基于遺傳算法的脫模機轉動系統最優控制器設計

熊澳，王琦

（武漢工程大學機電工程學院，湖北 武漢 430000）

混凝土作為現代最主要的建筑原材料，其強度對整個建筑工程的結構安全有重要影響，對建筑工程的質量也有很大影響，因此擁有相當嚴格的技術標準。建筑工程中，施工單位主要是通過混凝土試塊檢測方式來檢測混凝土的強度，以確定混凝土配料是否符合施工的設計標準[1]?；炷猎噳K的制作包括振動、抹平、脫模、養護等工作步驟?，F階段，混凝土脫模全過程基本都是由工人完成，隨著不同標號不同類型的混凝土種類越來越多，試件制作的工作量逐步加大，脫模工作量也變得很大，耗費較多人力，故需要研制混凝土自動脫模機來實現混凝土脫模的自動化?；炷猎噳K脫模機是一種專注于混凝土試塊快速脫模的新型自動化設備[2]。根據課題，每次脫模，混凝土試塊不少于5 組，每組3 個混凝土試塊，該設備采用電推桿、微頂氣壓和可拆卸模具等裝置進行輔助脫模，能夠實現快速同步脫模，擁有操作方法簡單方便、脫?？旖莸葍烖c，能夠有效減少混凝土試塊在脫模過程中發生的碰撞，極大減少了試塊的不良率。模型如圖1 所示。

圖1 混凝土試塊脫模機三維模型圖

轉動裝置是混凝土試塊脫模機的關鍵組成部分。為實現脫模機轉動系統的角度控制，采用直流伺服電機作為驅動裝置，傳動軸為連接件，外框架為被控制對象。

隨著電子技術的發展，直流電機的成本大大降低[3]。同時，直流電機還具有比較簡單的控制理論。目前，直流電機角度跟蹤控制已成為一項應用性很強的技術，因低成本、易攜帶、使用壽命長等特性受到歡迎[4]。但由于受精度建模等限制，所以存在魯棒性不能令人滿意等一系列問題[5]。為實現對伺服電機的高精準度、高靈敏度控制，許多學者通過現代控制理論，提出一系列線性或非線性的控制方法，如模糊PID 控制[6-7]、極點配置法[8]、最優控制[9-11]、神經網絡控制[12-13]、神經網絡PID 控制[14-15]等。其中最優控制的理論研究基礎完善，實際控制性能強。如何設計出最優控制律主要取決于其加權矩陣Q、R的參數，但“最優”的加權矩陣系數往往通過設計者的經驗工程和試湊法確定，而這樣的控制器通常計算效能較差，也就無法獲得最佳的動態性能指標。

本文以脫模機轉動系統為研究對象，設計出一款基于最優控制的控制器，并利用遺傳算法進行優化，即提高了設計效率，又保證了控制器的控制性能[16-19]。通過仿真結構驗證了經過遺傳算法尋優得到加權系數的控制器優于經驗法求得的控制器。

脫模機轉動控制主要是以直流伺服電機作為執行機構，通過直流伺服電機連接傳動軸驅動外框架來實現角度控制的目的。直流伺服電機的驅動是依靠電路兩端的電壓，再采用傳動軸連接脫模機外框架，實現外框架的角度跟蹤控制[20]。其系統原理如圖2 所示。

圖2 傳動系統角度控制模型圖

1 脫模機轉動模型建立

1.1 動力學和電學方程

整個系統在運動過程中，根據基爾霍夫電壓定律和牛頓第二定律，得到滿足的動力學方程和電學方程。

電樞回路電壓平衡與反電動勢方程為：

式中：E為電機反電動勢；I為電樞電流；t為時間；Ke為電機反電動勢系數；θ為角度。

電磁轉矩方程為：

式中：Ki為電機力矩系數，N·m/A。

當電樞通過電流時會產生一個力矩，該力矩可用于維持負載和克服摩擦力等。根據牛頓第二定律，可以得到負載平衡方程式為：

式中：TL為負載轉矩；Jm為電機轉動慣量；ωL為負載角速度；Bm為負載粘性摩擦系數。

當TL＝0 時，由式（3）（4）可得：

化簡式（1）（2），可得：

1.2 電機的傳遞函數

對式（5）（6）進行拉普拉斯變換，得：

式中：Ke為電機反電動勢系數。

消去中間變量I( )s，得到電機電壓到角位置的傳遞函數為：

本實驗采用AKM41H 型直流伺服電機模型，參數：Ra＝1.2 Ω，La＝1×10-3mH，Ki＝0.5 N·m/A，Ke＝0.029 V·s/rad，J＝0.01 kg·cm2。

