高義奇，林超偉，劉紅星，方飛虎，吳昀澤

(1.柏濤國際工程設計顧問(深圳)有限公司，深圳 518031；2.深圳市柏濤藍森國際建筑設計有限公司，深圳 518053)

我國《砌體結構設計規范》(GB 50003-2011)，以下簡稱《砌規》[1]通過限制高厚比的構造措施來保證墻體穩定性，普通墻體考慮構造柱及自承重墻的修正系數后高厚比限值通常小于30，故對于200 mm 厚的建筑砌體隔墻，當層高超過6 m 時其高厚比驗算將難以滿足規范要求。隨著對建筑物功能要求的不斷提高，在會議會展中心、商場影院、體育場館、高鐵站廳等公共建筑中出現越來越多的大層高大空間結構，若仍按《砌規》驗算方法來控制墻厚，墻厚的增加不僅增加結構自重、極大地影響建筑使用空間，而且十分不經濟。高厚比限值主要基于墻體強度承載力與穩定承載力相等的原則得出，而實際上自承重墻的荷載很小，其強度承載力并未充分發揮，《砌規》高厚比限值不適用于自承重墻，采用墻體穩定承載力的直接計算方法來指導工程設計會更為合理和經濟。

以往關于砌體墻穩定性的研究[2-4]多關注墻頂作用荷載的情況，而自承重墻主要承受自重，即為軸向均布荷載，因此有必要研究荷載分布形式對穩定性的影響。軸向均布荷載下一維桿件的穩定性問題已有一定的研究成果，例如，李亮等[5]利用能量法推導了豎向均布荷載作用下懸臂桿的屈曲臨界荷載簡化計算公式，黃開志等[6]采用近似求解靜力平衡微分方程的方法得出不同邊界條件壓桿在軸向均布荷載下穩定性計算公式，田煒烽等[7]采用基于數值擬合的等效力法來求解任意分布軸力作用下框架柱彈性穩定問題。對于軸向均布荷載下二維墻體的穩定性研究成果還較少，蔚博琛等[8]基于能量法建立了一字形墻肢考慮自重時平面外失穩的計算方法，但其研究的一字墻實質仍是一維受力問題。

砌體墻厚度一般遠小于其他兩個方向的尺寸，可簡化為薄板，墻體在自重荷載下的失穩模態是沿厚度方向的彎曲變形，穩定性破壞通常發生在材料進入塑性之前，因此砌體墻穩定性問題可類比彈性力學的薄板壓曲問題[9]。砌體墻為復雜的非均勻各向異性材料，在采用薄板壓曲問題的相關計算理論和方法前，需對其進行勻質化等效。對于純砌體，可將其視為由周期性介質規律組合而成的材料，并通過研究等效體積單元的特性來得到等效勻質材料的參數[10-14]，但對于帶構造柱和圈梁的墻體該方法難以適用。本文參考帶肋梁增強的構造異性結構的擬板法[15-16]，基于面外抗彎剛度和面內軸向剛度相等原則對帶構造柱和圈梁的砌體墻進行各向同性等效，而后基于薄板壓曲理論來求解不同邊界和荷載條件下的墻體穩定性問題。

1 軸向均布荷載下矩形薄板的壓曲

根據彈性力學理論[17]，薄板壓曲臨界荷載可采用靜力法(求解平衡微分方程)、能量法(如瑞利-里茲法)或數值法(如有限元法)進行計算。一般只有極少數情況可采用靜力法得到理論結果，隨著計算機技術的發展，采用數值法雖然容易求得滿足工程應用精度的結果，但難以得到顯示的計算公式表達，因此可將其作為理論計算的輔助驗證手段。本文采用能量法和數值擬合相結合的方法來推導軸向均勻分布荷載下矩形薄板壓曲臨界荷載的計算公式，考慮3 種邊界情況，分別是：對邊簡支對邊自由、三邊簡支一邊自由、四邊簡支。

采用能量法時需先設定滿足位移邊界條件的薄板壓曲撓度ω，為了提高計算精度，ω可采用級數形式，即：

式中：ωm為滿足位移邊界條件的函數；Cm為互不依賴的待定系數，其值由最小勢能原理確定。板在微彎狀態下的總勢能Π 是板的應變能U和外力勢力W之和，即：

圖1 對邊簡支對邊自由板分析簡圖Fig.1 Calculation diagram of opposite sides simply supported and other sides free plate

1.1 對邊簡支對邊自由板

計算簡圖如圖1 所示，板承受沿-x方向的均布荷載作用，則板內軸力為三角形分布，設底部單位寬度板的反力為P，則橫軸坐標x處單位寬度板的軸力為Px=P(a-x)/a。設失穩臨界狀態時板的撓度表達式如下：

