拋物線中的定值、最值問題探究
——以2017年遵義市中考數學第27題為例

包勝利

(通渭縣隴川學校,甘肅 定西 743319)

初中最值問題大致分為幾何最值和代數最值兩類.幾何最值是指在一定條件下,求幾何圖形中某個確定的幾何量(如長度、角度、面積等)的最大值或最小值,而代數最值是指求一些簡單的代數式或與實際問題相關(如用料最省、成本最低、能耗最少、產值最高、利潤最高等)的問題.

1 幾何最值問題的求解思路

在初中階段,解決幾何最值問題的依據有兩個,一是兩點之間,線段最短;二是垂線段最短.由這兩個依據延伸出以下常用的結論:三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊;過圓內一點的所有弦中,垂直于過這點的直徑的弦最短;直徑是圓中最長的弦.

因此,幾何方法求最值的思路是:將幾何圖形中的最值轉化成基本的幾何模型——“兩點之間,線段最短”和“垂線段最短”.其關鍵是抓住運動變化中不變的相關量(長度、角度、面積)與變化的相關量比較大小.即通過平移、旋轉、軸對稱將多條線段首尾相連轉化到兩定點之間的線段上,實現“折”轉“直”,利用“兩點之間,線段最短”說明最小.或者將問題轉化為一定點到一條定直線的距離, 利用“垂線段最短”即可得出最小值.

2 幾何最值案例分析

2.1 試題呈現

圖1 中考題圖

(1)求該拋物線的解析式與C點坐標.

(2)已知點M(m,0)是線段OA上的一個動點,過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D,E兩點,當m為何值時,ΔBDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形[1]?

(3)在(2)問條件下,當ΔBDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時,動點M相應位置記為點M′,將OM′繞原點O順時針旋轉得到ON(旋轉角在0°到90°之間).

2.2 探究實驗

第(2)問:如圖2,拖動點M,觀察BE和BD測量值的變化,是否存在相等的情形,有幾種情況?

圖2 探究等腰三角形

圖3 探究最小值問題

2.3 思路分析

(1)根據已知條件求出A,B坐標, 用待定系數法可求出拋物線解析式.

圖4 探究定值問題

2.4 解法探究

(2)解法1 如圖5所示,EM⊥x軸,M(m,0),則

圖5 解法1圖

當DE為底時, 作BG⊥DE于G,則

解得m1=-4,m2=0(不合題意,舍去).

圖7 第(3)問圖

3 結束語

探求定值一般是先分清問題的不變量與變量,而定值往往與這些不變量中的某些量(或它們的代數式)有關,常將一般問題特殊化,運用特殊情形(即用特殊值、特殊位置、特殊圖形等)探求定值.