基于局域共振理論的雙層筋板帶隙研究

鄧微，李瑞榮，陳曉宏，劉佳

（廣州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 廣州 518000）

聲子晶體大致可分為Bragg 和局域共振聲子晶體2種不同結(jié)構(gòu)形式，在有限的空間里，要在低頻段產(chǎn)生帶隙，通過局域共振結(jié)構(gòu)帶隙產(chǎn)生的機(jī)理，小于波長2 個數(shù)量級的周期性結(jié)構(gòu)也能在低頻段產(chǎn)生帶隙即“小尺寸控制大波長”。本文通過在雙層筋板形式上敷設(shè)周期性排列的等效“質(zhì)量-彈簧”系統(tǒng)的局域共振子，獲取較低的帶隙起始頻率和較寬的帶隙絕對寬度，從而對500Hz 下的低頻振動及噪聲進(jìn)行控制。

1 附加周期性局域振子對筋板減振影響

為研究雙層筋板上添加局域共振子對低頻振動特性的影響，首先要建立合適的雙層筋板模型。

1.1 雙層筋板參數(shù)及模型

根據(jù)上文分析，建立合適尺寸的雙層板結(jié)構(gòu)，設(shè)置的標(biāo)準(zhǔn)的外地板板件尺寸為長×寬1200×900(mm)，如表1。

外地板雙層板的材料參數(shù)如表2。

表2 試件材料參數(shù)

結(jié)構(gòu)模型如圖1，可以看作通過單個三角單元在x方向上周期性延伸成夾筋板結(jié)構(gòu)，其滿足聲子晶體一維周期性，和一維梁桿結(jié)構(gòu)類似。有關(guān)研究證明其在1000Hz 以上中高頻段存在Bragg 帶隙，然而，在低頻段彈性波在薄板結(jié)構(gòu)內(nèi)呈周期性傳播，結(jié)構(gòu)內(nèi)部的彎曲波得不到很好的抑制。

圖1 鋁合金型材幾何結(jié)構(gòu)模型

1.2 周期性局域共振雙層筋板分析

本小節(jié)嘗試將共振子添加到外地板上探究其減振效果和色散帶寬。根據(jù)上節(jié)設(shè)置的標(biāo)準(zhǔn)試件的外地板板件尺寸為長×寬1200×900(mm)，假定晶格常數(shù)邊長為300mm 的二維殼單元筋板結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)參數(shù)如表3。

表3 單原胞筋板結(jié)構(gòu)參數(shù)

局域共振子模型結(jié)構(gòu)參數(shù)為軟體層A（橡膠阻尼塊）半徑AR=0.075m,厚度AH 為0.01m，質(zhì)量體B 半徑BR=0.075m,厚度BH=0.01m，局域共振子材料參數(shù)，如表4。

表4 局域共振原胞材料參數(shù)

在以雙層筋板單元為正方晶格的上面板附加局域共振子形成新的原胞，如圖2。

圖2 局域共振單振子結(jié)構(gòu)圖

2 彈性波帶隙計(jì)算

通過相對選擇有限元法對聲子晶體的帶隙特性進(jìn)行研究。只需對聲子晶體原胞結(jié)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)設(shè)置、網(wǎng)格劃分施加相應(yīng)邊界條件對結(jié)構(gòu)進(jìn)行后處理就能得到特征頻率和波矢之間的能帶關(guān)系圖。

2.1 有限元法及Bloch 原理

對一維周期的有限元法求解，特征值方程如式（1）：

式中，K、M 分別為一維周期振子結(jié)構(gòu)的剛度、質(zhì)量矩陣，U 為原胞結(jié)構(gòu)的特征向量，ω為角頻率。

由圖2 單振子局域振子圖知，其在x 方向存在一維周期性，不可約布里淵區(qū)，如圖3。

圖3 一維聲子晶體(陰影區(qū)為不可約布里淵區(qū))

根據(jù)布洛赫(Bloch)定理，沿x 一維方向周期性結(jié)構(gòu)位移場方程為：

式中，a 為晶格常數(shù)，e 為波相位因子，k 為波矢，kx滿足x 一維方向周期性條件。

2.2 有限元法能帶計(jì)算

利用有限元法沿x 方向?qū)Σㄊ?k)布里淵區(qū)邊界進(jìn)行周期性掃描，選擇Floquet 周期性邊界條件，掃描范圍設(shè)置為range(0,(pi/a-0)/波數(shù),pi/a)。選取前10階特征頻率進(jìn)行分析，可得到沿x 周期性方向的能帶結(jié)構(gòu)圖。

通過圖4 能帶結(jié)構(gòu)圖，選取高對稱頻率點(diǎn)的模態(tài)振型圖，分析帶隙形成原因。如圖5。

圖4 一維聲子結(jié)構(gòu)能帶結(jié)構(gòu)圖

圖5 結(jié)構(gòu)模態(tài)振型圖

通過位移模態(tài)振動云圖可以看出，在圖5(a)為平直通帶35Hz 在原胞的中心位置形成一個繞中心呈螺旋狀的旋轉(zhuǎn)模態(tài)位移，此時的筋板原胞內(nèi)的彈性波經(jīng)過時，共振子即不對縱向平直振動面內(nèi)彈性波，也不對橫向彎曲振動的面外彈性波起任何的阻礙作用。在圖5(b)平直通帶46Hz 處產(chǎn)生振動水平剪切模態(tài)，質(zhì)量塊B 產(chǎn)生一個x 方向的平移位移，此時，在平衡面板的表面產(chǎn)生阻力，阻止面內(nèi)的彈性波沿筋板的縱向傳播，而在垂直上面板的方向不產(chǎn)生振動位移，因此對面外的彎曲振動不起抑制作用。在圖5(c)、5(d)的115Hz、123Hz 平直帶該頻率點(diǎn)原胞上附加的局域共振振子筋板基體有一個垂直方向的分量產(chǎn)生一個的剪切力抑制筋板基體在垂向方向的彎曲變形，因此，115 ～123Hz 產(chǎn)生一條狹窄的彎曲帶隙。而在圖5(e)帶隙截止頻率163Hz 處，振動模態(tài)表明局域共振子和筋板上板面板之間相互耦合，從位移振型圖知共振子對加筋板原胞有一個垂直方向的作用力，同時筋板也對共振子產(chǎn)生一個反向的力，兩者之間產(chǎn)生的能量通過振子上的軟體阻尼層等效彈簧消耗掉，起到對彎曲振動衰減的效果。

3 結(jié)語

本文運(yùn)用參數(shù)化設(shè)計(jì)鋁合金筋板結(jié)構(gòu)，分析結(jié)構(gòu)的特性，通過在其上方敷設(shè)局域共振子的方式，利用有限元方法仿真得到500Hz 以下頻率的絕對帶隙，可以運(yùn)用于載運(yùn)設(shè)備的外殼或者地板結(jié)構(gòu)，起到減振隔聲的作用。