容易驗證式(4)滿足板的位移邊界條件。

即計算結果表達式與泊松比ν無關。

取式(4)的前兩項計算，即m=1、2，并將Fx=Px、Fy=0、Fxy=0 代入式(3)和式(5)，可得應變能U和外力勢能W分別為：

根據勢能駐值原理，可得到：

由于C1、C2不同時為0，故上面關于C1、C2的線性方程組的行列式應為0，觀察上述方程的系數特點，令，代入后整理得到特征方程如下：

解得ξ=1.8825，或ξ=10.6611(舍去)。為校核該結果的誤差大小，可對式(4)取更多項次進行計算，由于積分運算量較大，筆者通過開源軟件Python 及其符號運算庫SymPy[18]編程處理，勢能求解主要采用了積分函數integrate( )和微分函數diff( )，特征方程的求解采用solve( )函數，最后得到 當m取3 項 時ξ=1.8819，當m取4 項 時ξ=1.8814，可見增加計算項次后結果差異很小，說明假定的撓度表達式(4)收斂性良好。

為驗證上述結果的可靠性，采用SAP2000 軟件建立與圖1 對應的有限元屈曲分析模型，計算參數如下：E=5 GPa、10 GPa，t=100 mm、200 mm，ν=0.15，b=5 m，單位面積自重荷載q=1 kN/m2，高寬比r=a/b的取值區間為[0.5～6]，采用薄殼單元，網格劃分尺寸取0.25 m。根據有限元計算得到的第一階屈曲因子，可計算出臨界荷載，進而反算出系數ξ，結果如圖2 所示，其中“E10t100”表示E=10 GPa，t=100 mm，其余類似。可知：① 系數ξ 與彈性模量E和墻厚t無關，原因是有限元模型的屈曲臨界荷載始終與E和t3成正比，反算系數ξ 值時會直接約分掉；② 有限元分析得到的系數ξ 在[1.89～1.84]之間，與能量法計算推導的結果吻合良好，驗證了理論計算方法的正確性。對于工程應用而言可取ξ=1.8，即對邊簡支對邊自由板的臨界荷載Pcr計算如下：

圖2 對邊簡支對邊自由板ξ-r 關系Fig.2 The relationship between ξ and r of two opposite sides simply supported and other two sides free plate

1.2 三邊簡支一邊自由板

如圖3 所示，荷載分布與圖1 相同，但其中一個側邊改為簡支，另一側邊仍為自由邊。設失穩臨界狀態時板的撓度表達式如下：

圖3 三邊簡支一邊自由板分析簡圖Fig.3 Calculation diagram of three sides simply supported one side free plate

容易驗證式(11)滿足板的位移邊界條件。

參考文獻[10]中給出的不同邊界下矩形薄板臨界荷載表達式的形式，令取泊松比ν=0.15。計算過程與1.1 節相同，當式(11)取m=1、2 兩項計算時，可得到K的特征方程為：

在式(12)中代入不同的r值即可求出對應的K。同樣地，為校核計算結果的誤差大小，對式(11)增加m的計算項次，筆者采用Python 編程處理。另外，建立與圖3 對應的有限元屈曲分析模型來反算K值，計算參數同1.1 節，同樣可以驗證系數K與彈性模量E和墻厚t無關。另外，考慮到常規砌體材料泊松比ν的取值范圍為0.15～0.20，在圖4 中也給出ν=0.20 的計算結果。

圖4 三邊簡支一邊自由板K-r 關系Fig.4 The relationship between K and r of three sides simply supported one side free plate

可見：① 增加m的項次后計算結果差異很小，說明假定的撓度表達式(11)收斂性良好；②有限元分析結果與能量法推導結果吻合良好，驗證了理論計算方法的正確性；③K值隨泊松比增大而有所減小，但差異在5%以內。為方便工程應用，可采用簡化的式(13)來計算K：

即三邊簡支一邊自由板臨界荷載Pcr為：

1.3 四邊簡支板

圖1 中的兩條自由邊改成簡支邊，即得到四邊簡支板的計算簡圖，荷載分布不變。由于臨界荷載是板保持微彎狀態的最小荷載，荷載沿-x向作用，y向變形應是半波，故設失穩臨界狀態時板的撓度表達式如下：

容易驗證式(16)滿足板的位移邊界條件。

參考文獻[9]，可以證明此時式(3)中U的第二項積分結果為0，故簡化為：

即計算結果表達式與泊松比ν無關。

與1.2 節類似，對式(16)取不同的計算項次，并采用Python 編制計算程序，可得到K-r的關系。另外，建立有限元屈曲分析模型來反算K值，有限元計算參數同1.1 節，同樣可以驗證系數K與彈性模量E和墻厚t無關。計算結果對比如圖5。

