一類具梯度項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階橢圓方程解的存在性

潘 柔,陳 林

(1.伊犁師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆 伊寧 835000;2.伊犁師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,新疆 伊寧 835000)

0 引言

分?jǐn)?shù)階橢圓方程在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、種群動力學(xué)和博弈論等學(xué)科中具有廣泛的應(yīng)用[1-2].近年來,對具有解的梯度項(xiàng)的橢圓方程的研究受到了學(xué)者們的普遍關(guān)注,同時(shí)得出了豐富的結(jié)論[3-4].因?yàn)榫哂薪獾奶荻软?xiàng)的橢圓方程往往不具有變分結(jié)構(gòu),因而經(jīng)典的變分法和臨界點(diǎn)理論不能直接使用,這是此類方程求解的難點(diǎn)所在.一些學(xué)者通過上下解、不動點(diǎn)理論和逼近的方法研究了方程解的存在性[5-6]. DWIVEDI等[7]運(yùn)用De Figuereido提出的一種變分方法,將不可變分的問題變分化,再結(jié)合山路定理與迭代方法證明了橢圓方程:

變號解的存在性.受文獻(xiàn)[7]和[8]的啟發(fā),本文研究以下分?jǐn)?shù)階橢圓方程的邊值問題:

(1)

函數(shù)V與f滿足如下假設(shè)條件:

μ{(x∈RN:V(x)≤M}<+∞,

其中,V0為常數(shù);

(V2)V(x)是周期為1的連續(xù)函數(shù),即對?y∈ZN,?x∈RN,V(x+y)=V(x);

(f1)對?z<0,?ξ∈RN,f(z,|ξ|p-2ξ)=0;

(f2)對?ξ∈RN,當(dāng)|z|→0時(shí),|f(z,|ξ|p-2ξ)|=o(|z|p-1);

(f5)存在正數(shù)a1與a2使得對?t>0,?ξ∈RN,有F(t,|ξ|p-2ξ)≥a1tθ-a2;

(f7)對?z1,z2∈[0,ρ1]與?|ξ|≤ρ2有

|f(z1,|ξ|p-2ξ)-f(z2,|ξ|p-2ξ)|≤L1|z1-z2|p-1,

對?z∈[0,ρ1]與?|ξ1|, |ξ2|≤ρ2有

|f(z,|ξ1|p-2ξ1)-f(z,|ξ2|p-2ξ2)|≤L2|ξ1-ξ2|p-1,

這里的ρ1與ρ2依賴于條件(f3)(f4)所給的q和θ.

注1 本文主要定理的證明將用到RN中的標(biāo)準(zhǔn)不等式,即

這里〈·,·〉是RN中通常的內(nèi)積.

主要結(jié)果如下:

1 預(yù)備知識

基于迭代技巧,構(gòu)造與問題(1)相關(guān)的一類不依賴于解的梯度項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階橢圓邊值問題.即,對?w∈Xs(RN),研究問題:

(2)

此時(shí)該問題具有變分結(jié)構(gòu)可以使用變分法.

設(shè)s∈(0,1),對分?jǐn)?shù)階Sobolev空間Xs的定義如下[9]:

(3)

對?u∈Xs,在空間Xs上賦予范數(shù):

(4)

定義1 若對任意的φ∈Xs,有

成立,則稱u∈Xs為問題(2)的弱解.

設(shè)問題(2)的歐拉泛函Jw:Xs→RN,具體定義為:

(5)

易知泛函J∈C1(Xs,R),Jw的Gateaux導(dǎo)數(shù)為:

Jw的臨界點(diǎn)就是問題(2)的弱解.

下面證明能量泛函Jw具有山路定理的幾何結(jié)構(gòu).

引理1 設(shè)w∈Xs,則存在正數(shù)ρ與α(獨(dú)立于w),使得對?u∈Xs,當(dāng)‖u‖=ρ時(shí),有

Jw(u)≥α>0

成立.

證明 由(f2)～(f3)可知,給定ε>0,存在一個(gè)正常數(shù)Cε(獨(dú)立于w),使得

由Sobolev嵌入定理,可得

因?yàn)閜

引理2 設(shè)w∈Xs,固定v0∈Xs,‖v0‖=1,則存在T>0(獨(dú)立于w),使得對?t≥T,有

Jw(tv0)≤0

(6)

成立.

證明 由(f5)與Sobolev嵌入定理,有

因?yàn)棣?p,從而存在一個(gè)充分大的T(獨(dú)立于v0與w),當(dāng)t≥T時(shí),有(6)式成立.

該引理的證明可由集中緊性原理得出,類似于文獻(xiàn)[10]中的引理2.2的證明.下證問題(2)正解的存在性.

引理5 假設(shè)條件(f1)～(f6)成立,則對?w∈Xs∩C1(RN),問題(2)至少有一個(gè)正解uw.此外,存在正數(shù)ρ1與ρ2(獨(dú)立于w),使得‖uw‖C0≤ρ1與‖?uw‖C0≤ρ2.

證明 由引理1與引理2可知,能量泛函Jw符合山路幾何結(jié)構(gòu),再根據(jù)Ambrosetti與Rabinowitz的沒有PS條件的山路定理[11],可知存在一個(gè)序列{un}?Xs滿足:

Jw(un)→cw,J′w(un)→0,

由(f4)可知,

C4‖un‖p≤cw+‖un‖.

因此,對?φ∈Xs,有J′w(uw)φ=0.

首先假設(shè)uw不恒為零,由(f1)可知uw≥0,由Harnach不等式[15]可得,對?x∈RN,uw>0. 此外,與文獻(xiàn)[16]中的討論類似,存在正常數(shù)ρ1,ρ2(獨(dú)立于w),使得‖uw‖C0≤ρ1,‖?uw‖C0≤ρ2.

若uw≡0,則存在序列{yn}?RN,α,R>0使得:

(7)

引理6 設(shè)w∈Xs,則存在正常數(shù)K1(獨(dú)立于w),使得由引理5得到的解uw,有‖uw‖≥K1成立.

證明 因?yàn)閡w不恒為零,且由(f2)與(f3)可知,

(1-C5ε)‖uw‖p≤C6Cε‖uw‖q,

即

引理7 設(shè)w∈Xs,則存在一個(gè)正常數(shù)K2(獨(dú)立于w),使得由引理5得到的解uw,有‖uw‖≤K2成立.

證明 由(f6)可知,

由引理2中的v0與(f5)可得:

再由(f4)可得:

因此,

2 正解的存在性

定理1的證明構(gòu)造一個(gè)序列{un}?Xs,是

(8)

由(9)減(10)可得:

根據(jù)條件(f7)與注1可估計(jì)上述積分如下:

由H?lder不等式可得:

因?yàn)镵<1,從而由Banach不動點(diǎn)定理可知,{un}強(qiáng)收斂于u,u∈Xs,且對?n,‖un‖≥K1,故u>0.這樣就得到了問題(1)的一個(gè)正解,則定理1得證.