善于觀察探思路
——以中考平面幾何題為例

夏 佳

(江蘇省揚州市揚州大學,江蘇 揚州 225100)

波利亞在《怎樣解題》中將解題步驟分解為“理解題目——擬定方案——執行方案——回顧”.然而,這并不能使每個解題者都能按部就班地解題,有些學生在解題時如無頭蒼蠅在迷宮中亂撞,浪費了大量時間在試錯上卻不能將問題解決.從心理學視角來看,問題解決過程中,與新手相比,專家們會將更多時間放在表征問題上,能很快抓住問題的實質,并根據問題的內在結構表征問題.

1 概念界定

觀察是一種人類對周圍出現的事物或現象進行有目的的考察所表現出來的心理現象,先進行全面而深入的察看,并根據該事物或現象的真實面貌來探究和確定它們的性質和關系[1].而在數學教學活動中的觀察,則是指觀察由符號、字母、數字或文字所表示的數學關系式、命題、問題及圖表、圖象、幾何圖形的結構特點.

2 善于觀察探思路

鄭步春認為觀察能力的特點為目的性、有序性、取舍性、敏銳性、全面性[2].雖然夏宛央在其學位論文中批判了對觀察能力特點的分類,指出這些分類不為“觀察能力”所特有,因此也就不能表明“觀察能力”的質[3].其目的性在于它是指向問題解決的,目的是為了探求解題思路;其有序性在于觀察需遵循整體到局部再到整體的順序;其取舍性在于需對觀察到的信息進行取舍,直指問題的本質特征;其敏銳性在于需要注意到易于忽略的信息;其全面性在于需通過觀察關注到問題的顯性信息和隱形信息.從這些特性也就能得出在數學活動中應如何觀察探思路,即帶著目的,從問題整體出發,留意問題的已知數據、條件和未知量,找出問題的顯性信息和隱形信息,再對局部仔細琢磨推敲,觀察不同部分,從不同角度思考同一部分,最終探明從已知數據到未知量的路徑,得到解題思路.

3 案例分析

筆者以兩道中考題為例,說明如何通過觀察題干、已知量與未知量的聯系得出問題的求解方法.

例1 (2021年重慶市中考數學B卷第26題)在等邊△ABC中,AB=6,BD⊥AC,垂足為D,點E為AB邊上一點,點F為直線BD上一點,連接EF.將線段EF繞點E逆時針旋轉60°得到線段EG,連接FG.

(1)如圖1,當點E與點B重合,且GF的延長線過點C時,連接DG,求線段DG的長;

圖1 問題(1)圖

針對問題(1),觀察題干:

已知量:△ABC為等邊三角形,AB=BC=AC=6,三內角均為60°;由BD⊥AC,垂足為D,易得∠ABD=∠CBD=30°,AD=CD=3;由EF=EG,∠GEF=60°,得△EFG為等邊三角形,∠CBG=90°.

未知量:DG的長,易發現DG在△DFG、△CDG、△DEG中,連接AG,則DG還在△ADG中.

觀察已知量與未知量的聯系:

思路1:△CDG中已知CD,要求DG,需先求出CG長與∠ACG,由隱含信息可求得,繼而求DG長.

思路2:△ADG中已知AD,要求DG,需先求出AG長與∠DAG,由隱含信息可求得,繼而求DG長.

觀察題設:先找出隱含信息,△EFG為等邊三角形,得出∠EFH=120°,又∠ABC=60°,易發現∠BEF=∠CHF,BE與BF同在△BEF中,HC與BH共線,且∠BEF=∠CHF,不妨作直線FP=FB且與BH所在直線相交,容易得到兩三角形全等,BE=HP,達到使與BE、BH長度相等的線段共線目的,這時就可順理成章地獲得.

圖3 問題(2)求解圖

(1)如圖4,EF與AC交于點G,連接NG,求線段NG的長;

圖4 問題(1)圖

(2)如圖5,將△AEF繞點A逆時針旋轉,旋轉角為α,M為線段EF的中點,連接DN,MN.當30°<α<120°時,猜想∠DNM的大小是否為定值,并證明你的結論.

對于問題(2),觀察整體:題干中提到許多中點,如D、M、N分別為BC、EF、EC中點.題中要求猜想∠DNM的大小是否為定值,并證明結論,觀察題目可知為定值的角有∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°.

觀察局部:已知量為點D、M、N分別為BC、EF、EC中點,在圖中更直觀地可以看到DN、MN,從而聯想到三角形的中位線定理,不妨連接BE、CF,再有△ABC、△AEF都為等邊三角形,不難發現∠BAE=∠CAF,從而得出△ABE≌△ACF.未知量為∠DNM,若想得出∠DNM大小,不妨嘗試延長FE與DN相交,但顯然此路不通,只能從其他方面入手.

觀察已知量與未知量的聯系:∠DNM為定值,已知量中為定值的角有∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°,試圖將∠DNM與這些角聯系在一起,∠DNM不可直接求得,可將其轉化成求其他角的大小.

解如圖6,連接BE,CF.因為AB=AC,AE=AF,∠BAE=∠CAF,所以△ABE≌△ACF,所以∠ABE=∠ACF.因為∠ABC+∠ACB=60°+60°=120°,所以∠EBC+∠BCF=∠ABC-∠ABE+∠ACB+∠ACF=120°.易得∠ENM=∠ECM,∠CDN=∠EBC.因為∠END=∠NDC+∠ACB,從而易知∠DNM=∠DNE+∠ENM=∠NDC+∠ACN+∠ECM=∠EBC+∠ACB+∠ACF=∠EBC+∠BCF=120°.

圖6 問題(2)求解圖

4 觀察方法總結

4.1 注意觀察整體

觀察整體的目的是對問題有一個整體的印象,抓住問題的主要特征.如例2(2),通過觀察整體,發現題中有多個角均為定值,要想求得未知量,就要將其與其他定值角聯系在一起.若未先觀察整體,而先從部分入手,很可能只能獲得一些無效信息,解題解到中途發現前面都是在做無用功.

4.2 觀察已知量(題設)與未知量(結論)的聯系

不論是求解題還是證明題,問題解決的途徑就是探明已知量到未知量、題設到結論的路徑,因此觀察已知量(題設)和未知量(結論)之間的聯系顯得尤為重要,一種方法是從已知量順推至未知量.

4.3 觀察得到問題中的隱含信息

問題解決過程中往往很難一眼就看出從已知量到未知量的路徑,經常需要找到題中的隱含信息,并借助其作為臺階一步一步從已知量走向未知量.當然,并不是盲目地探尋隱含信息,而是要帶著問題解決的目的去尋找,還要注意甄別隱含信息中哪些信息是有效信息,哪些信息是無效信息,為問題解決創造條件.

4.4 觀察過程中注重聯想,大膽試錯

聯想能力和觀察能力一樣,都是問題解決過程中不可或缺的思維能力.此外,通過觀察、聯想,還要大膽試錯,因為有時解題思路并不明了,找到一個突破口之后,便要勇于嘗試,看能否向下一步推進.這是問題解決過程中解題者需要調動的非認知能力,有的解題者不敢輕易試錯,生怕踏錯一步,于是便只能躊躇不前.

5 結束語

通過觀察、解讀題目,找出已知數據和未知量的聯系,探求解題路徑,在腦海中構思解題思路,是解題過程極重要的環節,而解題困難者則缺失了這一環.在這重要一環中,觀察便是解題者需要調動的一種重要的思維能力,因此,教師在平時的教學中應注重培養學生的觀察力.