基于改進MPC的重載鐵路移動閉塞系統下列車編隊控制方法研究

林正南，俞花珍，邰國璇，郭 瑋，石 竹，余立偉，黃友能，4

(1.北京交通大學 電子信息工程學院，北京 100044；2.國能朔黃鐵路發展有限責任公司，河北 肅寧 062350；3.交控科技股份有限公司，北京 100070；4.北京交通大學 軌道交通運行控制系統國家工程研究中心，北京 100044)

重載列車在大宗貨物的運輸方面具有運能大、效率高、成本低等方面的顯著優勢[1]。為提升重載線路運輸能力,既有線可以采取的措施有提高列車的速度、密度及重量。列車速度、重量的提升受到線路環境、設備條件等因素的限制不易實現[2],但通過提高列車運行密度是滿足運能提升的主要手段之一[3]。當前,編隊控制技術正在北京地鐵11號線工程示范應用[4],它能夠大幅縮短追蹤間隔,提高運輸能力。相比城市軌道交通列車,重載列車載重大、編組長、操控難度大,且對平穩性要求高,目前國內外針對重載列車的編隊運行控制方法研究還較少。

編隊運行技術是一種基于現有移動閉塞系統[5]實現列車協同控制的列車控制技術。編隊運行技術是歐洲“Shift2Rail”計劃的關鍵組成部分,編隊運行技術能夠提升既有線資源配置、提高線路容量和運營靈活性[6]。Aoun等[7]分析了編隊運行的可行性和適用性,研究表明編隊運行對市域和貨運市場客戶的吸引力很大。

現有研究建立了幾種以高速列車和城軌列車為對象的編隊控制方法。Pan等[8]采用非線性追蹤策略,提出一種動態跟蹤控制方法實現了高速列車編隊控制。Liu等[9]采取多智能體的控制方法去控制高速鐵路列車達到一致的狀態。Chen等[10]提出一種基于集中式模型預測控制(model predictive control,MPC)的列車協調碰撞抑制方法,該方法研究了高速列車編隊的緊急停車問題。另一些研究以城市軌道交通為對象,提出編隊協同控制方法。Félez等[11]建立了采用分布式的MPC框架,對參與編隊的每列列車進行控制,該方法提前通過動態規劃方法為列車編隊中各列車確定最優運行曲線。Wu等[12]結合惰行策略使用MPC方法對城軌列車編隊進行了控制,并改善了控制器的輸出抖動。She等[13]對城軌列車編隊協同控制問題提出MPC控制器的優化目標和約束條件,并用李亞普諾夫穩定性理論驗證了穩定性。

但這些研究將被控對象視作單一質點,并且對控制方法中的非線性問題和平穩性問題研究較少。重載列車的編組方式和行車特點與中短編組客運列車存在較大差異,因此現有研究成果不能直接應用于重載列車。在重載列車中使用單質點模型會導致整個列車的受力分布不合理。因此本研究建立多質點模型以描述重載列車編隊,更貼合實際運行情況,并將模型參考自適應控制思想引入MPC方法中,增加自適應反饋環節。通過引入0-1指標變量的方式,求解重載列車非線性和平穩性特點的優化問題。

本文主要提出一種重載列車編隊運行控制方法,首先基于多質點模型和戴維斯方程,建立考慮運行阻力的列車動力學模型。引入0-1指標變量,將非線性約束轉化為線性約束問題,并求解了混合整數的二次優化問題,通過增加自適應反饋環節,設計MPC控制器。最后,采用朔黃鐵路重載移動閉塞系統[14]下的實際線路數據和列車數據,在該系統的仿真平臺上進行了仿真,通過仿真結果數據說明所提方法的有效性。

1 基于多質點的列車動力學建模

在實際鐵路線路中,重載列車由機車和車輛組成,機車負責為列車運行提供動力,車輛負責承載貨物。因此,可將每一臺機車或車輛看成一個質點,建立列車縱向動力學模型,見圖1。

