of isolation system

當系統偏離平衡位置時,隔震系統的恢復力與位移為非線性關系,剛度與位移也為非線性關系,即該隔震系統為準零剛度非線性系統。

1.3 系統動力特性分析

在簡諧激勵F=Acosω1t作用下,建立隔震系統的動力學方程為

(6)

(7)

(8)

圖6 近似對比曲線Fig.6 Approximate contrast curves圖7 數值解與第二近似解對比Fig.7 Comparison between the numerical solution and the second approximate solution

(9)

式(9)為強非線性非自治系統的運動方程,為二階強非線性微分方程。傳統的攝動求解方法如,一般平均法,多尺度法及L-P法只適用于杜芬方程,即非線性項系數很小[26-28]。當非線性項系數增大時,攝動解的誤差增大甚至失效,故傳統攝動求解方法不適用于二階強非線性微分方程。本文采用諧波平衡法求出第一近似解,在第一近似解的基礎上采用牛頓迭代法求出第二近似解[27]。對比第二近似解和數值解,取ω1=2,ω0=1,ξ=0.05,B=2,如圖7所示。

由圖7可知,第二近似解和數值解基本吻合,表明第二近似解有足夠的精度代替數值解,故可以使用第二近似解分析阻尼、彈簧剛度以及外激勵幅值對系統隔震性能的影響。取ω0=2,B=2,ξ為0.1、0.2、0.3及k為4、9、16 N/m的幅頻響應曲線如圖8和圖9所示,圖中橫縱坐標為以2為底數的對數坐標。

圖8 不同阻尼幅頻曲線 Fig.8 Amplitude-frequency curves of different damping 圖9 不同剛度幅頻曲線 Fig.9 Amplitude-frequency curves of different stiffness

由圖8和圖9可知,該隔震系統在激勵幅值保持不變時,增大激勵頻率,隔震系統的響應振幅將逐漸增大,當激勵頻率增大至一定值時,振幅出現降幅跳躍,然后振幅隨著激勵頻率增大而逐漸減小。其中跳躍階段為隔震系統的不穩定區域。隨著阻尼比的增大,中頻階段的隔震系統的振幅響應呈現降低現象,且不穩定區域也逐漸減小,趨于線性隔震系統的幅頻特性,但基本不改變低頻階段和高頻階段振幅響應。增大彈簧的剛度,可以降低該隔震系統在低頻階段振幅響應,且不穩定區域也逐漸減小,趨于線性隔震系統的幅頻特性,但對于高頻階段的振幅響應仍沒有明顯作用。

則隔震系統的傳力系數為

(10)

式中D1為利用諧波平衡法與牛頓迭代法聯合求出的系統在簡諧激勵作用下的振幅。令ξ為0.1、0.15、0.2,B為1、2、3的ω1/ω0-TR及k為4、9、16 N/m的ω1-TR關系曲線,如圖10～圖12所示,圖中橫縱坐標為以2為底數的對數坐標。

圖10 不同阻尼傳遞系數Fig.10 Transfer coefficients of different damping

圖11 不同激勵振幅傳遞系數Fig.11 Transfer coefficients of different excitation amplitudes

圖12 不同剛度傳遞系數Fig.12 Transfer coefficients of different stiffness

2 數值分析

主要采用四階龍格-庫塔(Runge-Kutta, R-K)數值分析方法,考慮簡諧振動和地震動2種激勵,對非線性準零剛度文物隔震系統動力特性進行研究。

2.1 簡諧激勵分析

為了研究非線性準零剛度文物隔震系統在不穩定區域的振幅響應,取ω1=2,ω0=2.5,ξ=0.1,B=2。在不改變外激勵的情況下,通過改變系統初始狀態,改變激勵作用,分別取(x0,v0)為(0,0)、(2,0)和(3,0),其中x0為系統初始位置,v0為系統初始速度。使用四階R-K法對式(9)求解,得到結果如圖13所示。

圖13 系統不同初始狀態位移響應Fig.13 Displacement response of the system in different initial states

由圖13可知,在隔震系統的不穩定區域范圍內,可以實現2種不同幅值的穩態振動。采用理論分析方法確定的穩態幅頻曲線圖14所示,雖然顯示系統在此狀態下有3個解, 但是根據克雷洛夫和博戈留博夫的穩定判據可以確定[29],ab段和cd段對應的是穩定解,bc段對應的是非穩定解,所以在此區域范圍內,每一個外激勵頻率只對應2個穩定解。采用數值分析方法確定的2種穩態振動幅值,與采用理論分析得到的幅值一致,這也驗證了理論分析的正確性。

圖14 ξ=0.1幅頻曲線Fig.14 Amplitude-frequency curves when ξ=0.1

2.2 地震動激勵分析

為研究非線性準零剛度文物隔震系統在地震動激勵作用下隔震特性,式(6)變為

(11)

本文選用了6條地震動記錄,來進行非線性準零剛度隔震系統的動力時程分析。為研究不同類型地震動作用下隔震系統的隔震性能,故選取3條對于短周期結構不利的地震動:臥龍地震動,Northridge地震動,Taft地震動;1條對于中周期結構不利的地震動:El Centro地震動;1條對于長周期結構不利的地震動:Chi-Chi地震動[30];以及1條人造地震動記錄,地震動對應的水平X向加速度反應譜如圖15所示。地震動信息表如表1所示。

