基于直觀想象素養視角的高中解析幾何概念教學實踐研究
——以拋物線及其標準方程為例

馮立坤

(廈門實驗中學,福建 廈門 361116)

直觀想象是指運用生活中實際情境,利用圖形直觀感知,借助幾何直觀和空間想象感知事物變化,從而認識、了解并解決相應數學問題的素養.培養學生的直觀想象能力是教學中一直熱議的話題,本文以解析幾何拋物線定義及其標準方程為例,深入研究教學中直觀想象素養的滲透和培養.

1 基于直觀想象的教學實踐探究

1.1 確立教學目標,明確培養學生直觀想象的方向

在課堂教學過程當中,整個教學過程的實施都是以教學目標為基調進行的.因此,想要培養學生的直觀想象,就必須先確定所要達到的目標,這就是培養學生的直觀想象能力所要達到的目的.

(1)讓學生充分理解拋物線的定義,并會畫出拋物線的圖形,熟悉掌握拋物線的標準方程;利用定義求拋物線的標準方程、會表示拋物線的焦點以及表示拋物線的準線方程;并會簡單運用.

(2)從具體的實際情境中,抽象出拋物線的模型;化抽象為具象,化無形為有形.

(3)在學習拋物線中,體會數形結合思想,用數學思維和數學方法解決與拋物線有關的生活問題.

1.2 創設情境,迸發直觀洞察,激起學生直觀想象的興趣

教師在創設情境的時候,要盡可能地創設與學生實際生活相符合的情境.利用圖片、視頻或數學模型展示,讓學生直觀感受拋物線方程的產生,以最快速度理解圖形,從而真正掌握拋物線的生成過程,找到數形之間的聯系[1].這種利用幾何圖形來認識、描述和理解數學問題,再進行數學思考和分析的過程,非常符合高中生的學習特點.

圖1 球在空中運動的軌跡 圖2 動點M運動軌跡

【實際情境】在本章解析幾何的學習中,目前已經學習了橢圓、雙曲線,通過前面的學習探究可以發現如下規律.設動點M到定點F的距離與到定直線l(不過點F)的距離之比為k.

當0

當k>1 時,點M的軌跡為雙曲線;

當k=1時,即動點M到定點F的距離與動點M到定直線l的距離相等時,動點M的運動軌跡會是什么形狀?

利用信息技術作圖我們一起來探究,如圖2,F為一定點,l是不經過點F的定直線,點H為直線l上任意一點,過點H作MH⊥l,線段FH的垂直平分線m交MH于點M.用鼠標拖動動點H,觀察可以發現,點M隨之運動.

通過對生活實際情境的創設,在教學實踐中,可以進一步提高學生的直觀發現能力,進而為后續學生直觀想象素養的培養奠定了堅實的基礎.

1.3 問題探究,引導學生在思考中聯想到直觀想象

讓學生們借助三角板和直尺,親自體驗自己畫出拋物線,在畫圖中感知拋物線必備的條件.動圖展示作圖過程,提出問題,可以將直尺,釘子,筆尖轉化為數學模型,分別看成何種數學圖形,引導學生在整個作圖過程中從具體事物抽象概括出拋物線定義幾幾何特征.

【問題串】問題1:它的軌跡是什么形狀?你能發現點M滿足的幾何條件嗎?

(活動預設)拋物線.

問題2:你能發現點M滿足的幾何條件嗎?

(活動預設)在平面內,通過觀察發現動點M到定點F的距離與動點M到定直線l的距離相等,即|MF|=|MH|

問題3:MF,MH分別什么呢?

(活動預設)通過問題引導,讓學生觀察動點到定點的距離與動點到定直線的距離,將數量問題轉化為幾何圖形,利用幾何特征表達動點軌跡,從而引出拋物線的定義.

追問1:如果定點F在直線l上呢?所得到的軌跡是否依舊為一條拋物線?若不是拋物線的話,應是什么圖形?

問題4:在現實中生活中,拋物線形狀的圖形廣泛存在于現實生活中,能否開動腦筋想一想在現實生活中存在的拋物線形狀都有什么?

