分數一階電路等效模型估計鋰離子電池SOC

徐鵬躍,張國玲,王 濤,程 佳*

(1.滄州職業技術學院車輛工程系,河北 滄州 061000;2.河北工業大學機械工程學院,天津 300400)

在實際運行中,鋰離子電池的內部狀態無法直接測量,給電池管理系統(BMS)的設計帶來很大的困難。為保證系統的高效、安全、穩定運行,BMS 要能準確地估計電池的狀態,而使用更精確的模型參數是實現準確估計的前提[1]。

標準等效電路模型由一系列電阻和電容組成,常見的有Rint 模型、Thevenin 模型及各種并聯RC 支路的電路模型,均為整數階模型。近年來,由于分數階理論的提出,且研究發現純電容對應的電化學阻抗譜(EIS)與實際的電池動力學不完全一致,人們提出了包含恒相位元件(CPE)[2]的等效電路模型,并稱為分數階模型。分數階模型對電池模型精度的影響很大,且與電池的荷電狀態(SOC)有一定的相關性。梁瑩等[3]比較了3 種一階電池模型,評價了模型的準確性。文獻[4]采用二階電路模型對電池建模,結合擴展卡爾曼濾波(EKF)對SOC 進行估算,誤差率在±5%以內。文獻[5]在EIS 中對比了整數階和分數階模型,并采取分數階聯合卡爾曼濾波器對模型參數進行在線辨識,辨識結果穩定性高。

模型參數的準確性也至關重要。鋰離子電池的參數識別方法的研究較多:文獻[6-7]討論了基于粒子群算法的方案,文獻[8-9]研究了基于遞推最小二乘(RLS)法的方案。其中,粒子群算法在參數識別中存在初始值隨機、種群聚類、容易陷入局部最優、收斂速度慢等不足。RLS 法為一種在線辨識方法,近年來,基于遺忘因子的遞推最小二乘(FFRLS)法日益頻繁地用于辨識電池參數。

本文作者以磷酸鐵鋰鋰離子電池為研究對象,采用整數一階模型、整數二階模型及分數一階等電路模型,分別進行等效分析,使用FFRLS 算法辨識模型中的參數。采用EKF算法對電池SOC 進行估計并且輸出矩陣為電池端電壓,為判斷模型精度提供數據支撐。

1 電池模型建立

1.1 整數一階電池模型

整數一階等效電路模型見圖1。

圖1 整數一階RC 等效電路模型Fig.1 Integral first-order RC equivalent circuit model

該模型由電壓源、電池歐姆內阻和一個RC 電路支路組成,其中:Uoc為電池開路電壓;UL為電池的端電壓;I為充放電電流;R0為電池歐姆內阻;R1、C1為極化電阻和電容;U1為電阻R1的端電壓。

根據電路定理可以寫出電路關系,如式(1)所示;電池SOC 根據安時積分法可定義為式(2)。

式(1)、(2)中:t為時域;Qn為電池額定容量。

參數辨識和SOC 估計均涉及離散狀態空間方程,可將式(1)、(2)離散化后寫成狀態方程的形式[式(3)]。

式(3)中:k為離散域;T為采樣時間;e 為自然底數。

1.2 整數二階電池模型

整數二階等效電路模型見圖2。

圖2 整數二階RC 等效電路模型Fig.2 Integral second-order RC equivalent circuit model

該模型比起一階模型多一個并聯RC 電路支路,理論上,精度會高于一階電路模型精度,其中:R2、C2為濃差電阻和電容;U2為電阻R2的端電壓。

列寫電池等效電路關系,如式(4)所示。

寫成離散化的狀態空間方程形式,如式(5)所示。

1.3 分數一階電池模型

分數一階等效電路模型見圖3。

圖3 分數一階等效電路模型Fig.3 Fractional first-order equivalent circuit model

該模型相較于整數一階模型引入了CPE,從而構成了分數階等效模型,理論上,精度會高于一階電路模型精度,其中:Z1表示恒相位元件。

CPE 定義為:

式(6)中:C為模型元件參數;α為CPE 的階數,取值為[-1,1];ω為角頻率;i代表虛部。

寫出電路關系如式(7)所示。

分數階微積分采用Grunwald-Letnikov 離散化方法進行計算,如式(8)所示。

2 在線參數辨識

在線參數辨識是在當前時刻采集到的數據基礎上,對參數進行遞歸辨識的方法,為使數據更貼近真實的結果,辨識結果需要跟隨系統的不同輸入進行實時修正。

實驗所用在線參數辨識方法為FFRLS 法,與傳統的最小二乘法相比,實現了在線參數辨識的功能,降低了誤差,并克服了RLS 法隨數據量增大會出現數據飽和的問題。FFRLS法在RLS 法中引入遺忘因子,在遞歸過程中對新舊數據的權重進行重新分配,降低舊數據在遞歸結果中的占比,使算法能夠快速收斂至真實值附近。