圖5 四邊簡支板K-r 關系Fig.5 The relationship between K and r of four sides simply supported plate

可見：① 隨著高寬比r的增加，需要相應增加m的項次才能得到準確的結果，比如，當r=2時，m取4 項或以上時的結果均是接近的，而當r=4時，m需取6 項或以上時結果才是接近的，這與1.1 節、1.2 節的規律不同，原因是前兩種邊界條件下板沿x向的屈曲形態均接近半波變形，而四邊簡支板的屈曲形態是底部集中變形，如圖6所示，因此當r增加時四邊簡支板的撓度函數需要取更多的項次才能描述其實際變形情況；② 能量法推導結果較有限元分析結果偏大，但偏差基本在5%以內，驗證了理論計算方法的正確性。為方便工程應用，可采用簡化的式(18)來計算K：

圖6 不同邊界條件板的屈曲模態(以r=3 為例)Fig.6 Buckling modes of plates with different boundary conditions (r=3)

即四邊簡支板臨界荷載Pcr為：

2 砌體墻等效各向同性

砌體墻通常包含砌塊、砂漿、構造柱及圈梁等組成部分，材料性質復雜，且實際工程中還要考慮墻體厚度、構造柱和圈梁截面大小及間距等變化，在計算軟件日臻完善的今天可以通過建立精細有限元模型[19-20]來得到即定參數下的墻體穩定承載力，但此方法耗時較大，難以用于直接指導工程設計。如果對砌體墻進行材料各向同性等效，則可采用第1 節推導的結果來進行砌體墻穩定性計算。本文等效計算基于以下假定條件：① 砌體墻各組成部分的材料均假定為彈性；② 砌塊和砂漿采用整體化模擬，不考慮灰縫、馬牙槎等影響；③ 構造柱和圈梁均勻分布且平均面外剛度接近。

2.1 等效計算方法

對于構造柱和圈梁均勻布置的墻體，參數示意如圖7，并設：砌體墻厚tm，彈性模量Em；構造柱截面bc×hc，間距sc；圈梁截面bb×hb，間距sb；圈梁和構造柱彈性模量均為Ec。取sc寬度范圍帶構造柱的砌體墻計算，考慮板的泊松效應，可得等效板單位寬度的抗彎剛度D1和軸向剛度H1分別為：

圖7 砌體墻等效計算參數示意Fig.7 Parameters for homogenization of masonry walls

同樣地，可取sb高度范圍的砌體進行等效計算，只需將式(21)、式(22)中的構造柱參數換成圈梁對應參數即可，相應地得到等效板單位寬度的抗彎剛度D2和軸向剛度H2。一般情況下當圈梁和構造柱的截面尺寸或間距不同時沿寬度和高度等效得到的結果并不相同，一字形墻失穩模態為單向彎曲變形，其等效計算只需考慮D1、H1，其余情況墻體失穩模態為雙向彎曲變形，其等效計算應取兩個方向的平均值，即：

式中，Eeq、νeq、teq、Deq、Heq分別為等效各向同性材料板的彈性模量、泊松比、厚度、單位寬度的抗彎剛度和軸向剛度，并取νeq=ν。對一字形墻取κ=0，其余情況取κ=1。

由式(23)、式(24)可得：

將teq代入式(24)即可求得：

除一字形墻外，為避免兩個方向的剛度差異較大導致上述等效產生較大誤差，圈梁與構造柱的平均面外抗彎剛度應接近，即按式(27)控制圈梁和構造柱的截面和間距：

當砌體墻面積較小或構造柱、圈梁非均勻布置時，按上述等效計算可能帶來一定的誤差，此時可取整片墻進行等效計算，只需將式(21)、式(22)稍作調整改為式(28)、式(29)即可：

式中：B為整片墻的寬度；hci、bci為各構造柱的高度和寬度，轉角位置的構造柱計1/2。同樣地，可按整片墻高進行水平向等效得到D2、H2，計算過程類似。

2.2 等效模型有限元驗證

為驗證砌體墻等效各向同性計算方法的可靠性，采用SAP2000 軟件建立一字形、L 形、槽形三種平面形式的墻體有限元屈曲分析模型，分別代表兩邊支承板、三板支承板及四邊支承板的屈曲模態形式。墻體平面示意見圖8，計算參數見表1，各形式墻體分別進行6 m、10 m、14 m、18 m四種不同高度的建模計算。以10 m 高槽形墻為例，有限元模型三維示意見圖9，其中：模型A 為實際結構模型，墻體采用殼單元，構造柱和圈梁采用梁單元；模型B 為等效模型，采用殼單元；兩模型邊界條件相同，即底部約束3 個方向(X、Y、Z)的平動自由度，頂部約束2 個方向(X、Y)的平動自由度，側邊無約束。模型按5.0 kN/m2均布自重荷載進行-Z向加載，并進行此荷載工況下的整體屈曲分析。

