熱流密度對(duì)平行圓盤(pán)間隙中一維可壓縮流動(dòng)影響分析

李玉立, 郭良斌

(1.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖北武漢 430081;2.武漢科技大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)與制造工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖北武漢 430081)

引言

關(guān)于研究熱量輸入對(duì)流體流動(dòng)特性的影響,龔紅蘭等[1]通過(guò)Navier-Stokes方程、重整化群RNGk-ε湍流模型為基礎(chǔ),借助計(jì)算流體力學(xué)軟件Fluent對(duì)噴管內(nèi)流場(chǎng)及溫度場(chǎng)進(jìn)行了瞬態(tài)數(shù)值模擬,準(zhǔn)確預(yù)測(cè)了發(fā)動(dòng)機(jī)噴管內(nèi)部的流動(dòng)及傳熱特性;陳超群等[2]針對(duì)加熱器噴管中多相流動(dòng)傳熱問(wèn)題建立了三維熱流耦合換熱計(jì)算模型,分別對(duì)燃?xì)狻⒗鋮s劑和噴管室壁建立不同的控制方程,將輻射熱量作為源項(xiàng)加入到方程中,進(jìn)行流動(dòng)和傳熱的耦合計(jì)算;王子豪等[3]采用分離變量法導(dǎo)出并簡(jiǎn)化了均勻熱流邊界條件下變物性氣體的二維層流流動(dòng)與換熱過(guò)程的控制方程,進(jìn)而計(jì)算得到了氣體速度、壓力、溫度在微通道內(nèi)的分布規(guī)律;HINOJOSA J F等[4]給出了通風(fēng)腔內(nèi)湍流混合對(duì)流換熱和流動(dòng)的實(shí)驗(yàn)和數(shù)值結(jié)果,數(shù)值分析了改變?nèi)鹄麛?shù)和雷諾數(shù)對(duì)流型和溫度場(chǎng)的影響。

同時(shí)為了研究高壓圓盤(pán)氣體軸承氣膜間隙中一維可壓縮理想流動(dòng)各參數(shù)的變化規(guī)律,彭寶林[5]根據(jù)平行圓盤(pán)的對(duì)稱性和其內(nèi)部的流動(dòng)特點(diǎn),建立了圓盤(pán)間隙中一維可壓縮理想流動(dòng)模型,但未考慮摩擦和熱量輸入對(duì)流動(dòng)的影響。吳永良等[6]對(duì)整個(gè)高壓圓盤(pán)氣體軸承進(jìn)行了仿真分析,得到了整個(gè)氣膜對(duì)稱線上各流動(dòng)參數(shù)的分布規(guī)律。流場(chǎng)軟件模擬可以更加準(zhǔn)確的把握流動(dòng)細(xì)節(jié)特點(diǎn),但建模過(guò)程復(fù)雜,耗時(shí)久工作量大。一些學(xué)者研究了面積變化、摩擦、熱流密度等因素對(duì)一維可壓縮管流的影響[7-9]。左克羅[10]進(jìn)一步對(duì)廣義定常一維流動(dòng)進(jìn)行了深入研究,提出用龍格庫(kù)塔積分求解管道模型流動(dòng)參數(shù)的方法,并且對(duì)摩擦和面積變化聯(lián)合作用以及摩擦和熱交換聯(lián)合作用下管道流動(dòng)的求解進(jìn)行了詳細(xì)說(shuō)明。

綜上所述,目前缺乏從理論上探究高壓圓盤(pán)氣體軸承平行氣膜區(qū)考慮面積變化、摩擦和熱量輸入三者同時(shí)作用時(shí)流動(dòng)規(guī)律的研究。本研究首先從三大守恒定律和氣動(dòng)函數(shù)[11]出發(fā),導(dǎo)出平行圓盤(pán)氣膜間隙內(nèi)一維可壓縮流動(dòng)的基本方程。然后采用數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行求解,得到熱量輸入對(duì)平行氣膜區(qū)內(nèi)馬赫數(shù)、溫度和壓力的影響規(guī)律。