FFRLS 算法的步驟如下。

①定義φ(t)為觀測矩陣,θ為參數矩陣,包含電路中的參數,如R0、R1、C1等。

②計算增益矩陣K(k+1)。

式(10)中:P(k)為協方差矩陣;λ為遺忘因子,λ≤1。

③更新協方差矩陣。

④計算誤差矩陣e(k+1)。

式(12)中:y(k+1)為輸出矩陣。

⑤更新參數矩陣。

⑥重復步驟②～⑤,直至在線參數辨識結束。

3 擴展卡爾曼濾波算法

EKF 和基于EKF 的自適應算法廣泛應用于SOC 估計,基本思想是通過泰勒展開對方程進行線性化。算法中使用的非線性離散系統方程的一般公式見式(14)。

式(14)中:f(xk,uk)為非線性系統的狀態傳遞函數;g(xk,uk)為非線性系統的測量函數;xk為第k步的狀態向量;yk為系統的輸出變量;wk為過程噪聲;vk為測量噪聲。

忽略式(14)中的高階項,可得式(15)。

式(15)中:^xk為k時刻輸出矩陣的預測值。

EKF 的詳細計算過程如下。

①初始化x0,Q、R和P;其中,Q和R分別為噪聲wk和vk的方差矩陣,一般用vk來估計R,vk在實驗中得到,Q通常由經驗設定,P為協方差矩陣。

②先驗估計。

③更新端電壓與先驗估計端電壓之間的差值ek。

④更新增益矩陣Kk。

⑤更新狀態向量:

⑥更新協方差矩陣。

⑦重復步驟②～步驟⑥,直至SOC 估計結束。

4 結果與討論

實驗測試的電池為IFP36130155-36Ah 型磷酸鐵鋰鋰離子電池(山東產),額定容量為36 Ah,工作電壓為2.5 ～3.7 V,標準放電電流為12 A,最大充電電流為12 A。

在動態應力工況[10]下,對電池的參數以及SOC 進行估計,分數階階數α固定為0.5,參數辨識的結果見圖4-6。

圖4 整數一階參數辨識結果Fig.4 Integral first-order parameter identification results

圖5 整數二階參數辨識結果Fig.5 Integral second-order parameter identification results

圖6 分數一階參數辨識結果Fig.6 Fractional first-order parameter identification results

從圖4-6 可知,R0、R1和C1的辨識結果相差不大,根據理論分析,階數存在于C1中,則C1大小存在偏差,結果符合理論邏輯。整數二階由于增加了一個并聯RC 支路,辨識的參數較整數一階增加了R2、C2。由理論分析可知,并聯的支路越多,并聯的參數對電池的影響越小。讀取R2、C2的數值發現,R2、C2的值小于R1、C1,符合理論分析。

3 種電路模型的預測端電壓及真實端電壓見圖7。

圖7 3 種電路模型的預測端電壓與真實端電壓Fig.7 Predicted terminal voltages of three circuit models and real terminal voltage

從圖7 可知,整數二階曲線更貼近于真實端電壓,原因是整數二階電路模型精度高于整數一階。此外,分數一階電路模型比起整數一階更貼近EIS,因此分數一階電路預測端電壓曲線會更接近真實端電壓曲線。對比整數二階和分數一階的預測端電壓曲線可知,二者的曲線接近程度近似,表明分數低階電路可用更少的電氣元件達到整數高階電路的精度,簡化了電路模型,也降低了計算量。

3 種模型的端電壓誤差曲線見圖8。

圖8 3 種模型的端電壓誤差曲線Fig.8 Terminal voltage error curves of three models

從圖8 可知,整數一階的端電壓誤差遠大于整數二階和分數一階的,而整數二階和分數一階的端電壓誤差相差不大,分數一階的端電壓誤差略小于整數二階,表明分數低階的精度與整數高階的精度相差不大,甚至會優于整數高階電路模型的精度,體現了分數階模型的優越性。

3 種電路模型的SOC 估計結果見圖9。

圖9 3 種電路模型SOC 估計曲線與實測SOC 曲線Fig.9 SOC estimated curves of three circuit models and measured SOC curves

從圖9 可知,整數一階模型的估計精度最差,整數二階模型精度較好,分數一階模型精度最好,驗證了分數階模型精度的優越性。

3 種電路模型的SOC 估計誤差見圖10。

圖10 3 種模型的SOC 估計誤差Fig.10 SOC estimation errors of three models

從圖10 可知,整數一階模型估計SOC 的誤差約為8%,整數二階模型SOC 誤差約為7%,而分數一階模型的SOC 誤差僅約為1%,分數階模型下估計的SOC 誤差小于整數一階、整數二階模型,體現了分數階模型的有效性。

5 結論

本文作者以磷酸鐵鋰鋰離子電池為研究對象,采用整數一階、整數二階及分數一階等3 種電路模型對電池進行等效建模。對電路模型中參數進行在線辨識及SOC 估計,發現:整數階模型中,階數越高,模型的精度越高,體現在端電壓誤差及SOC 估計誤差會隨著階數增加而減小;分數階模型與整數階模型相比,在階數相同時,優于整數階模型,在階數不同時,精度足以媲美高階整數模型的精度,甚至在某些情況下,低階分數模型的精度會優于高階整數模型的精度,體現了分數階模型的有效性與優越性。