基于高考“數(shù)列”專題 探究解題技巧

江曉潔

(福建省詔安第一中學(xué),福建 漳州 363500)

縱觀近五年數(shù)學(xué)高考題目,數(shù)列部分著重對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)、求和等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考查.常與函數(shù)、不等式等知識(shí)整合到一起,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)進(jìn)行考查.

1 數(shù)列概念類題目解題分析

縱觀最近五年數(shù)列考查題目,存在大量的基礎(chǔ)性問題.通常,這一類型問題難度系數(shù)比較低,主要圍繞等差、等比數(shù)列的概念展開考查,學(xué)生只要掌握深刻理解概念即可完成解答.

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件;

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件;

C.甲是乙的充要條件;

D.甲既不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件

綜上得知,{an}是等差數(shù)列,即選項(xiàng)C是正確答案.

2 數(shù)列通項(xiàng)公式解題分析

在高考題目中,求數(shù)列通項(xiàng)公式這一類型的題目比較常見,其難度系數(shù)屬于中等水平,并常常出現(xiàn)在選擇題、填空題、解答題目中的第一個(gè)小問題.在這一類型的題目中,常見的形式主要包括:由遞推公式、已知前n項(xiàng)和、已知前n項(xiàng)及第n項(xiàng)關(guān)系式求通項(xiàng)公式.通常,在解答這一問題時(shí),可結(jié)合不同的題目類型,選擇不同的解題方法[1].

例2記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a2=1,2Sn=nan,求{an}通項(xiàng)公式.

解析該題目是2023年全國甲卷理科17題中的第一問,本題目中主要對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行考查,題目難度系數(shù)比較低.通常,針對(duì)已知明確數(shù)列類型的題目,可直接運(yùn)用等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解.

已知2Sn=nan,當(dāng)n=1時(shí),2a1=a1,即a1=0,

當(dāng)n=3時(shí),2(1+a3)=3a3,即a3=1,

當(dāng)n≥2時(shí),2Sn-1=(n-1)an-1,

即2(Sn-Sn-1)=nan-(n-1)an-1=2an,

對(duì)其進(jìn)行化簡得出(n-2)an=(n-1)an-1,

即an=n-1.

綜上分析得出an=n-1(n∈N*).

例3已知{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n,計(jì)算a2、a3,猜想{an}通項(xiàng)公式并證明.

解析該題目是2020年高考全國Ⅲ卷理科17題,在本題目中給出了數(shù)列{an}的首項(xiàng),以及前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的關(guān)系式.本題目意思相對(duì)比較清晰明了,根據(jù)題目中的已知條件和所求的問題,解題的關(guān)鍵在于利用首項(xiàng)和關(guān)系式這兩個(gè)條件.通常,在解決這一類型數(shù)列問題的時(shí)候,學(xué)生可從構(gòu)造法、歸納法兩個(gè)角度進(jìn)行探索.

解根據(jù)an+1=3an-4n以及a1=3這兩個(gè)條件,可直接求出a2=5,a3=7,由此猜想出an=2n+1,n∈N*.

證明:根據(jù)題目已知條件得出an+1-(2n+3)=3[an-(2n+1)],則有bn=an-(2n+1),因此bn+1=3bn,且b1=b2=0,即bn=0.因此,猜想an=2n+1,n∈N*成立.

3 數(shù)列求和類題目解題分析

在高中數(shù)學(xué)數(shù)列考查題目中,數(shù)列求和尤為重要,常見于一些綜合性題目.通常,在解決這一類型問題時(shí),學(xué)生不僅僅要熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式,還應(yīng)掌握一定的解題技巧,包括錯(cuò)位相減法裂項(xiàng)求和法、分組求和法、倒序相加法等.

解析本題目是2020年某地高考模擬試題中的一道填空題.就本題目而言,難度系數(shù)相對(duì)比較低,學(xué)生只要認(rèn)真觀察題目的特點(diǎn)和已知條件,即可采用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和,將數(shù)列{an}的每一項(xiàng)進(jìn)行分解,最終通過依次項(xiàng)抵消、間隔項(xiàng)抵消等方式進(jìn)行解答.

4 基于數(shù)列高考題目特點(diǎn)的教學(xué)啟示

根據(jù)高考數(shù)列題目分析發(fā)現(xiàn),近幾年關(guān)于數(shù)列題目的考查,方式相對(duì)比較穩(wěn)定,并且考查內(nèi)容全面,突出了數(shù)學(xué)思想、關(guān)鍵能力的考查.同時(shí),在新課標(biāo)視域下,考查的形式也隨之更加新穎,將其蘊(yùn)含到實(shí)際生活情境中.例如,2022年全國新高考Ⅱ卷中的題目中,以中國古代建筑作為背景;在2023年北京卷中,滲透了一定的數(shù)學(xué)文化;另外,在數(shù)學(xué)高考題目中,數(shù)列題目還常常與函數(shù)、不等式、概率等問題結(jié)合到一起.面對(duì)這一全新的考查特點(diǎn),教師在日常教學(xué)中,必須關(guān)注以下幾個(gè)方面.

首先,重視基礎(chǔ)教學(xué).教材是新課標(biāo)的具體體現(xiàn),也是教師開展課堂教學(xué)的重要依據(jù).正所謂“萬變不離其宗”,教材上的基礎(chǔ)知識(shí)是學(xué)生解答數(shù)列問題的根基.因此,教師在組織課堂教學(xué)時(shí),必須認(rèn)真研讀教材內(nèi)容,并基于教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的實(shí)際情況,科學(xué)運(yùn)用多種方法開展基礎(chǔ)教學(xué),使學(xué)生深入理解概念、性質(zhì)、公式等;同時(shí),教師還應(yīng)關(guān)注基礎(chǔ)題目教學(xué),力求通過變式訓(xùn)練等方式,使學(xué)生在少而精的題目訓(xùn)練中,逐漸提升自身的邏輯思維能力.

其次,關(guān)注數(shù)列性質(zhì),加強(qiáng)知識(shí)聯(lián)系.縱觀當(dāng)前高考中的數(shù)列題目,多數(shù)都是以數(shù)列的性質(zhì)作為依據(jù),學(xué)生需要根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)分析題目、解決問題.

再次,強(qiáng)化數(shù)列的綜合應(yīng)用.根據(jù)新課標(biāo)下的數(shù)列考查方向和趨勢(shì),教師在日常教學(xué)中,還必須堅(jiān)持理論聯(lián)系實(shí)際的原則,將數(shù)列知識(shí)和實(shí)際生產(chǎn)和生活聯(lián)系起來,使學(xué)生在實(shí)際問題中,抽象出數(shù)列模型,并運(yùn)用數(shù)列的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答.

最后,積累解題經(jīng)驗(yàn),提煉數(shù)學(xué)思想.鑒于新高考下的數(shù)列題目考查特點(diǎn),教師在開展課堂教學(xué)時(shí),必須摒除“機(jī)械化刷題”的教學(xué)模式,引領(lǐng)學(xué)生對(duì)所做的題目、錯(cuò)題進(jìn)行反思和分析.使學(xué)生在總結(jié)、分析、歸納的過程中,掌握一定的解題規(guī)律和方法,并從解題中將數(shù)學(xué)思想提煉出來,讓學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中逐漸提升自身的解題素養(yǎng)[4].

5 結(jié)束語

教師應(yīng)熟悉新高考的考查要求,結(jié)合數(shù)列高考試題進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐,及時(shí)調(diào)整和優(yōu)化課堂教學(xué)方案,不斷提升數(shù)列解題教學(xué)效果.