1 流道間隙的簡(jiǎn)化模型及控制方程

在考慮面積變化、摩擦及熱流密度的一維定常流動(dòng)時(shí),中心供氣靜壓平行圓盤(pán)止推氣體軸承的簡(jiǎn)化模型如圖1所示。

圖1 簡(jiǎn)化軸承模型Fig.1 Simplified model of bearing

取氣膜中的六面體流體微元[12],如圖2所示。

圖2 微元體上的作用力Fig.2 Forces on control volume

圖2中,h為氣膜間隙高度;r為圓盤(pán)矢徑;θ為微元體在切向方向上包含的角度;dA為微元體沿半徑方向的面積;dAw為微元體與圓盤(pán)壁面接觸的上下表面的面積,忽略高階微量后,dA=rhdθ,dAw=rdθdr。

基本方程[13]如下,其中狀態(tài)方程:

p=ρRT

(1)

式中,p—— 壓力

ρ—— 密度

R —— 氣體常數(shù),空氣一般取287.06 J/(kg·K)

T—— 溫度

對(duì)式(1)取對(duì)數(shù)微分,得:

(2)

根據(jù)馬赫數(shù)的定義及聲速方程,有:

(3)

式中,Ma—— 馬赫數(shù)

Vr—— 沿軸承圓盤(pán)半徑方向的速度

c—— 當(dāng)?shù)芈曀?/p>

k—— 比熱比,對(duì)于空氣k=1.4

同理對(duì)式(3)取對(duì)數(shù)微分,得:

(4)

聯(lián)立式(1)和式(2),有:

(5)

連續(xù)方程:

(6)

對(duì)式(6)取對(duì)數(shù)微分,得:

(7)

動(dòng)量方程:

(8)

(9)

能量方程:

dQ-dWs=cpdT+VrdVr

(10)

將式(10)的兩邊同除以cpT,再將式(5)代入,可得:

(11)

式中, dQ—— 單位質(zhì)量氣體吸收的凈熱量

dWs—— 控制體內(nèi)的單位質(zhì)量氣體對(duì)外界所作的凈外功

cp—— 比定壓熱容

可是,在cp不變的假設(shè)下,滯止溫度表達(dá)為:

(12)

寫(xiě)成微分形式:

(13)

聯(lián)立式(11)、式(12)有:

(14)

(15)

通過(guò)平行氣膜區(qū)入口處微元體的質(zhì)量流量為:

(16)

在無(wú)對(duì)外做功的流動(dòng)中,由于傳遞給微元體單位質(zhì)量的凈熱量全部轉(zhuǎn)化為微元體總焓的增量[14],則有:

(17)

式中,q—— 熱流密度

當(dāng)入口總壓、入口總溫和入口馬赫數(shù)確定的情況下, 對(duì)式(17)沿圓盤(pán)半徑方向進(jìn)行積分,可得此時(shí)沿平行氣膜間隙半徑方向的總溫分布:

(18)

在氣膜入口處,對(duì)于完全氣體有[11]:

(19)

(20)

則由式(19)、式(20)可求得氣膜間隙平行段入口處的靜溫和靜壓。

根據(jù)兩截面間的常用積分關(guān)系式有:

(21)

(22)

式中,p—— 靜壓

A—— 各環(huán)形截面面積

對(duì)式(15)采用數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行求解。

2 數(shù)值計(jì)算方法和程序框圖

本次數(shù)值計(jì)算采用MATLAB編制計(jì)算程序,得到了在給定初始值的情況下各參數(shù)的分布規(guī)律,并分析對(duì)比了不同情況下各參數(shù)的變化規(guī)律及參數(shù)之間的影響規(guī)律。具體求解步驟如下:

(1) 對(duì)整個(gè)平行氣膜區(qū)進(jìn)行分段處理,總段數(shù)為n-1段,通過(guò)選取合適的步長(zhǎng)l0,計(jì)算出每個(gè)節(jié)點(diǎn)i上對(duì)應(yīng)半徑ri的值;

(3) 采用四階龍格—庫(kù)塔法進(jìn)行計(jì)算,選取積分步長(zhǎng)為l0,則ri=ri-1+l0,由式(15)計(jì)算出對(duì)應(yīng)截面處的馬赫數(shù)Ma(ri),即可求得整個(gè)平行氣膜區(qū)的馬赫數(shù)分布Ma(r);