圖15 輸入地震動加速度反應譜Fig.15 Acceleration response spectrum of input ground motion

根據隔震系統實際參數,系統尺寸為500 mm,位移限值為250 mm,文物質量m=2 kg,彈簧剛度為200 N/m,阻尼比ξ=0.2,輸入地震動峰值加速度統一按照0.1g輸入,使用四階R-K法對式(11)迭代求解,得到結果如圖16所示。

圖16 隔震系統加速度響應時程曲線Fig.16 Acceleration response time history curves of isolator system

由圖16可知,非線性準零剛度文物隔震系統的加速度時程曲線均小于輸入地震動的時程曲線,經過系統隔震,系統的峰值響應平均降低至地面輸入的32.57%,非線性準零剛度文物隔震系統可以有效地降低地震動的傳遞,形成對文物的保護。

輸入地震動的峰值從0.1g增加至1g,研究非線性準零剛度文物隔震系統的加速度響應峰值變化以及位移響應峰值變化,如圖17和圖18所示。

圖17 加速度響應峰值 Fig.17 Peak values of acceleration response 圖18 位移響應峰值 Fig.18 Peak values of displacement response

由圖17可知,隨著輸入地震動峰值的增加,非線性準零剛度文物隔震系統的加速度響應峰值也隨之增加,但對不同類型地震動的加速度響應增加程度不同。對于長周期成分較少的臥龍地震動的輸入峰值變化不敏感,對于長周期成分較多的地震動輸入峰值變化敏感,甚至當人工地震動輸入峰值為1g時,非線性準零剛度文物隔震系統加速度響應峰值為1.06g,大于輸入地震動峰值,即系統對外部激勵是呈現放大作用的。由圖18可知,隨著輸入地震動峰值的增加,非線性準零剛度文物隔震系統的位移響應峰值也隨之增加,但對不同類型的地震動的位移響應增加程度不同。長周期成分較多的地震動的位移響應峰值遠大于長周期成分較少的地震動,但均小于非線性準零剛度文物隔震系統的位移限值250 mm。

減震系數為

(12)

圖19 減震系數 Fig.19 Damping coefficient 圖20 地震動激勵下傳遞系數 Fig.20 Transfer coefficient under ground motion excitation

由圖19可知,對于在長周期成分較少的臥龍地震動激勵作用下,非線性準零剛度文物隔震系統的減震系數基本是穩定的,這與圖11不同激勵幅值的傳遞系數曲線變化是一致的,即對于高頻激勵,激勵幅值的改變對傳遞系數沒有影響;對于長周期成分較少地震動激勵作用下,非線性準零剛度文物隔震系統的減震系數隨著輸入地震動峰值的增加而增加,其與圖11不同激勵幅值的傳遞系數曲線變化也是一致的,即對于低頻激勵,激勵幅值越大,傳遞系數也越大。

非線性準零剛度文物隔震系統的剛度主要取決于彈簧的剛度K和長度l,但當對式(6)歸一化以后,由式(7)可知,彈簧長度l的變化對隔震系統的性能沒有影響,所以僅需討論彈簧剛度的變化對隔震系統在地震動激勵作用下性能的影響。保持m不變,通過改變ω0的大小,實現對彈簧剛度K的改變。同時改變阻尼比ξ,探討阻尼比對隔震系統的性能的影響。輸入地震動為臥龍地震動,輸入峰值為0.1g,結果如圖20所示。

由圖20可知,隨著彈簧剛度的增加,隔震系統的傳遞系數在逐漸增加,且增長趨勢逐漸趨于平緩,但始終小于1,表明隨著彈簧剛度的增加,隔震系統的隔震性能在逐漸減弱,但始終保持隔震有效性。在彈簧剛度相同的情況下,隨著阻尼比的增大,隔震系統的傳遞系數也隨之變大。

3 結論

本文提出了一種非線性準零剛度文物隔震系統,采用理論分析和數值方法,對其進行了動力特性分析,得到了以下結論:

1)非線性準零剛度文物隔震系統是通過彈簧與中間層形成的機構非線性變形實現,使其在平衡位置剛度為0,隨著系統的運動增加,系統恢復力與剛度呈非線性增加。

2)基于諧波平衡與牛頓迭代聯合方法,對簡諧激勵作用下的二階非線性運動平衡方程求解可知,非線性準零剛度文物隔震系統的幅頻曲線與傳遞系數曲線均存在不穩定區域,增大阻尼比可以降低不穩定區域,增大有效隔震頻率范圍,但在有效隔震頻率范圍內增大阻尼比會降低隔震系統的性能,增大傳遞系數;增大彈簧剛度也會降低不穩定區域,但同時也會降低有效隔震頻率范圍;增大外激勵振幅會增大不穩定區域,同時會降低有效隔震頻率范圍。

3) 非線性準零剛度文物隔震系統在簡諧激勵作用下的不穩定區域內,同一個外激勵頻率僅對應著系統的2個穩定解。在地震動的激勵下數值分析,非線性準零剛度文物隔震系統的加速度響總能小于輸入地震動,發揮良好的隔震性能;系統的位移響應對于輸入各種地震動的峰值為1g時,總是小于系統的位移限值;非線性準零剛度文物隔震系統對于短周期地震動的隔震性能優于對長周期地震動的隔震性能,這與簡諧激勵作用下的分析結果是一致的。由于非線性準零剛度文物隔震系統為準零剛度系統,故無論怎樣增加彈簧剛度,隔震系統總會發揮一定的隔震效果,當彈簧剛度增加到一定值以后,傳遞系數趨于一個定值。