錐形光纖光柵傳感器的傳感特性

孫曉東 楊松峰 劉天宇 朱瑞楠 馮起鵬

（黑龍江科技大學，黑龍江 哈爾濱 150022）

光纖光柵傳感技術是現代信息技術的重要支柱，廣泛應用于航空航天、電力系統等領域。由于其出色的傳感特性，例如抗干擾、抗腐蝕、電絕緣、低成本和高靈敏度，因此成為世界各國研究的熱點[1]。由于當前的光纖光柵（FBG）解調方法主要利用對溫度和應力都敏感的λB（中心發生波長）進行編碼，因此無法區分這2 個變量，從而存在應力-溫度交叉敏感問題[2]。為解決該問題，國內外學者提出了雙光柵法[3]、封裝法等解決方案。但是這些方法會提高解調系統的復雜性，降低系統靈活性。因此，本文從光纖光柵的制作方法入手，提出將光纖光柵腐蝕成錐形，錐形光纖光柵的特殊結構使其反射波的半峰值寬度僅與應力的變化有關。利用這一特性對反射波進行編碼，解決了溫度-應力交叉敏感問題。本文運用耦合模理論分析了錐形光纖光柵（TFG）的傳感原理及特點，并利用MATLAB 進行了仿真驗證。

1 溫度應力交叉敏感理論

光纖光柵的傳感原理是，當外界條件（溫度、應力）發生變化時，會導致光纖光柵的折射率neff和周期Λ發生變化，這種變化進一步引起反射波長的偏移，從反射中心波長變化公式可以看出，折射率和周期的變化最終導致中心波長的變化，如公式（1）所示。

式中：λB為反射回來的入射光的中心波長；neff為光纖的折射率；Λ為光柵的周期。

當一束光沿著光柵入射時，只有滿足特定條件（即滿足公式（1））的光才會發生反射，這部分光的反射波具有特定的中心波長λB。而不滿足這一條件的其他光則會沿著光纖傳播，不發生反射。因此，通過檢測反射光的參量變化，就可以對外界環境（例如溫度、應力等）進行監測。

當光纖光柵處于溫度場中時，光會吸收能量并因此發生變化，從而導致反射光也發生變化。如圖1所示。

圖1 光纖光柵的溫度、應力模型

對公式（1）兩邊求微分，可以得到FBG 反射波長偏移量ΔλB的表達式，如公式（2）所示。

式中：ΔΛ為溫度變化引起的光柵周期變化量；Δneff為溫度改變引起的光柵折射率的變化量。

為了研究溫度變化對光纖光柵的影響，通過公式（2）等式的兩邊對溫度t進行求導并化簡。如公式（3）所示[9]。

式中：t為溫度。

式中：?為折射系數；α為周期系數。

令Kt=（?+α）λB，公式（4）可以寫為公式（5）。

式中：Kt為光纖光柵的溫度靈敏系數，通常情況下都為常數；Δt為溫度變化量。

根據公式（5）可得：當光纖光柵用以測量溫度時，反射中心波長偏移量ΔλB與溫度變化Δt具有良好的線性關系。

應力和應變是光柵最常見的外部影響因素，例如擠壓或者拉伸，都會導致光柵周期Λ變大或變小，同時也會引起有效折射率neff的變化。如圖1所示，當光纖受到軸向作用應力F時，可以對光纖反射波長的變化量進行如下分析。

通過公式（2）兩邊對應變ΔL取微分，得到的結果如公式（6）所示。

當光纖受到應力作用時，由于材料的彈光效應，會導致反射光譜的中心波長發生偏移，因此根據耦合模理論，可得出波長偏移量，如公式（7）所示。

式中：Pe為光纖光柵的有效彈光系數；ε為應變。

公式（7）為光纖光柵的軸向應變傳感表達式并且公式中每個參數都是常數，可以看出光纖光柵的中心波長偏移ΔλB和應變ε有良好的線性關系。因此，當光纖光柵用作應變傳感器時，其理論線性輸出特性良好。

通過分析在不同溫度和應力條件下的光纖光柵，筆者得出結論：有效折射率neff和光柵的周期Λ隨溫度和應力的變化而變化，導致反射波長偏移。假設光柵的反射中心波長是溫度和應力的函數：λB=λB（ε·t），通過泰勒展開可以簡化為公式（8）。

式中：Kt為溫度變化引起的中心反射波長變化系數；Kε為應力變化引起的反射波長變化系數；Δε為應力變化量。Kε、Kt可以經過理論計算或試驗測量得到。

當應變和溫度發生變化時，都會引起反射中心波長發生偏移，因此在實際測量中，當測量其中一個參量（例如應力）時，會受到來自另一個參量（溫度）變化的干擾。即無法同時測量應變和溫度[8]。

