無失效數據場合下Pareto分布可靠度的Bayes估計

汪茜熙

（西華師范大學數學與信息學院，四川南充 637009）

0 引言

在測試產品的可靠性時，由于時間和實際試驗條件的約束，一般獲得定時截尾或定數截尾數據.在以前的產品質量不太高的情況下，通常都有失效數據的產生.然而，在科技飛速發展的今天，人們對生活水平的要求日益提高，產品的質量也有了更高的標準.對于高可靠性設備，在壽命試驗中幾乎不會產生失效數據，因此很難準確評估設備狀態，這樣的試驗獲得的數據稱為無失效數據.這類數據的處理一般不采用傳統數理統計的方法，而是用Bayes方法處理［1-2］.

Pareto 分布是一種重要的壽命分布，被提出后常應用于生存分析、可靠性理論、個人收入、股票價格的波動等模型中.Pareto分布的概率密度函數和分布函數為

其中α>0，θ>0.近年來也有越來越多的專家學者針對Pareto分布得到了很多研究成果.He Yi 等［3］通過擬合超越閾值的廣義帕累托分布來計算金融損失的風險價值；Lang Shuipeng等［4］給出了一種快速求解截斷極大似然方程的迭代方法，進而給出了pareto分布的截斷極大似然估計；龍兵等［5］基于雙定數混合截尾數據求出了兩參數Pareto 分布參數的極大似然估計及θ的置信區間；張峰源［6］給出了兩種不同的移走方案，利用MLE方法和Bayes估計方法，研究了影響廣義Pareto 分布的參數估計的因素；劉璐［7］研究了在定數截尾壽命試驗場合下，三參數Pareto分布單總體參數的最優置信區間和兩總體形狀參數比的最優置信區間；李如兵［8］針對共軛先驗以及Jeffreys 先驗，在移動極值排續集抽樣下，基于三種損失函數，討論了Pareto 分布形狀參數的Bayes 估計；劉芹［9］基于雙邊定數截尾樣本，在LINEX 損失函數和復合LINEX 損失函數下，考慮無信息先驗分布與共軛先驗分布，研究了Pareto分布的形狀參數的Bayes估計.

然而，目前很少有文獻在無失效數據場合下，針對Pareto分布進行可靠性分析.因此，本文基于韓明的減函數法思想［10］，在壽命服從Pareto分布的場合下，取失效概率Pi的先驗分布的核函數為(1 -Pi)a，對pareto分布的失效概率和可靠度的Bayes估計進行研究.

1 可靠度的Bayes估計

1.1 模型假設

假設產品的壽命T服從兩參數Pareto分布，其分布函數為

為了對某產品的可靠性進行評估，將某產品進行m次定時截尾試驗，在試驗開始前給定截尾時間，ti(t1

進行如下試驗：將總數為n的樣品隨機分為m組，第i 組樣品數為ni(i=1，2，…，m)，則有在提前給定的ti時刻停止第i 組試驗，其中有ti(0

將m組樣品在試驗一開始就全部投入試驗.在提前給定的t1時刻停止第一組樣品的試驗，其余各組（第2，3，···，m組）繼續進行試驗，在提前給定的t2時刻停止第二組樣品的試驗，其余各組（第3，4，···，m組）繼續進行試驗，試驗一直進行下去，一直到提前給定的tm時刻停止第m組樣品的試驗，到此試驗全部結束.記因為整個試驗過程中所有樣品都未失效，即在ti時刻，還有Si個樣品在進行試驗.在這樣的試驗下得到的數據(ti，ni)稱為無失效數據，也可寫為(ti，Si)［11］.

根據以上試驗過程，有如下結論：

1）t=α時，產品的失效概率為0，即F(α)=P(T≤α)=0；

2）令Pi=P(T≤ti)=F(ti)，因為α

1.2 可靠度Ri的估計

1.2.1R1的估計 因為在無失效數據場合下，在時刻t1有S1個樣品均未發生失效，所以可得P1的估計為［10］：

又因為Ri=1 -Pi，i=1，2，…，m，由此可得R1的估計為

1.2.2Ri(i=1，2，…，m)的估計 由于Pareto分布的分布函數為F(t；α，θ)=1 -αθt-θ，t>α，則

Pareto分布的分布函數顯然為上凸函數［12］，對于α

如果取Pi的先驗分布的核函數為(1 -Pi)a，則Pi(i=1，2，…，m)和Ri(i=2，3，…，m)的先驗分布分別為

證明：若取Pi的先驗分布的核函數為(1 -Pi)a，Pi的先驗分布為［11］

又因為Ri=1 -Pi，則Ri的先驗分布為：

如果取Pi的先驗分布的核函數為(1 -Pi)a，則在平方損失下Pi(i=1，2，…，m)的Bayes 估計為：

定理2

如果取Pi先驗分布的核函數為(1 -Pi)a，則在平方損失下Ri(i=1，2，…，m)的Bayes 估計為

證明：因為整個試驗過程中無失效數據的產生，從ti時刻開始，還有Si個樣品參加試驗，則似然函數為那么在此情況下的后驗分布為

在平方損失函數下，Ri的Bayes估計即為后驗分布的期望，則Ri的Bayes估計為

1.3 可靠性指標的估計

當產品壽命T服從Pareto分布時，在時刻ti產品的可靠度Ri可以表示為

在等式的左右兩邊分別取對數，可以變為

即有

2 算例分析

在形狀參數θ=2，尺度參數α=1 000 時，隨機生成500 個服從pareto 分布的隨機數，利用文獻［13］的方法，從隨機數中選取40個數據從小到大排序并分為8組，如表1.

表1 pareto分布的隨機數Tab.1 Pareto distributed random numbers

將每一組數據的最小數據減1 作為試驗提前給定的截尾時間ti，因為在無失效數據場合下，所以可以認為在時刻ti之內沒有產品失效.假設共有42 個產品參加試驗，將其隨機分為8組，每組ni個產品，當t=ti時，有Si個產品未失效.以上ti、Si即可組成一組仿真無失效數據，如下表2所示：

表2 仿真無失效數據Tab.2 Zero failure data in simulation

表3 可靠度估計結果 Tab.3 Reliability estimation results

表3 可靠度估計結果 Tab.3 Reliability estimation results

在相同情況下，如果采用均勻分布作為失效概率Pi的先驗分布［14］，得到的可靠度估計記為，結果如表4所示.

表4 可靠度估計結果 Tab.4 Reliability estimation results

表4 可靠度估計結果 Tab.4 Reliability estimation results

根據表2 的數據，結合平均壽命估計可得該產品的平均壽命為，由此可推斷該產品的可靠性較高.

接下來，通過比較誤差平方和來比較估計的精度.如果采用均勻分布作為失效概率Pi的先驗分布，得到的可靠度的Bayes 估計的誤差平方和為0.002 117 045 221 559，而本文可靠度估計的誤差平方和為0.002 110 586 962 481.兩者相比可以看出，本文的誤差平方和更小，從而有效地提高了估計精度.

3 結論

本文基于pareto 分布的分布函數的上凸性質，利用韓明的減函數法思想，取失效概率Pi的先驗分布的核函數為(1 -Pi)a，得到了失效概率Pi(i=2，3，…，m)的Bayes 估計、可靠度Ri(i=2，3，…，m)的Bayes 估計和平均壽命的估計.又在相同情況下，與取均勻分布作為失效概率Pi的先驗分布而得到的可靠度的Bayes估計比較誤差平方和.對比發現，本文方法得到的估計的誤差平方和更小，從而有效地提高了估計精度.