在教學中,學生作為課堂的主體,作為教師,只是課堂中引導學生的輔助者,起著引導學生的作用.因此,在課堂中教師以提問的方式或者問題串的形式進行教學,既符合建構主義的要求,又運用了啟發性原則,既能促使學生在思考問題的過程中進行知識的探索,又能幫助學生在知識的探索中聯想到直觀想象,為今后高中數學學習中直觀想象的培養奠定了基礎[2].

1.4 建立數形聯系,類比其他拋物線建系,展現幾何直觀,構建概念

在數學問題中用幾何圖形表示數量關系,降低復雜數值較多的數學問題的難度;同理運用代數知識解決幾何問題,通過代數運算對幾何知識進行推導,使幾何問題化難為易,進而找到更簡便有效的解題方法,同時使學生更直觀、更準確地理解幾何問題.

【數形結合】問題5 對橢圓與雙曲線標準方程的建立過程進行比較,你認為如何建立坐標系,可能使所求拋物線的方程形式簡單?

(活動預設)(1)協同探究,以小組為單位;(2)小組探討、畫圖探究,嘗試多種建系方法,并在多種建系方法,仍會出現如下圖3這樣的3種情況.在圖3中選取,何種建系會使得拋物線方程的形式最為簡單.

圖3 拋物線多種建系方法

繼續觀察,容易想到,x軸與拋物線的交點是圖中KF的中點,可將其設置為原點.

設計意圖:學生可以通過嘗試畫圖的方式,可以直觀感知如何建系使得各元素以及曲線的方程形式簡單.

問題6 設焦點到準線的距離為p,(a)用p表示焦點坐標;(b)用p可否表示準線方程.(c)動點M軌跡即為拋物線,這一點滿足的方程如何用p表示.

設計意圖:(1)將幾何問題轉化為代數問題,用數量關系表示;(2)感受直接法求軌跡方程.

1.5 信息技術融合,先進的教學手段創造培養直觀想象的機會

目前學生對數學軟件動圖動畫等都很感興趣,優化教學手段,利用幾何畫板和GGB等數學軟件,這樣可以調動學生的學習積極性.

動圖展示拋物線形成過程,形象直觀演示拋物線動態變化過程有效突破教學難點,引導學生分析較為復雜的動點軌跡或拋物線面積、最值等習題.如下題:

圖4 陰影面積

而針對一些基礎比較薄弱的學生,可以考慮錄制例題的微課或者定義生成的課件等提供給學生,以便于學生在課后自主學習鞏固．課件或微課的動態演示,有效地展示動點M軌跡的動態過程如圖7.

圖7 動點M軌跡的動態過程

在講授新課的過程中,要多注重學生的直觀感知,合理利用數學軟件,通過對動點軌跡形成而進行觀察、推理、計算,是學生掌握理解解析幾何這一部分的難點.同時引導學生多畫圖,教師在授課時也應注重學生作圖能力的培養,才能夠做到準確識圖、用圖、解圖.并且在解題教學中,有意識地從幾何直觀方面滲透對學生直觀想象素養的培養[3].

2 教學實踐總結及教學實踐反思

拋物線概念的形成是本節課的難點和重點.在教學實踐中,引導學生將拋物線與所學過熟知的二次函數進行對比.通過變換坐標系的建立,一方面加強學生在求拋物線方程的計算能力,另一方面將拋物線與二次函數聯系起來,讓學生理解二次函數也是拋物線,知道二次函數和解析幾何中拋物線的共通之處和不同的表達形式,使學生有一種“頓悟”的感覺[4].

學生自主探究對比橢圓、雙曲線、拋物線的區別與聯系,自行類比四種不同拋物線的標準方程、圖形焦點坐標以及準線方程.關鍵要讓學生學會運用類比和數形結合的思想解決數學問題.教學實踐結束時可采用拋物線形拱橋為背景,可以使學生再一次直觀感受拋物線的形成[5].

在例題的基礎上增加了變式訓練,師生共同分析,小組展開討論.在分析、討論、總結的過程中,使學生深入理解拋物線的定義與標準方程,了解概念和定理的形成過程．提高了學生的探究能力,促進學生直觀想象素養的培養,提高課堂效率．

3 結束語

在高中數學教學中,要加強對學生直觀想象素養的培養．通過直觀想象,可以將數學概念化抽象于具體,數學習題化繁為簡．使原本復雜無從下手的題目能夠更快且準確地找到解題思路.