代入式（9）可得電機角度的傳遞函數為：

1.3 脫模機轉動系統模型建立

本文以脫模機轉動模型為研究對象，主要是依靠電機進行負載，其力學模型如圖2 所示，根據上述電壓平衡方程，可得力學微分方程為：

式中：bm為電機的粘性摩擦系數。

式（11）可簡化為：

式中：ω為電機的角速度。

所以針對脫模機轉動過程運動模型，建立狀態空間模型為：

式中：y(t)為系統的優化輸出向量。

根據前文參數，輸入脫模機轉動系統的狀態空間模型為：

2 控制系統的分析

2.1 系統的穩定性分析

根據定常系統的勞斯判定依據，若系統的特征根全部為實數，則系統穩定，反之，若系統的特征根有一個或多個具有負實部，則系統不穩定[21]。求得矩陣A的特征根為0、-1.2096、-1198.8，有一個為0，所以根據上述理論，該系統處于不穩定狀態。

2.2 系統的可觀性和可控性

根據最優控制理論，對于式（14），若矩陣[A,B]完全可控、[A,C]完全可觀，則存在狀態反饋增益矩陣K。根據系統的可觀性和可控性的秩判據計算為：

當rank(C)＝n時，系統可觀。

當rank(M)＝n時，系統可控。

在MATLAB 中求得，rank(C)＝2＝n、rank(M)＝2＝n。因此，系統完全可觀且可控。

3 LQR 控制器的設計與仿真

3.1 線性二次型控制算法

LQR（Linear Quadratic Regulator，線性二次型調節器）采用線性二次型控制，其是一種常見的控制器設計方法，適用于連續或離散時間系統[22-23]。通過線性二次型控制實現系統穩定性，由上述模型建立出的線性系統狀態空間表達式為：

式中：x(t) 為系統狀態變量；u(t) 為系統輸入。

根據脫模轉動過程的需求，計算出系統法最優狀態反饋增益矩陣K，求得最優控制律u*(t)，使系統的優化輸出y(t)跟隨期望輸出yr(t)，并使下列性能指標極?。?/p>

式中：Q為權重矩陣，是一個3×3 維正定對角矩陣，其中對角線上的每一個元素分別為系統電流、角速度和角度誤差的權重系數；R為權重系數，是系統控制輸入的調節系數，是一個正實數變量；e(t) 為系統的輸出誤差向量。

式（16）表示：通過使用Q和R進行優化，可以同時控制脫模機轉動過程中的電流、角速度和角度，從而實現轉動過程的穩定性控制。

2.2 節已證明該系統的可觀性和可控性，現擬設計最優控制律u*(t) 為：

式中：P為滿足代數黎卡提矩陣方程的唯一正定對稱解。

黎卡提方程為：

本系統中y(t)=x3(t)，則在該系統中應采用以下狀態反饋控制方案：

式中：r為參考輸入；1x為電流輸入；x2為角速度輸入；3x為角度輸入。

3.2 線性二次型控制仿真

在本文中通過試湊法選取加權矩陣為：

所以：

式中：Q11為電機電流的權重；Q22為電機角速度的權重；Q33為電機角位置的權重。

在MATLAB 中最優增益反饋矩陣K由函數K＝lqr[A,B,Q,R]實現，得到K＝[0.008,0.1927,1]，運行后得到仿真圖如圖3 所示。

圖3 轉動系統的線性二次型控制仿真

4 基于遺傳算法的LQR 控制器設計與仿真

4.1 遺傳算法

遺傳算法是一種全局搜索算法，主要通過模仿自然界物種的優勝劣汰機制演化而來。它將待優化的參數進行編碼作為染色體，通過自適應度函數對染色體進行比較、選擇、交叉和變異，實現篩選個體，以保留優秀個體、淘汰不良個體，最終達到符合目標條件的全局最優解。本節主要使用遺傳算法對線性二次型控制中的加權矩陣Q和R的參數進行智能尋優，將線性二次型的最小性能指標轉換為適應度函數，以滿足控制仿真結果的“最優”。