(4) 在得到馬赫數(shù)分布后,根據(jù)式(19)～式(22)可求得平行氣模區(qū)內(nèi)的靜溫分布T(r)和靜壓分布p(r)。

采用MATLAB進(jìn)行編程計(jì)算的程序框圖如圖3所示。

圖3 程序流程圖Fig.3 Program flow chart

3 計(jì)算結(jié)果分析

3.1 熱流密度對(duì)馬赫數(shù)分布的影響

圖4 熱流密度對(duì)間隙內(nèi)馬赫數(shù)分布的影響Fig.4 Influence of heat flux on Mach number distribution in clearance

圖4中,無(wú)論考不考慮熱量輸入,整個(gè)平行氣膜區(qū)內(nèi)的馬赫數(shù)都呈現(xiàn)下降趨勢(shì)。可以看出,熱量輸入減緩了馬赫數(shù)的下降,即熱量輸入對(duì)馬赫數(shù)分布有一定影響。但是不同的工況下,熱流密度會(huì)發(fā)生變化,當(dāng)熱流密度不大時(shí),馬赫數(shù)受其影響較低,熱流密度越大,馬赫數(shù)受熱流密度的影響越明顯。

3.2 熱流密度對(duì)靜溫分布的影響

為了研究熱量輸入對(duì)靜溫的影響,在相同初始條件下分別在不同熱流密度時(shí)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,得到平行氣膜區(qū)靜溫的分布,如圖5所示。

圖5 熱流密度對(duì)間隙內(nèi)靜溫分布的影響Fig.5 Influence of heat flux on static temperature distribution in clearance

從圖5可知,平行氣膜區(qū)內(nèi)溫度的分布受熱量輸入的影響明顯,且熱流密度越大,溫度上升越快,差距越大。已知在靜壓氣體軸承承載力分析中[15],溫度的變化使軸承發(fā)生形變,從而影響軸承的力學(xué)性能,因此在研究軸承的溫度場(chǎng)和熱變形時(shí),尤應(yīng)考慮熱流密度對(duì)氣膜內(nèi)溫度場(chǎng)的影響。

3.3 熱流密度對(duì)靜壓分布的影響

為了研究熱量輸入對(duì)靜壓的影響,在相同初始條件下分別在不同熱流密度時(shí)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,得到平行氣膜區(qū)靜壓的分布,如圖6所示。

圖6 熱流密度對(duì)間隙內(nèi)靜壓分布的影響Fig.6 Influence of heat flux on static pressure distribution in clearance

從圖6可知,不同熱流密度下的靜壓分布都呈現(xiàn)先上升再緩慢下降的趨勢(shì)。可以看出,當(dāng)q為0, 30000 W/m2時(shí),兩者的靜壓分布差距很小。但當(dāng)熱流密度很大時(shí),平行氣膜區(qū)內(nèi)壓力的分布受熱量輸入的影響較大,且熱流密度越大,壓力下降越快。

3.4 熱流密度隨半徑變化時(shí)各參數(shù)的分布規(guī)律

文獻(xiàn)[15]對(duì)高壓圓盤(pán)氣體軸承進(jìn)行了熱流密度分析,通過(guò)數(shù)值模擬得到了共軛傳熱時(shí)耦合壁面上熱流密度的分布規(guī)律。對(duì)其進(jìn)行擬合,可得到擬合曲線方程為:

當(dāng)29.798≤r<39.998時(shí),有:

q=274.3×r2-23790×r+539700;

當(dāng)39.998≤r<58.898時(shí),有:

q=57.04×r2-5993×r+175100;

當(dāng)58.989≤r<60時(shí),有:

q=61230×r2-7161000×r+209400000。

擬合曲線將其與文獻(xiàn)[11]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,如圖7所示。

圖7 熱流密度的對(duì)比分布Fig.7 Comparative distribution of heat flux

對(duì)熱流密度從氣膜間隙入口(r=29.798 mm)到出口處(r=60 mm)求其平均值,為30000 W/m2左右。

采用圖7中變化的熱流密度進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,將其與已有的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析,得如圖8～圖10所示的對(duì)比結(jié)果。