圖1 列車縱向動力學模型

圖1中,將單元列車中的機車或每一節車輛分別視為一個質點,對每一個質點進行受力分析,有

miai=Ft/b+Fi-Fi+1-Fri-Fgi-Fpi

(1)

式中:n為質點的數量;i為質點的編號,i=1,…,n;mi為質點i的質量;ai為質點i的加速度;Fri,Fgi,Fpi分別為質點i所受的曲率附加阻力、坡度附加阻力和基本阻力;Ft/b為牽引和制動力,僅作用于機車。

曲率附加阻力、坡度附加阻力、基本阻力的表達式為

(2)

式中:Ri為曲率半徑;Ii為質點i處的坡度千分數;c0i、c1i、c2i分別為戴維斯方程的經驗系數,由TB/T1407.1—2018[15]《列車牽引計算第一部分:機車牽引式列車》通過實驗得到的經驗數值;vi為質點i的速度。

Ri和Ii由線路位置決定,沒有明確的解析式,只能以分段函數的形式表達,以wi為附加阻力的和,則wi=Fri+Fgi。

設Fi為列車內部的受力,用si表示質點i的位移,當si+1-si>0時,車鉤被拉長,車鉤力作為牽引力產生,有助于保持列車車廂的協同運行。否則,車鉤將被壓縮,列車內的力將作為制動力產生。此處,文獻[16]中車鉤力Fi可以表示為兩輛相鄰車廂的相對位移和相對速度的線性函數

Fi=d(vi+1-vi)+k(si+1-si)

(3)

式中:k為車鉤剛度系數;d為車鉤阻尼系數。

牽引力和制動力受限于機車的最大功率,HXD1型機車的最大電牽引特性曲線可表示為

(4)

制動特性曲線可表示為

(5)

式中:v為機車運行速度。

(6)

Ac=diag[c11c12…c1n]

上述連續時域狀態空間方程可通過歐拉法離散,采樣周期為Ts,離散形式的狀態方程為

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)

(7)

2 基于改進MPC的控制方法設計

重載列車控制器結構見圖2,線路限速vline和當前列車的期望速度vdes作為控制器的輸入,上位控制器輸出控制量udes為當前列車期望牽引制動力,下位控制器根據udes輸出牽引制動電流,由牽引制動執行機構輸出實際牽引制動力Ft/b。本文提出的控制方法應用于編隊中各列車的上位控制器,并將下位控制器和牽引制動執行機構視作動力系統。

圖2 列車控制器結構

2.1 列車編隊描述

考慮一個多列重載列車組成的重載列車編隊,編隊頭部的第一列重載列車,稱為首車。在編隊運行中,列車i=i-1是列車i的前車,列車i是列車i-1的后車。本文假設在編隊運行過程中,前車和后車之間存在通信鏈路,在每一時刻,前車都能將本車的速度v、位置s等信息傳遞給后車,見圖3。

圖3 重載列車編隊

首車的任務是盡可能帶領列車編隊跟蹤既有的目標速度曲線,而后車的任務是保持和前車的間隔,并使相對速度最小。圖3中下標f表示為后車,下標l表示前車。在編隊運行過程中,控制目標可描述為

(8)

對于編隊中的任何相鄰的兩列車,在任何時刻間隔都必須大于最小安全距離Dsafe。

2.2 自適應反饋的MPC方法設計

模型預測控制(MPC)是一種先進的過程控制方法,能夠周期性基于當時刻測量信息,在線求解有限時間開環優化問題,并將結果的控制序列作用于被控對象[18]。MPC能基于模型對系統未來動態行為進行預測,通過把約束加到未來的輸入、輸出或狀態變量上,可以將約束顯式表示在一個在線求解的二次規劃或非線性規劃問題中,因此能夠顯式處理約束問題[19]。

由于重載列車具有編組長、載重大的特點,模型呈現多質點的特征,為更好改善重載列車在跟蹤運行過程中的平穩性和追蹤控制性能,本文充分利用MPC能夠預測多個時刻列車的位置和運行狀態,顯式處理列車運行過程中的各項約束的優點,對控制方法進行設計。

