基于MATLAB的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法分析及應(yīng)用

摘 要：以機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法為研究對象，介紹了機(jī)械優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學(xué)模型的建立方法、優(yōu)化設(shè)計方法的選擇和優(yōu)化設(shè)計問題的編程與計算方法，并舉例驗證利用MATLAB優(yōu)化工具箱對曲柄搖桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計過程的合理性和可行性，可為平面運(yùn)動機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計提供方法借鑒。

關(guān)鍵詞：機(jī)械優(yōu)化設(shè)計；數(shù)學(xué)模型；MATLAB；曲柄搖桿機(jī)構(gòu)

中圖分類號：TH112? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? 文章編號：1671-0797（2024）03-0036-03

DOI：10.19514/j.cnki.cn32-1628/tm.2024.03.009

0? ? 引言

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計是在傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計的基礎(chǔ)上加入優(yōu)化設(shè)計理論與方法，根據(jù)已知設(shè)計要求與條件，借助計算機(jī)，在滿足一定約束的諸多可行方案中，尋找一組使得產(chǎn)品設(shè)計指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的參數(shù)的過程[1]。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計方法的應(yīng)用明顯提高了產(chǎn)品的設(shè)計質(zhì)量，有效縮短了產(chǎn)品的開發(fā)周期。圖1為機(jī)械優(yōu)化設(shè)計一般流程。

圖1中，建立數(shù)學(xué)模型、選擇優(yōu)化方法和編程計算是三個核心環(huán)節(jié)。

1? ? 優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學(xué)模型的建立

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計過程中，建立對應(yīng)問題的數(shù)學(xué)模型是難點，數(shù)學(xué)模型三要素為設(shè)計變量、約束條件和目標(biāo)函數(shù)。

1.1? ? 設(shè)計變量

設(shè)計變量是和具體的優(yōu)化設(shè)計問題相適應(yīng)的一組參數(shù)，設(shè)計變量分連續(xù)設(shè)計變量和離散設(shè)計變量，其向量表達(dá)式為：

x=[x1 x2…xn]T

任一產(chǎn)品都是由多個設(shè)計變量限定結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體，產(chǎn)品的設(shè)計變量越多，設(shè)計越精確，但建模和優(yōu)化的難度也越大。所以，在選擇設(shè)計變量時應(yīng)注意重點考慮影響設(shè)計問題的關(guān)鍵因素，同時考慮設(shè)計問題的特殊性。

1.2? ? 約束條件

約束條件指的是在優(yōu)化設(shè)計中，設(shè)計變量的選擇要符合一定的約束范圍或限定條件。約束條件分為等式約束和不等式約束，如下所示：

hk（x）=0（k=1，2，…，l）

gj（x）≤0（j=1，2，…，m）

等式約束條件對設(shè)計變量的約束更為具體，而不等式約束條件要求設(shè)計點在約束曲面的一側(cè)即可（包括設(shè)計曲面）。

1.3? ? 目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)函數(shù)是以設(shè)計變量為參數(shù)來表達(dá)設(shè)計目標(biāo)的函數(shù)，也叫評價函數(shù)，具體如下：

f（x）=f（x1，x2，…，xn）

最優(yōu)化設(shè)計過程一般為求目標(biāo)函數(shù)的極小值的過程，即：

f（x）=f（x1，x2，…，xn）→min

當(dāng)最優(yōu)點為可行域中的極大值點時，f（x）=f（x1，x2，…，xn）→max，設(shè)計過程可看成是求-f（x）或1/f（x）的極小值，即：

-f（x）=-f（x1，x2，…，xn）→min

或：

1/f（x）→min

在某一最優(yōu)化設(shè)計問題需要提出多個目標(biāo)函數(shù)時，該設(shè)計問題稱為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題，其表達(dá)式為：

f1（x）=f1（x1，x2，…，xn），

f2（x）=f2（x1，x2，…，xn），

[…]

fq（x）=fq（x1，x2，…，xn）

為了協(xié)調(diào)多目標(biāo)函數(shù)之間的矛盾，常采用線性加權(quán)的方式形成一個復(fù)合目標(biāo)函數(shù)，即：

f（x）=W1 f1（x）+W2 f2（x）+…+Wq fq（x）

式中：Wq為加權(quán)因子，為一非負(fù)系數(shù)。

1.4? ? 優(yōu)化設(shè)計問題的一般數(shù)學(xué)形式

由以上得出優(yōu)化設(shè)計問題的一般數(shù)學(xué)形式如下：

求設(shè)計變量向量x=[x1 x2…xn]T，使目標(biāo)函數(shù)f（x）=

f（x1，x2，…，xn）→min，滿足約束條件hk（x）=0（k=1，2，…，l）和gj（x）≤0（j=1，2，…，m）。由此得到優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型：

min f（χ），χ∈Rn

s.t. hk（x）=0（k=1，2，…，l）

gj（x）≤0（j=1，2，…，m）

2? ? 優(yōu)化設(shè)計問題優(yōu)化方法的選擇

優(yōu)化設(shè)計問題的常見解法有解析法、圖解法和數(shù)值迭代法，解析法和圖解法的特點是簡單、直觀，但只適用于不高于二維的設(shè)計；數(shù)值迭代法是根據(jù)計算機(jī)的數(shù)值計算特點，以適當(dāng)步長向目標(biāo)函數(shù)值的最優(yōu)值逐步逼近的一種方法，這種方法具有一定的邏輯結(jié)構(gòu)，且按一定格式進(jìn)行反復(fù)迭代，不僅可用于求解復(fù)雜函數(shù)的最優(yōu)解，還可用于處理沒有建立數(shù)學(xué)模型的優(yōu)化設(shè)計問題。