表1 墻體計算參數Table 1 Calculation parameters of masonry walls

圖8 砌體墻平面布置示意Fig.8 Plan of masonry wall

圖9 等效墻體驗證的有限元模型Fig.9 Finite element model for validation of homogenized walls

對不同形式、高度和構造柱尺寸的墻體進行有限元模型的屈曲分析，得到第一階屈曲因子，計算結果見圖10，圖中墻體編號C-10 表達槽形墻、高度10 m，其余類似。由結果可知：① 模型A 和模型B 的計算結果接近，最大差異約12%；② 當構造柱和圈梁的寬度增加時模型B 和模型A的結果比值有增大的趨勢，說明構造柱、圈梁形成的框架等效成殼單元后剛度有所偏大，原因在于等效殼單元的面內抗剪剛度大，另外構造柱端部為單節點鉸接，無扭轉剛度，等效成殼后為多節點線約束，相當于增加了扭轉剛度。整體而言，2.1 節給出的砌體墻等效為各向同性彈性板的方法可行，等效計算具有較好的精度。

圖10 不同模型砌體墻屈曲分析結果對比Fig.10 Comparison of buckling analysis results of masonry walls with different models

3 砌體墻穩定性設計公式

根據前述推導，軸向均勻分布荷載作用下矩形薄板屈曲臨界荷載可統一表達為：

不同板邊界條件下的ξ 值按式(10)、式(15)、式(20)計算。參考《高層建筑混凝土結構技術規程》(JGJ 3-2010)[21]附錄D 關于剪力墻的穩定性計算方法，考慮到材料的彈塑性、荷載的長期性及荷載偏心距、墻體施工垂直度偏差等影響，取豎向荷載設計值不大于理論計算臨界值的1/10。設層2高為h，采用等效各向同性的材料參數，并取，可得：

式中：P為軸向均勻分布荷載作用下墻底單位寬度的軸力設計值；ξ 根據不同邊界條件按下述取值：

1) 單片獨立墻肢按對邊簡支對邊自由板計算，取ξ=1.8。

2) T 形、L 形、槽形和工字形墻的翼緣及T 形墻的腹板(圖11)，按三邊簡支一邊自由板計算ξ：

圖11 墻體腹板和翼緣截面高度示意Fig.11 Section height of wall webs and flanges

式中：bf取單側翼緣高度bfi的大值，對于T 形墻的腹板則取腹板高度bw。

3) 槽形和工字形墻的腹板(圖11)，按四邊簡支板計算ξ：

4 工程應用

4.1 案例1

長沙某國際會議中心采用鋼框架結構，建筑地上整體為3 層，典型層高為13 m 和18 m，局部有夾層區域層高為9 m。建筑設計要求隔墻采用A5.0 蒸壓加氣混凝土砌塊和Mb5.0 專用砌筑砂漿。如按高厚比限值30 進行估算，則層高18 m時砌體墻厚度將達到600 mm，這將極大地影響建筑使用功能并增加結構自重。結構設計時通過加密、加大構造柱和圈梁來增強砌體墻整體穩定性。圈梁寬度同墻厚，高度為250 mm，沿豎向的布置間距為2 m。砌體墻及構造柱典型布置如圖12所示，構造柱沿墻長均勻分布，門洞高度2.3 m，洞頂均設置截面同圈梁的過梁。構造柱和圈梁混凝土等級C30，彈性模量Ec=30 GPa，砌體彈性模量Em=2.2 GPa。考慮砌體自重、抹灰、裝修吊掛等荷載，墻厚200 mm、300 mm 時對應荷載標準值分別為4.5 kN/m2、5.5 kN/m2。

圖12 某國際會議中心砌體隔墻典型布置 /mmFig.12 Typical plan of masonry partition in an International Conference Center

不考慮門洞影響，按本文提出的計算方法和有限元模擬分析分別對圖12 所示典型隔墻進行穩定性驗算，有限元建模方式同圖9 的模型A，毎個算例中的縱、橫墻及結構柱等構件均整體建模考慮。結果如表2 所示：① 由P1/P2的結果可知式(31)的計算結果與有限元結果接近；② 由P1/P的結果可知承載力安全系數均大于1，說明砌體墻穩定性滿足設計要求；③ 墻W1 的公式計算結果偏保守，原因是本文第一章推導中假定板邊界為理想簡支，而實際上與之相連的墻體會提供一定的彎曲剛度。