MPC方法通過求解在線優化問題來控制列車的牽引力/制動力,該優化問題使代價函數在預測間隔Np內最小化,并滿足約束條件。每個時刻控制器根據當前的可用信息預測列車的未來狀態。預測完成后,優化問題得到解決,從而產生一系列控制信號。然后將此序列中的第一組控制量應用于列車,其余將被丟棄。當下一個時刻到達時,重復包括狀態預測、優化問題求解和應用第一個控制量的過程。通過在有限預測時域求解優化問題,得到當前時刻的最優解。

根據狀態方程(7),可以寫出遞推公式,整理得到

(9)

X=[x(k+1|k)x(k+2|k) …x(k+Np|k)]T

U=[u(k|k)u(k+1|k) …u(k+Np-1|k)]T

式中:x(k+1|k)為k時刻對k+1時刻狀態的預測;u(k+1|k)為k時刻對k+1時刻的最優控制量的預測。

由式(9)可以建立優化問題,將優化問題設計為二次規劃形式,與其他已知優化方法相比,二次規劃對解決帶等式和不等式約束的優化問題求解速度更快[20],其一般形式為minJ=(R-X)Q(R-X)T+UHUT,其中,R為列車的目標曲線,Q、H為優化權重系數。優化問題的具體數學描述在2.3節說明,求解可得當前最優控制序列。

MPC方法只能得到當前時刻預測時域內的最優解,因此預測時域大小影響系統整體性能表現,預測時域越大性能越好。但出于對控制方法的實時性的考慮,預測時域不能取值太大。因此對MPC方法進行改進,通過自適應反饋環節對目標曲線進行修正生成參考曲線。編隊中首車和后車的目標曲線不同,下文分別說明了首車、后車的參考曲線生成方法以及最終的控制方法流程框架。

2.2.1 首車的參考曲線設計

編隊中的首車是編隊中的第一輛車,它的目標曲線來自既有目標速度曲線,或由現有的移動閉塞信號系統生成。目標速度曲線是關于位置的速度序列,可以將它視作一個分段函數,表達式為v=f(s)。

首車的目標曲線是關于位置的速度序列,參考曲線的生成方式為

2.2.2 后車的參考曲線設計

用類似于式(10)的方式,可以得到后車在k時刻的參考曲線為

2.2.3 控制方法具體流程

最終控制方法框架見圖4,控制方法主體為MPC方法,具體步驟如下:

圖4 控制方法框架

Step1得到本車上一時刻的預測狀態序列Xf,若本車為編隊中的首車,那么得到目標曲線信息R,否則得到前車的上一時刻的預測狀態序列Xl。

Step2自適應機構根據式(10)和式(12)生成參考曲線序列Y,Y由速度信息Vref和位移信息Sref組成。

Step3由參考曲線序列Y建立2.3節所述優化問題,并求解得到控制序列U,并得到更新后的預測狀態序列。

Step4將控制序列U中的第一個元素u(k|k)應用于本車的控制。

2.3 優化問題設計

為實現2.1節所提出的編隊運行控制目標,分別對編隊中的首車和后車分別設計優化問題的代價函數和約束。

2.3.1 首車的代價函數和約束

首車的責任是帶領列車編隊跟蹤既定的目標速度曲線,因此首車的控制目標是在滿足約束的情況下,盡可能跟蹤參考曲線,最小化控制誤差,代價函數為

minJ=Kv‖Vref-V‖2+Ku‖U‖2+Kf‖WU‖2

(13)

式中:Vref為由式(10)得到的參考曲線值,也是速度追蹤的目標;V為本車各質點的速度信息,來自狀態矩陣X;Kv,Ku,Kf分別為速度追蹤、控制量、牽引制動變化率的權重系數,Kv為直接的控制效果,Ku為對節能和牽引制動平穩的考慮,Kf為對牽引制動率的考慮。優化問題由代價函數和約束組成,約束有以下幾類:

1)動力學約束:由式(9)可以得到系統的動態方程等式約束

(14)

記為約束集Ω1,有X∈Ω1。

2)狀態約束:列車運行過程中受到線路靜態或臨時限速的影響。vline為線路限速,它與目標速度曲線類似也是預設的位置-速度對,表現為分段函數

0≤V≤vline

(15)

記為約束集Ω2,有X∈Ω2。

3)控制約束:列車運行過程中,牽引制動力受牽引制動特性約束?？刂萍s束本質上是控制量和速度狀態量的聯合約束

Ubmax≤U≤Utmax

(16)

記為約束集Ω3,有U∈Ω3。

4)變化率約束:由于重載列車牽引制動變化平緩的控制特點,最優控制應考慮對變化率進行約束,可對預測域中的Δu進行約束,但考慮控制器響應的快速性,第一個預測時刻約束取值可大一些。

|WU|≤ΔFmax

(17)

記為約束集Ω4,有WU∈Ω4。

2.3.2 后車的代價函數和約束

后車作為編隊中的主要對象,它要保持和前車的間隔,維持和前車相同的速度,滿足安全約束,建立代價函數為

后車還遵守安全約束,表示后車和前車之間存在最小行車間隔,以保持安全。前后車間隔始終大于安全間隔Dsafe為

2.4 線性化處理

本文在2.3節中,建立了首車和后車的控制優化問題,但其中存在非線性項和無解析式項,控制優化問題難以得到可行的最優解。在本節中這些非線性項和無解析式項進行處理,將優化問題轉化為混合整數的二次優化問題,進行求解。

在優化問題中,在約束集Ω1中基本阻力表達式是二次的,這不利于優化問題的求解,因此對其做一階泰勒展開,使之線性化。

首車的參考速度R,約束集Ω1中Fr、Fg和約束集Ω2中的vline都為非線性且無解析式的項,因此以分段函數的形式表達。以y為因變量,s為自變量,用符號S0,S1,…,Sn-1將s劃分為不同區間,符號y0,y1,…,yn-1表示y在不同區間上的取值,那么分段函數可表示為

通過可以引入0-1指標變量Z0,Z1,…,Zn可以將這些非線性無解析式的項變成約束,則式(21)可轉化為

只要滿足z0+z1+…+zn=1∩G→∞,則式(22)恒成立(G為一個實數)。在約束集Ω3中,Ftmax,Fbmax是自變量為速度v的分段函數式(4)和式(5),用同樣的方式可以處理。

通過式(22)原問題中的目標函數和約束集Ω1,Ω2,Ω3進行了線性化分段近似處理,優化問題轉化為混合整數的二次優化問題進行求解。

3 仿真驗證

本文通過數值仿真驗證所提控制方法的有效性。為突出所提出方法的先進性,本文選擇了自適應巡航控制(adaptivecruisecontrol,ACC)方法與本文提出的MPC方法進行對比。

自適應巡航控制是最早被提出的巡航控制方法之一,目前廣泛應用于公路車輛自動駕駛系統的縱向速度控制。ACC控制器是線性狀態反饋控制器[21],根據前后車輛的相對運動狀態反饋形成控制律。一般,狀態反饋形式的ACC控制律為

3.1 仿真設置

重載列車編隊由三列萬噸列車組成,編號為Train1、Train2、Train3。編隊的首車Train1采用本文提出的MPC方法進行仿真,編隊中的其余列車分別采用本文提出的MPC方法和ACC進行仿真比較,以體現本文方法的先進性。

編隊列車初始速度為73.3km/h;初始位置分別為285、 283.5、 282km;仿真時間2 000s。列車選擇朔黃鐵路線路中編組最多的“1+1”組合式萬噸編組列車,機車類型為HXD1+HXD1,車輛類型為C80。車輛參數和控制方法參數取值如表1所示。

