談初中數學探究規律型問題及解題策略

謝紹煥

(福建省寧德市蕉城區蕉城中學,福建 寧德 352100)

探究規律型問題是歷年中考必考知識點,這類問題通常也被稱為歸納猜想型問題.或是給出一組圖形操作變化過程,或是給出某一類問題情境,或是給出一組有著某種特定關系的數,要求學生觀察、分析、推理,找出其中蘊含的規律,在此基礎上猜想、歸納出一般性結論,這類問題對于學生思維能力的培養有積極影響.筆者以歷年中考試題為例,簡要闡述初中數學探究規律型問題及解題策略.

1 探究規律型問題的分類

1.1 根據問題的結構特征分類

1.1.1循環型問題

這類問題中各項在排列上有一定的規律性,呈現周期性循環.

例1 觀察算式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2 187,38=6 561,…確定32 011個位數字是____.

1.1.2非循環型問題

這類問題中的已知各項不會呈現周期性循環,但它們有共同特征,遵循同一個表達式所反映的基本規律.

例2 數列2,4,8,16,…則第90項是____.

1.2 根據問題的表現形式分類

1.2.1數列、代數式型問題

這類問題具體可分為數列型問題和代數式型問題.數列型問題中的已知條件是一串數字,例1和例2就是此類型問題;代數式型問題中的已知條件是一組代數式、等式或者不等式.

例3 觀察算式:

①1×3-22=3-4=-1

②2×4-32=8-9=-1

③3×5-42=15-16=-1

……

第n個式子表示為____.

1.2.2純圖形型問題

此類問題通常是把一系列圖形按一定方法編排,要求通過觀察、比較、分析、思考,探究它們在形狀或位置上的排列順序和變化規律.

例4 一串圖案按如圖所示規律排列,第2 013個圖案是____.

1.2.3數列、代數式與圖形結合型問題

此類問題也以圖形形式出現,但不止要求探究圖形形狀或位置上的變化規律,更要求探究數量上的變化規律.圖形中蘊含著數量關系,圖形只是外在的載體,實質與核心是數與式,它體現了數形結合的思想,也是近年來熱點題型之一[1].

例5 如圖1所示,n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上,設△B2D1C1的面積為S1,△B3D2C2的面積為S2,…,△Bn+1DnCn的面積為Sn,則Sn=____(用含n的式子表示).

圖1 n+1個等邊三角形排列順序

1.2.4動手操作型問題

這類問題中詳細描述了操作過程或操作方法,用以指導操作或空間想象,探究每一步呈現的規律.

例6 將相對面上的點數分別為1與6、2與5、3與4正方體骰子,按圖①放置于水平桌面上,再將骰子按圖②先向右翻滾(如圖2所示),然后按逆時針方向旋轉90°,視為一次變換.連續進行20次變換之后,則朝上一面的點數是____.

圖2 正方形骰子翻滾順序

2 探究規律型問題的解題策略

解答這類問題時,應依據問題給出的特殊例子或條件,通過觀察、操作、類比、歸納等方法,探尋相關問題的規律與特征.

2.1 循環型和非循環型問題的解題策略

2.1.1循環型問題的解題策略

解決這類問題的關鍵是根據題目中的已知條件分析圖形或數據的循環周期,再確定所求的項與循環周期中第幾個一致.

如解答例1時,通過觀察分析31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,可得出個位數字3,9,7,1,并依次循環.再求2011÷4的余數為3,得出32011的個位數字與33的個位數字相同,都是7.

2.1.2非循環型問題的解題策略

這類問題中的已知項遵循共同的表達式.解題時應側重對已知項進行比較分析,尋找共同的規律,再列出表達式.

2.2 數列、代數式型,純圖形型,數列、代數式與圖形結合型和動手操作型問題的解題策略

2.2.1數列、代數式型問題的解題策略

解決這類問題時,先寫出數或式的基本結構,再通過比較各數或式中相同部分和不同部分,找出各部分特征.若是循環型問題,就按循環型解題策略進行解答;若是非循環型問題,首先要觀察題中已知項的結構,若能把它們都直接與序號建立聯系,就可以直接寫出表達式.如解答例2時,通過觀察2,4,8,16,直接得到第n項的表達式2n,則第90項是290.又如解答例3時,可以看出每個式子所表示的意義是:一個數與比它大2的數相乘的積減去它們平均數的平方,所得的差都等于-1.把它與序號對應起來,第n個式子為n(n+2)-(n+1)2=-1.