表2 某國際會議中心典型砌體隔墻穩定性驗算結果Table 2 Stability calculation results of typical masonry walls in an International conference center

4.2 案例2

海口某國際會展中心采用帶支撐鋼框架結構，建筑地上整體為1 層(局部設置夾層)，建筑隔墻采用A5.0 蒸壓加氣混凝土砌塊砌筑，局部隔墻最大高度20 m。圈梁寬度同墻厚，高度為200 mm，沿豎向的布置間距為2 m。砌體墻及構造柱典型布置如圖13 所示，構造柱沿墻長均勻分布，門洞高度2.4 m，洞頂均設置截面同圈梁的過梁，構造柱和圈梁混凝土等級C25。砌體自重、抹灰、裝修吊掛等荷載標準值合計為4.0 kN/m2。

圖13 某國際會展中心砌體隔墻典型布置 /mmFig.13 Typical plan of masonry partition in an international convention and exhibition center

隔墻穩定性驗算結果見表3，由表可知：① 穩定性安全系數P1/P的結果均大于1，說明墻體穩定性滿足設計要求；② 墻W7 和W9 布置相同，但W9 有限元分析的穩定承載力比W7 大40%左右，原因是W9 兩側有距離較近的框架柱，框架柱剛度大，對W9 的水平向彎曲變形產生較強的約束作用。

表3 某國際會展中心典型砌體隔墻穩定性驗算結果Table 3 Stability calculation results of typical masonry walls in an international convention and exhibition center

4.3 施工過程控制措施

砌體隔墻在砌筑過程中存在砂漿強度尚未達到設計值、墻頂與主體結構的拉結作用尚未形成等情況，其邊界條件及受力狀態與正常使用情況有所不同，為保證超高砌體墻施工過程的穩定性，建議采取以下措施：

1) 在墻體面外設置臨時支撐以減小施工過程中墻體的計算高度，比如采用鋼管扣件腳手架、剪刀撐和拋撐等方式搭設穩定的砌筑操作平臺，墻體與操作平臺之間設置臨時拉結措施。

2 )沿墻高分段砌筑，每段高度不超過4 m，且縱橫墻整體同步施工，每個分段砌筑完成后即澆筑本段墻的構造柱及圈梁，待構造柱及圈梁混凝土達到不低于75%設計強度后再進行下一分段的砌筑。

3) 墻砌至板、梁附近后，應留一定空隙，間隔7 d 以上待下部砌體沉實后再用斜砌法敲緊填實，墻頂與梁或板設間距不超過1 m 的拉結筋。

4) 砌體與主體結構柱、構造柱、圈梁之間設置間距約0.5 m 的拉結筋，構造柱縱筋在柱腳及柱頂對應主體結構位置提前預埋。

上述措施已應用到工程案例1 和案例2 中，最終效果良好，目前上述工程均已完成竣工驗收并正式投入使用。

5 結論

本文以穩定計算理論為基礎，推導了軸向均布荷載作用下不同邊界矩形薄板的壓曲臨界荷載計算公式，采用勻質化等效手段，將薄板計算公式應用到自承重砌體墻穩定性驗算中，并對相關計算結果進行有限元模擬驗證。主要結論如下：

(1)基于能量法并選取滿足邊界條件的撓曲試函數，借助Python 軟件自編計算程序，本文得到了對邊簡支對邊自由板、三邊簡支一邊自由板及四邊簡支板在軸向均布荷載作用下屈曲特征值K、ξ 的計算公式。有限元分析結果與能量法推導結果吻合良好，驗證了本文方法的正確性。

(2)基于面外抗彎剛度和面內軸向剛度相等原則，本文提出一種將帶構造柱和圈梁的砌體墻等效成各向同性材料的方法，有限元對比分析表明等效模型用于屈曲分析具有較好的精度，可以滿足工程應用需要。

(3) 根據平面布置形式的不同，采用等效各向同性材料，將砌體墻歸類成不同邊界條件彈性板的計算，并提出墻體穩定性計算公式。兩個實際工程的應用結果表明，本文方法操作簡便，可考慮砌體墻不同邊界條件、構造柱和圈梁布置、自重墻三角形軸力分布特點等影響；計算結果合理，可用于指導類似工程設計。

本文理論推導基于彈性材料假定，雖然采用有限元模型進行了結果驗證，但材料的非線性行為尚未做討論，這也是后續進一步研究的重點。