精心創設情境式任務 促進乘法模型整體建構

李曉梅

（江蘇省泰興市教師發展中心）

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下通稱“新課標”）要求學生“在具體情境中，利用乘法表示數量之間的關系，建立乘法模型，知道模型中數量的意義。”要求教師“重視單元整體教學設計，改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯。”為此，教師要結合教學需要，精心創設情境式任務，有效驅動學生經歷建模過程，整體建構乘法模型。

一、創設探究性情境式任務，促進課時整體乘法模型建構

學生的探究離不開教師的引導。教師要根據學生的已有經驗和認知特點，精心創設探究性情境式任務，驅動學生積極、主動地進行探究，以溝通新舊知識之間的聯系，促進課時整體乘法模型建構。在以任務為驅動的小學數學課堂上，教師要注重探究性情境式任務的設計，引導學生在情境探究的過程中找到科學的學習數學的方法，培養學生自主學習的意識和能力。除了以學生個人為單位制訂活動計劃之外，教師也可以設計使學生小組合作的探究性情境式任務，引導學生與同伴相互配合，在共同協作的同時掌握數學知識，并實現合作意識和合作能力的提升。為此，教師要努力為學生提供探究的時間和空間，為學生的積極探究創造機會，為學生整體建構乘法模型提供保障。尤其是當學生探究遇到困難時，教師要給學生提供恰當的指導意見，引導學生在探究中自主發現問題、矯正問題。

例如，在教學“常見的數量關系”時，教師課始可以借助課件創設一個探究性情境式任務：某高速路旁有這樣一個標志（見下頁圖1）。王老師在這條高速路上開車3小時，行駛了240千米。他有沒有超速？

圖1 某高速路旁的標志

學生根據教師創設的探究性情境式任務，先認識交通標志的含義（限速80千米，說明汽車1小時最多只能行駛80千米），接著，認識汽車儀表盤（見圖2）。

圖2 汽車儀表盤

學生根據已有經驗說明汽車速度快、慢時儀表盤指針的變化情況，再一起認識“km/h”中“km”“h”“/”和“km/h”的意思及其讀法。有的學生根據算式240÷3=80千米/小時，判斷出王老師沒有超速；有的學生認為80千米/小時是平均速度，實際開車可能會有時快有時慢，如果速度超過80千米/小時，王老師就超速，從而引出求汽車平均速度的方法——用汽車行駛的千米數除以汽車行駛的時間（即路程÷時間=速度）。學生從口算騎自行車、直升機飛行以及衛星在太空運行的平均速度中初步感知路程、時間、速度三者之間的關系。在此基礎上，教師追問：“如果王老師按80千米/小時的速度開車2 小時，能行駛多少千米？如果這輛汽車要行駛320千米，需要多長時間？”學生從中發現“路程÷時間=速度”“速度×時間=路程”“路程÷速度=時間”都表示路程、速度和時間之間的關系。學生探究“求路程用乘法的理由”（速度相當于每份數，時間相當于份數，路程相當于總數量，要求“幾個幾是多少”用乘法）后，看圖寫算式（見圖3），并思考：如果把這個問題看作走路問題，就該把哪個數量看作速度？把哪個數量看作時間？把哪個數量看作路程？如果把表1中的問題看作走路問題，該分別把哪個數量看作速度、時間和路程，為什么？

表1 問題情境

圖3 看圖寫算式

教師聯系學生實際生活創設探究性情境式任務，驅動學生親身經歷把實際問題抽象成數學模型并解釋的探究過程。這個探究過程就是學生整體建構乘法模型的過程。為了完成教師創設的探究性情境式任務，學生透過現象看本質，發現數量之間的內在聯系。“單價×數量=總價”和“速度×時間=路程”都是“幾個幾相加”的乘法意義的具體化，每組數量關系都能把“一類”關系的結構特點和本質聯系明確而清晰地表達出來。為了溝通知識之間的聯系，教師不但引導學生思考為什么求速度和時間時用除法、求路程時用乘法，而且引導學生在解決簡單的實際問題中進行適當拓展。學生用同一個情境的不同種素材引出三組關系，具有一定的整體性和連貫性；教師引導學生把熟悉的看圖寫算式和單價、數量與總價問題看作“路程問題”，使其具備了模型的價值。教師這樣整體建構乘法模型并適當拓展，幫助學生形成了對所建構乘法模型的全面認識。