若已知項比較復雜,無法直接得到表達式.解題時首先要對已知項進行不斷的改寫,一直到分離出各項都含有不變的部分和變化的部分,且變化的部分與序號有直接聯系.即把復雜的項,通過改寫進行轉化,變為簡單的容易解答的幾個小部分.

例7 觀察數列5,11,19,29,…則第n項可以表示為____.

數列各項之間既不是等比關系,也不是等差關系.由觀察直接得到表達式有困難,需要對各項進行拆分.由分析可知,改寫時可考慮從各項中分離出一個等差或等比數列.由于初中探究規律型問題的表達式多為一次函數和二次函數,從而可考慮從各項中分離平方項,即1,4,9,16.把原題改寫為1+4,4+7,9+10,16+13,再分析4,7,10,13,將二者組合起來,就得第n項的表達式n2+3n+1.

由于此類問題的表達式在初中以一次函數和二次函數居多.若不能對題中已知項進行順利改寫,可以對它們進行整體觀察.當認為是一次函數關系時,先依據其中兩項的值,用待定系數法求出表達式,再把所有剩余項的值分別代入表達式進行驗證,看是否都適合于所求表達式.若有一項不適合,則說明判斷錯誤.再求其二次函數表達式,若都不適合,只能回歸到改寫的方法上[2].

2.2.2純圖形型問題的解題策略

此類問題能提高學生讀圖能力,培養學生對圖形細節變化的觀察分析能力.解答時,應注重分析相鄰圖形之間的聯系與區別,結合整體,找出內在變化或排列規律.此類問題多為循環型.

2.2.3數列、代數式與圖形結合型問題的解題策略

解決這類問題時,可以先求出每一個圖形所對應的值,將其轉化為數列型問題,然后再按數列型問題進行探究.當求得的數列比較簡單時,這種方法很有效.當數列比較復雜時,以上方法就不一定有效.此時,需要對圖形進行觀察、分析、思考,把圖形拆分成幾個小部分,再對每個小部分的變化規律進行探究.最后把各小部分的規律組合,形成整體的規律.

例8 如圖3所示,把大小相等的小方塊按下圖所示方法堆放,第n個圖形有____塊小方塊.

圖3 相等小方塊的堆放規律

解法1 把圖形自上而下一層一層地拆分,得到一組式子:①1;②1+5;③1+5+9;…這是求等差數列各項之和.這對初中生而言,具有一定的難度.

2.2.4動手操作型問題的解題策略

解決這類問題時,首先要認真閱讀理解題中對操作要求的描述,切不可在一知半解的狀態下就開始操作、想象,以免出現錯誤的操作,得出錯誤結果,白費力氣.其次,操作過程一定要認真,不可麻痹大意,避免出現操作失誤.在操作正確的情況下,要記錄好每一步結果,以便對整體規律的探究.

例如,解答例6時,在讀題、讀圖時要弄清骰子相對面上點數分別是1點與6點,2點與5點,3點與4點.圖①是初始狀態.每一次變換如圖②所示,分為兩個步驟:第一步,向右翻滾90° ;第二步,在桌面上按逆時針方向旋轉90°.對于無法進行實物操作且憑空想象能力較弱的學生,可建議他們在草稿紙上畫出連續的若干次變換,如圖2所示.從第一次開始,記錄下后續幾次變換后朝上的點數依次是:5,6,3,5,6,….可得這是按5,6,3為一周期的循環型問題,則第20次變換后朝上的點數是6點.

3 結束語

探究規律型問題的取材十分廣泛,形式也靈活多樣.近年中考中還出現了與定義新運算、閱讀理解等問題相結合的探究規律型問題.這類問題有助于發展學生的數學思維,提高學生解決問題的能力.解決這類問題時,要綜合運用所學知識,多角度探究問題的求解方法.