表1 車輛參數和控制方法參數取值

表1中ml、c0l、c1l、c2l分別為HXD1型電力機車的質量以及基本阻力經驗系數;mw、c0w、c1w、c2w分別為C80車輛的質量以及基本阻力經驗系數;Ddes為列車追蹤過程中的理想間距。在仿真開始時刻,編隊中任意相鄰兩列列車車頭車尾之間相隔Ddes。由于代價函數中各項單位數量級差距較大,參數Kv、Ks、Ku、Kf的取值數量級差距較大。

本文選取了朔黃重載線路某一平緩區段線路數據,線路全長50km,最高限速為80km/h。根據上述列車編組數據和線路數據,在滿足約束的情況下,以代價函數式(13)和式(18)為目標,通過對列車編隊運行過程的優化問題進行滾動優化,得到每一時刻編隊中列車的控制量。

3.2 數值分析

本文以仿真過程中的速度誤差和間隔誤差評價控制方法的控制精度。圖5顯示了列車編隊各列車的速度變化情況。編隊首車以既有列車的LKJ運行數據作為目標曲線(ref)。

圖5 速度位置曲線

圖6為Train2和Train3的速度誤差時間曲線。由圖6可知,MPC方法的速度誤差顯著小于ACC方法,編隊列車在同一時刻基本保持了相同的速度。但ACC方法相比于MPC方法存在更多的震蕩,且第三列車的震蕩程度略大于第二列車。

圖6 速度誤差時間曲線

圖7為列車編隊中Train2和Train3的間隔誤差時間曲線,可以看出無論MPC方法還是ACC方法,都能較好的保持列車編隊隊形。ACC方法的間隔誤差在一定范圍內震蕩,而MPC方法的列車編隊間隔誤差始終存在收斂趨勢。

圖7 間隔誤差時間曲線

圖8為MPC方法和ACC方法仿真下Train2和Train3的誤差分布的核密度估計。核密度估計是在概率論中用來估計未知的密度函數,屬于非參數檢驗方法之一。通過核密度估計圖可以比較直觀的看出數據樣本本身的分布特征。從仿真列車編隊的速度和間隔誤差的核密度估計圖形上可以看出,MPC方法下誤差聚集在0附近,而ACC方法的誤差數據比較分散。這說明MPC方法的控制精度更高,控制效果更好。

圖8 速度誤差和間隔誤差分布

比較ACC和MPC兩種方法的仿真結果,MPC的誤差收斂性較好,從誤差分布圖像上看,速度誤差和間隔誤差在0附近聚集,且列車編隊間隔始終滿足安全約束,驗證了該方法在坡度影響下速度變化時處理間隔約束的有效性。而ACC方法在仿真過程中,誤差存在震蕩現象,且Train3的震蕩程度大于Train2,說明誤差震蕩的現象可能隨列車編隊延伸的方向放大,不利于編隊長度的進一步增加。

兩種方法的具體仿真結果見表2和表3,表中各項數據為絕對值。仿真結果說明本文提出的控制方法與既有的ACC方法相比,控制誤差更小。

表2 MPC仿真結果

表3 ACC仿真結果

4 結論

本文針對重載列車載重大、編組長、操控難度大的特點,提出了一種重載移動閉塞系統下基于改進MPC的重載列車編隊運行控制方法。本文首先建立了基于多質點模型的分布式控制結構的重載列車編隊模型,然后通過增加自適應反饋環節改進MPC方法,并引入0-1指標變量處理非線性函數,進一步求解混合整數的二次型優化問題,最后采用朔黃重載移動閉塞系統下的實際線路數據和列車數據進行仿真,并與ACC控制方法進行了對比,仿真結果顯示,所提出的改進MPC方法在誤差收斂性、控制精度方面略優于ACC方法,且采用基于改進MPC的重載列車編隊運行控制方法,在仿真平臺上可得到最大速度誤差為0.465 km/h,最大間隔誤差為1.899 m,且誤差分布聚集在零點附近。仿真結果表明:本文提出的基于改進MPC控制方法能夠滿足重載移動閉塞系統下編隊控制精度要求,該控制方法是有效的。