4.2 遺傳算法確定參數的過程。

（1）確定變量空間。確定加權矩陣的四個參數和取值范圍，本文設置加權矩陣Q的取值范圍為[1,100]，R的取值范圍為[1,10]。

（2）編碼和解碼。將4 個變量分別以長度為十的二進制字符串表示，將這些字符串組成長字符串。

（3）確定目標函數。為獲取滿意的動態特性指標，采用線性二次型控制算法的性能指標作為系統的最小目標函數，所以目標函數為：

（4）確定適應度函數。將誤差信號e(t) 和控制量u(t) 作為系統的約束條件，控制系統的動態性能指標主要取決于這兩個條件構成的目標函數值，其目標函數值越小，控制系統的控制效果越好。所以在遺傳算法中將目標函數f(x) 的倒數作為適應度函數J。

（5）確定遺傳算法的運行參數非常重要。在確定參數時，需要根據實際情況來選擇種群大小、遺傳代數、交叉概率和精英成員等。本文通過目標函數的計算，確定了迭代到20 次后，遺傳算法的結果不再發生變化。經過研究，發現種群越大，尋優的可能性越大。因此，在確定參數時需要權衡計算效率和結果的準確性，選擇適當的參數以達到最優結果。

解決上述遺傳算法的參數問題后，遺傳算法的優化控制律流程如圖4 所示。

圖4 遺傳算法優化流程圖

4.3 基于遺傳算法的線性二次型控制

設置遺傳算法，種群為100，交叉概率為0.4，精英成員為10，lqr的取值范圍為[1,100]，R的取值范圍為[1,10]，遺傳代數為20。lqr參數的編碼也是選取二進制字串，一共四個變量，分別表示為lqr(1),lqr(2),lqr(3),lqr(4)。之后將四個編碼串聯形成長編碼，即為遺傳算法的可操作對象。

設Q＝diag[lqr(4),lqr(2),lqr(3)]、R＝x(4)，經過遺傳算法尋優后得到參數為：Q＝diag[6.71,2.19,90.5]、R＝6.4，經過計算得到狀態增益反饋矩陣K＝[0.4 0.73 3.76]，得到目標函數優化曲線如圖5 所示。可以看出，當程序運行到第四代時，目標函數已達到最優。

圖5 目標函數優化過程及最優個體圖

將得到的K代入Simulink 仿真圖中，并與試湊法比較，比較后的仿真結果如圖6 所示?？梢钥闯?，在試湊法中，通過求得的加權矩陣Q和R參數得到的狀態反饋增益矩陣K使得系統穩定時間為2 s，且存在一定的超調量。而通過遺傳算法尋優得到的Q和R參數計算出的K，使系統在1 s 內達到平衡。通過反復測試，得出結論，經過遺傳算法尋優得到的參數明顯優于試湊法得到的參數，具有更好的性能和更快的響應速度。

圖6 兩種優化方法的仿真圖

5 結論

為提高脫模機轉動系統的角度控制，本文對脫模機轉動裝置進行了數學建模，并建立了傳遞函數模型和狀態空間方程。同時，對系統進行了可控性和可觀性分析。為實現理論控制，采用了線性二次型最優控制方法，并進行了仿真研究。然而，在控制方法優化方面，發現LQR控制法的加權矩陣Q、R的參數需要進行優化，因此，提出遺傳算法來解決這個問題。通過仿真結果可以看出，經過遺傳算法尋優得到的參數所計算出的狀態反饋增益矩陣優于試湊法得到的狀態反饋增益矩陣。在針對脫模機轉動系統的角度控制方面，遺傳算法均優于試湊法。經過優化后，線性二次型控制法的穩定時間從2 s 降到了1 s，且沒有超調量。雖然基本遺傳算法具有較快的收斂速度，但是局部搜索能力較弱，容易陷入局部最優解。因此，需要提供一種改進遺傳算法的方法，以增加其局部搜索能力，避免陷入局部最優。