二、創設故事性情境式任務，促進單元整體乘法模型建構

聽故事是小學生喜聞樂見的活動形式之一。教師創設故事性情境式任務，驅動學生單元整體構建乘法模型，有助于激發學生的學習興趣。故事可以是歷史故事，可以是數學故事，也可以是時事性故事，只要是和教學內容有關，符合學生的認知特點，能有效驅動學生單元整體建構乘法模型的故事就可以。為此，教師要精心設計故事性情境式任務，使學生自然而然地聽故事，并在聽故事中產生一種不完成任務就放不下的沖動。當然，教師要基于單元整體的視角創設任務，就要充分研讀整個單元的教學內容，幫助學生創設故事性情境式任務群，環環緊扣，層層推進，構建單元整體建模教學路徑，促進學生在故事性情境式任務群的完成過程中形成和發展數學核心素養。

蘇教版數學教材三年級下冊第一單元“兩位數乘兩位數”中共有6 個例題，分別是口算兩位數乘10（包括幾十乘幾十）、估算兩位數乘兩位數、筆算不進位的兩位數乘兩位數、筆算需要進位的兩位數乘兩位數、筆算兩位數乘幾十、兩步連乘解決的實際問題等內容。教材中的情境式任務分別是：買菜椒送給養老院，購買馬鈴薯把蒜頭裝在同樣大的袋子里，購買“迷你”南瓜，購買足球，購買乒乓球，這些任務雖然能引導學生順利構建乘法模型，但這些任務之間聯系不大，顯得比較零散。

為了引導學生從單元整體建構乘法模型，教師可以把這些任務整合到“超市購物”故事主題任務中。教師可以這樣設計故事性情境式任務：王老師和李老師一起去超市為學校購物。教師先引導學生猜一猜兩位老師要購買哪些商品，再出示王老師購買菜椒、馬鈴薯和“迷你”南瓜的場景圖以及李老師購買足球和乒乓球的場景圖：（1）王老師給食堂買菜，先買了10 盒菜椒，每盒12 個；又買了40 袋馬鈴薯（其中5 袋馬鈴薯的質量見表2）；還買了12 箱“迷你”南瓜，每箱24個。（如果買53箱呢？）（2）李老師給體育室買足球和乒乓球：足球每個32 元，買了30 個這樣的足球；買了6袋乒乓球，每袋5個，每個乒乓球2 元。然后，教師引導學生根據這些信息提出問題。學生根據題目中的信息很快提出相應的數學問題，如一共買了多少個菜椒？一共買了多少千克馬鈴薯？一共買了多少個“迷你”南瓜？買足球一共用了多少元？一共買了多少個乒乓球？買一袋乒乓球要用多少元？買乒乓球一共要用多少元？

表2 5袋馬鈴薯的質量

教師引導學生根據相關信息，按課時分別總結出數量關系并建構乘法模型——每盒菜椒的個數×盒數=菜椒的總個數、每袋馬鈴薯的質量×袋數=馬鈴薯的總質量、每箱“迷你”南瓜的個數×箱數=“迷你”南瓜的總個數、每個足球的錢數×個數=買足球要用的總錢數、每個乒乓球的錢數×一袋乒乓球的個數=買一袋乒乓球的錢數、每袋乒乓球的個數×袋數=買乒乓球的總個數，每個乒乓球的錢數×乒乓球的總個數=買乒乓球要用的總錢數。最后，教師引導學生把這些模型整體建構為統一的乘法模型——每份數×份數=總數。

“兩位數乘兩位數”是學生在理解并掌握“兩位數乘一位數”基礎上進行學習的內容。“兩位數乘兩位數”的算法是學生遷移應用到解決“三位數乘兩位數”“三位數乘三位數”的問題的基礎。為此，“兩位數乘兩位數”是整數乘法教學的關鍵。教師用故事形式把本單元的所有教學內容都“壓縮”在一個比較綜合的故事性情境式任務中，一方面是整合教材中的6個任務，形成一個有聯系的任務群，使學生直觀感知數學知識之間是相互聯系的，另一方面有助于學生整體構建統一的乘法模型“每份數×份數=總數”。