數(shù)值迭代法的具體求優(yōu)過程如下：

1）初選一個點X（0），使其盡可能靠近最小點，從X（0）出發(fā)按照一定的原則尋找可行方向并確定初始步長，向前跨出一步，達(dá)到X（1）；

2）到達(dá)點X（1）后再選擇新的可行方向及步長，從X（1）點再向前跨出一步，達(dá)到X（2）點，依次類推，逐步向前探索并重復(fù)數(shù)值計算，使函數(shù)值迅速下降，最終達(dá)到目標(biāo)最優(yōu)點，如圖2所示。

數(shù)值迭代法的迭代式為：

X（k+1）=X（k）+α（k）S（k）

f（xk+1）

gj（X（k+1））≤0（j=1，2，3，…，m）

式中：X（k），k=1，2，…為第k步迭代點或第k步設(shè)計方案；S（k）為第k步迭代計算的搜索方向；a（k）為第k次迭代計算的步長。

3? ? 優(yōu)化設(shè)計問題的編程與計算

3.1? ? MATLAB優(yōu)化方法簡介

曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計常采用作圖法和實驗法，這兩種方法相對簡單，但精度較低；采用解析法能夠滿足一定的精度要求，但人工計算費(fèi)時費(fèi)力，甚至無法實現(xiàn)。采用MATLAB優(yōu)化工具箱進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計時，參數(shù)輸入簡單，編程量小，可更快捷準(zhǔn)確地實現(xiàn)設(shè)計要求[2]。MATLAB優(yōu)化工具箱由一些函數(shù)組成，這些函數(shù)用來求解普通非線性函數(shù)的極值問題和線性規(guī)劃等標(biāo)準(zhǔn)矩陣問題。優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型一旦建立，首先選取合適的優(yōu)化方法，然后利用MATLAB輸入M文件及函數(shù)表達(dá)式，再調(diào)用優(yōu)化程序，就可以進(jìn)行數(shù)值計算，從而得到優(yōu)化解[3]。表1所示為優(yōu)化工具箱中的常用函數(shù)。

工程中大部分優(yōu)化設(shè)計問題屬于約束非線性規(guī)劃問題[4]，經(jīng)過分析，曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計應(yīng)選用fmincon函數(shù)。fmincon函數(shù)的調(diào)用格式為：

[x，fva]=fmincon（fun，x0，A，b，Aep，beq，1b，ub，

nonlcon，options，P1，P2…）

3.2? ? 應(yīng)用舉例

如圖3所示，設(shè)計一曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，已知：l3=100 mm，ψ=32°，行程速比系數(shù)k=1.25。要求l1≥l10=20 mm，使傳動角γmin達(dá)到最大。

解：由k=1.25，有θ=180°×=20°。

該問題可表示為求l1，l2，l4，使min cos γmin=滿足于：

-l1-l2+l3+l4≥0

-l1+l2-l3+l4≥0

-l1+l2+l3-l4≥0

l1-l10≥0

arccos-arccos-θ=0

-cos θ=0

式中：l1、l2、l3、l4為O1A、AB、BO2、O1O2的長。

通過MATLAB工具箱最終得出最優(yōu)解為：

l1 *=25.533 77

l2 *=65.011 81

l4 *=95.369 69

γ* min=44.023 05°

4? ? 結(jié)束語

曲柄搖桿機(jī)構(gòu)在機(jī)械行業(yè)是一種典型的平面運(yùn)動機(jī)構(gòu)，因此其設(shè)計方法與技巧顯得尤為重要。本文介紹了建立機(jī)械優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學(xué)模型的方法、優(yōu)化設(shè)計常用方法及選擇和優(yōu)化設(shè)計問題的編程與計算方法，最后以曲柄搖桿機(jī)構(gòu)為例選擇MATLAB優(yōu)化工具箱的fmincon函數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計編程與計算，得出優(yōu)化結(jié)果，驗證了機(jī)械優(yōu)化設(shè)計相對于傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計的優(yōu)越性。

[參考文獻(xiàn)]

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收稿日期：2023-12-25

作者簡介：張娟（1979—），女，甘肅通渭人，碩士研究生，副教授，主要從事機(jī)械制造及其自動化方面的教學(xué)與研究工作。

2023年甘肅省高等學(xué)校創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育改革項目：基于課堂生態(tài)的高職機(jī)械類專業(yè)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育改革研究與實踐；蘭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院2021-2022科研項目：“雙高”背景下，創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)人才“三全”育人體系研究（2021XY-2）；蘭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院先導(dǎo)基金專項課題：高職院校基層黨建賦能課堂生態(tài)建設(shè)研究（2023XYXD-6）