圖8 變熱流密度時(shí)間隙內(nèi)馬赫數(shù)的分布Fig.8 Distribution of mach number in the clearance for varying heat flux

從圖8可以看出,取q(r)為變化值和固定值時(shí),二者間馬赫數(shù)的差距很小,即當(dāng)熱流密度變化時(shí),可取平均熱流密度進(jìn)行馬赫數(shù)的計(jì)算。

從圖9可知,當(dāng)q(r)分別為變化值和定熱流密度時(shí),盡管氣膜間隙與壁面間總熱交換量一致,但二者關(guān)于靜溫的計(jì)算結(jié)果差距較大,且變熱流密度時(shí)的溫度分布與無(wú)熱交換時(shí)的溫度差異顯著,故此時(shí)不可用平均熱流密度取替代變熱流密度進(jìn)行計(jì)算。

圖9 變熱流密度時(shí)間隙內(nèi)靜溫的分布Fig.9 Distribution of static temperature in clearance for varying heat flux

從圖10可知,取q(r)為變化值和固定值時(shí),二者關(guān)于壓力的計(jì)算結(jié)果基本一致,即當(dāng)熱流密度變化時(shí),可取平均熱流密度進(jìn)行壓力的初步計(jì)算。

圖10 熱流密度變化時(shí)間隙內(nèi)靜壓的分布Fig.10 Static pressure distribution in clearance as heat flux changes

4 結(jié)論

本研究采用考慮面積變化、摩擦及熱流密度的一維定常流動(dòng)理論分析了高壓圓盤(pán)氣體軸承中平行氣膜區(qū)的流動(dòng)參數(shù)分布。通過(guò)程序編程和數(shù)值積分計(jì)算有效地獲得了熱量輸入對(duì)平行氣膜區(qū)中主要參數(shù)的影響規(guī)律,主要結(jié)論如下:

(1) 在平行氣膜間隙中,熱量輸入會(huì)減緩馬赫數(shù)的下降。在熱流密度小于30000 W/m2時(shí)對(duì)馬赫數(shù)的影響很小,但大熱流密度時(shí)對(duì)馬赫數(shù)有一定影響,不可忽略,且對(duì)于馬赫數(shù)而言,變熱流密度和平均熱流密度的計(jì)算結(jié)果很接近;

(2) 在平行氣膜間隙中,熱量輸入對(duì)溫度的影響很大。熱量輸入會(huì)使得氣膜間隙內(nèi)的溫度發(fā)生明顯上升,熱流密度越大,氣膜間隙內(nèi)的溫度受其影響程度越大。在輸入的總熱量相同時(shí)變熱流密度對(duì)間隙內(nèi)靜溫的影響更大,即在考慮熱流密度對(duì)溫度的影響時(shí)不宜用平均熱流度代替變熱流密度;

(3) 在平行氣膜間隙中,熱量輸入對(duì)靜壓的影響很小,且對(duì)于靜壓而言,變熱流密度和平均熱流密度的計(jì)算結(jié)果很接近。

相對(duì)利用Workbench等仿真軟件對(duì)流道進(jìn)行計(jì)算而言,通過(guò)理論推導(dǎo)、程序編程和數(shù)值積分計(jì)算可以更加高效的得到考慮面積變化、摩擦及熱流密度時(shí)平行氣膜區(qū)內(nèi)各參數(shù)的變化規(guī)律。但一維計(jì)算結(jié)果的精確度是否達(dá)到要求、各參數(shù)的變化規(guī)律是否準(zhǔn)確仍待考慮,故后續(xù)將對(duì)一維的計(jì)算結(jié)果與二維、三維的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,確保一維計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。同時(shí)本研究只針對(duì)整個(gè)高壓圓盤(pán)氣體軸承中的平行圓盤(pán)間隙區(qū),后續(xù)可考慮加入收縮段,對(duì)整個(gè)流道進(jìn)行分析,使得對(duì)高壓圓盤(pán)氣體軸承的研究更為完善。