其中，“買一盒乒乓球要多少元？”和“買乒乓球一共要用多少元？”兩個問題既有聯系，又有區別：兩個問題都可以用相同的數量關系式“每個乒乓球的錢數×乒乓球的個數=買乒乓球的錢數”來解決，但前一個乒乓球的個數是一盒乒乓球的個數，后一個乒乓球的個數是乒乓球的總個數（或者說是6 袋乒乓球的個數）。求6 袋乒乓球的個數，要根據數量關系“每袋乒乓球的個數×袋數=乒乓球的總個數”進行計算。當然，后一個問題也可以根據前一個問題的結果進行計算，用“每袋乒乓球的錢數×總袋數=買乒乓球的總錢數”解決問題。也就是說，后一個問題要兩次運用乘法模型，并且都可以用統一的乘法模型進行表達。

三、創設挑戰性情境式任務，結構化梳理整體乘法模型

學生學習的乘法模型往往是點狀的、零散的，教師有必要在最后的學習階段，引導學生對乘法模型進行結構化梳理，幫助學生進一步理解數量關系的數學本質和內在關聯，提高學生解決問題的能力。在復習“數與代數”時，教師可以用挑戰性情境式學習任務驅動學生主動、積極地結構化梳理乘法模型。挑戰性任務是一項能激發學生好奇心、好勝心、成功欲的，有明確目標且需要擔負責任的任務。教師有針對性地創設挑戰性情境式任務的難易度要適當：如果任務太難，學生無法完成；如果任務太簡單，學生沒有興趣完成。對小學生而言，最適宜的挑戰性情境式任務是學生“跳一跳能夠得到的”，也就是在學生思維“最近發展區”的任務。教師要創設適合學生的、個性化的挑戰性任務，使每個學生都能積極、主動地建構乘法模型。

課前，教師可以創設這樣一個挑戰性情境式任務：整理一下自己在整個小學階段所學過的用乘法表示的數量關系。對于這個任務，每個學生都能或多或少地完成。學生經過整理，梳理出來的數量關系包括“每份數×份數=總數”“1倍量×倍數=倍數對應的數量”“每輛車乘坐的人數×輛數=乘坐的總人數”“每組的人數×組數=全班的總人數”“每人澆樹的棵數×人數=澆樹的總棵數”“單價×數量=總價”“速度×時間=路程”“工作效率×工作時間=工作總量”“單位‘1’的量×（百）分率=（百）分率所對應的數量”“本金×利率=利息”“收入×稅率=納稅額”“原價×折扣=現價”等。這些數量關系在解決實際問題的過程中可以衍生出新的數量關系，如總價÷單價=數量、總價÷數量=單價、路程÷速度=時間以及路程÷時間=速度等。最終，學生發現總價、路程等都是積，單價、數量、速度和時間等都是因數，學生可以用一般性式子表示乘法模型——一個因數×另一個因數=積，并且可以根據“積÷一個因數=另一個因數”推理出其他數量關系式（見圖4）。

圖4 數量關系

教師引導學生自主整理所學過的用乘法表示的數量關系，這對小學生而言具有一定挑戰性——乘法表示的數量關系分散安排在各冊教材，并且按照循序漸進、螺旋上升的原則隨著知識發展而不斷變化。教學中，筆者發現每個學生都能完成這個挑戰性任務，區別在于完成任務的數量和質量。教師如果能引導學生用思維導圖加工整理這些內容，就能促進學生溝通知識的聯系，把零散的知識點構成一個具有有機聯系的知識網絡，使學生在融會貫通中理解和掌握乘法模型，自主形成屬于自己的認知結構。全面、整體地建構乘法模型，能幫助學生溝通新舊知識間的聯系，把一個個零散、孤立的數學模型有機統一起來，形成一般化的數學模型，使學生在知識形成過程中把新知納入已有知識體系并形成新的認知結構。

總之，情境式教學和任務驅動教學相結合，能使教學任務生動化、形象化、趣味化。教師精心創設的情境式任務是驅動學生整體建構乘法模型的“觸發器”。情境式任務驅動學生從整體、系統、關聯和結構化的視角推進乘法模型的整體建構，有助于學生更加形象、生動地感受數學的學科魅力，提高整體建構乘法模型的效率；有助于學生在深刻理解乘法模型中逐漸形成和發展數學核心素養。