問題產生的根源是筆者對同時受溫度和應力影響的波長λB進行了編碼。錐形光纖光柵具有獨特的結構特點，其反射波的半峰值寬度僅與應力有關，而與溫度無關。如果對這一特性進行編碼，就能夠解決交叉敏感問題。

2 錐形光纖光柵的理論模型

如圖2所示，錐形光纖光柵的半徑沿著軸向方向逐漸變小，光柵的周期和纖芯的半徑保持不變。

圖2 錐形光纖光柵

2.1 錐形光纖光柵應力傳感原理

當一束光入射光纖光柵時，只有滿足公式（1）條件的光會沿中心軸反射回來。該反射波的波長即為光柵的反射中心波長λB，不滿足上述波長條件的光會繼續向前傳播。根據耦合模理論可知，λB=2neffΛ。當光柵受到應力作用時，光柵之間的距離距離會發生變化，如圖3所示。這種變化會導致反射光的帶寬也發生相應的變化[4]，如公式（9）所示。

圖3 施加應力前后的錐形FBG 變化

式中：ΔFWHM為反射波的半峰值寬度；R0為光纖的最初半徑；F為軸向作用力；E為楊氏系數；Λ0為未受力的光柵周期。

由公式（9）可知，光譜的帶寬變量FWHM與施加的力F呈線性關系。綜上所述，當錐形光纖光柵受到軸向作用力時，不僅會引起反射中心波長的線性偏移，還會導致反射波的半峰值帶寬發生展寬，展寬量的大小與施加的作用力呈良好的線性關系。

2.2 錐形光纖光柵的溫度傳感原理

溫度變化導致反射中心波長變化量，如公式（10）所示。

當外界溫度發生變化時，錐形光柵的反射帶寬寬度保持不變，反射波長與溫度的關系也維持了良好的線性關系[4]。溫度的變化僅會導致反射中心波長的偏移，這種偏移與溫度之間保持線性關系。通過上述分析可知，當波長同時受應力和溫度的影響時，反射中心波長的變化可以進行近似計算。如公式（11）所示。

式中：Kε1為應力系數1；Kt1為溫度系數1。

當溫度和應力同時作用于傳感器時，反射波的半峰值寬度并不會因溫度的變化而改變，僅與應力的變化有關。如公式（12）所示。

式中：Kε2為應力系數2。

由公式（11）和公式（12）可得Δt、Δε的矩陣方程，如公式（13）所示。

式中：M為綜合系數，M=Kt1Kε2

由公式（13）可知，通過對反射波的半峰值ΔFWHM進行編碼，能夠同時測量溫度Δt和應力Δε的變化量且二者不會相互干擾，解決了上文使用波長λB編碼時面臨的溫度和應力交叉敏感的問題。

3 仿真與結果分析

在MATLAB 環境下，筆者對錐度為1.56 的傳感器進行了應變和溫度的仿真試驗。在應變仿真試驗中，將溫度維持在20 ℃，以便專注于研究應變對傳感器的影響。而在溫度仿真試驗中，筆者保證光柵不受任何外力的作用，并將溫度從0 ℃開始提高到120 ℃，以探究溫度變化對傳感器的影響。仿真結果如圖4、圖5所示。

圖4 應力響應特性

圖5 溫度響應特性

由圖5 得出以下結論：當光纖所處的溫度保持不變時，隨著作用在光纖上的應力發生變化，反射波長和FWHM也會隨之變大并且呈現良好的線性關系。由圖6 可以看出，當光纖不受力時，隨著溫度的上升，FWHM的變化相對較小，近似呈現為一條直線，如圖5所示，表明反射波長會隨溫度的升高而呈線性上升。

從圖4 和圖5 中曲線的斜率可以得到公式（14）中各系數的具體數值。如公式（14）所示。

通過測量波長和反射帶寬的變化量，并利用相關方程，就可以同時測量溫度和應力的變化，該方法不僅簡便，而且具備很高的測量精度。

綜上所述，錐形光纖光柵傳感器有良好的應力響應特性，其能夠隨著外界應力的變化而產生線性響應，由于其反射帶寬僅隨應力變化而不受外界溫度的影響，因此該傳感器可以有效地解決溫度與應力之間的交叉敏感問題。

4 結論

盡管錐形光纖光柵的形狀發生了變化，但是其對應力和溫度的響應特性仍然非常優越。通過本文的研究發現，反射波的波長會隨溫度和應力的變化而發生線性變化，而錐形光纖光柵的反射波半峰值帶寬僅隨應力變化，與溫度無關。這說明本文提出的方法能夠有效地解決溫度和應力之間的交叉敏感問題，在解決交叉敏感問題方面具有理論和實際應用價值。